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Theorem factwoffsmonot 39352
 Description: A factorial with offset is monotonely increasing. (Contributed by metakunt, 20-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
factwoffsmonot (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑁)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑁)))

Proof of Theorem factwoffsmonot
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 0))
21fveq2d 6667 . . 3 (𝑥 = 0 → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + 0)))
3 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + 0))
43fveq2d 6667 . . 3 (𝑥 = 0 → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + 0)))
52, 4breq12d 5066 . 2 (𝑥 = 0 → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + 0)) ≤ (!‘(𝑌 + 0))))
6 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑦))
76fveq2d 6667 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + 𝑦)))
8 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + 𝑦))
98fveq2d 6667 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + 𝑦)))
107, 9breq12d 5066 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))))
11 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
1211fveq2d 6667 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
13 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
1413fveq2d 6667 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
1512, 14breq12d 5066 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))) ≤ (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1)))))
16 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑁))
1716fveq2d 6667 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + 𝑁)))
18 oveq2 7159 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + 𝑁))
1918fveq2d 6667 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + 𝑁)))
2017, 19breq12d 5066 . 2 (𝑥 = 𝑁 → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + 𝑁)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑁))))
21 facwordi 13656 . . 3 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) → (!‘𝑋) ≤ (!‘𝑌))
22 nn0cn 11906 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ)
23 addid1 10820 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
2524fveq2d 6667 . . . 4 (𝑋 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑋 + 0)) = (!‘𝑋))
26253ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) → (!‘(𝑋 + 0)) = (!‘𝑋))
27 nn0cn 11906 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℂ)
28 addid1 10820 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℂ → (𝑌 + 0) = 𝑌)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 0) = 𝑌)
3029fveq2d 6667 . . . 4 (𝑌 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑌 + 0)) = (!‘𝑌))
31303ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) → (!‘(𝑌 + 0)) = (!‘𝑌))
3221, 26, 313brtr4d 5085 . 2 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) → (!‘(𝑋 + 0)) ≤ (!‘(𝑌 + 0)))
33 nn0cn 11906 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
34 ax-1cn 10595 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
35 addass 10624 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
3634, 35mp3an3 1447 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
3722, 33, 36syl2an 598 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
3837fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
39383ad2antl1 1182 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
4039adantr 484 . . 3 ((((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
41 nn0addcl 11931 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0)
42413adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0)
4342adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0)
44 nn0addcl 11931 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0)
45443adant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0)
4645adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0)
47 nn0re 11905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℝ)
48 nn0re 11905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℝ)
49 nn0re 11905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
50 leadd1 11108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑋𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦)))
5147, 48, 49, 50syl3an 1157 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦)))
5251biimpa 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦))
53 facwordi 13656 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦)) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)))
5443, 46, 52, 53syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)))
55543an1rs 1356 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)))
56 nn0re 11905 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
5743, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
58 nn0re 11905 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ)
5946, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ)
6057, 59jca 515 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ))
61 1re 10641 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
62 leadd1 11108 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦) ↔ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
6361, 62mp3an3 1447 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦) ↔ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → ((𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦) ↔ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
6552, 64mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1))
66653an1rs 1356 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1))
6755, 66jca 515 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
68 faccl 13650 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℕ)
69 nnre 11643 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℕ → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ)
7041, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ)
71703adant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ)
72 nngt0 11667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℕ → 0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)))
7341, 68, 723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)))
74 0re 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
75 ltle 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ) → (0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
7674, 75mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ → (0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
7770, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
7873, 77mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦)))
79783adant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦)))
8071, 79jca 515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
81 faccl 13650 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℕ)
82 nnre 11643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℕ → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ)
8344, 81, 823syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ)
84833adant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ)
8580, 84jca 515 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))) ∧ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ))
86 1nn0 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℕ0
87 nn0addcl 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
8886, 87mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
8941, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
90 nn0re 11905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
92913adant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
93 nn0ge0 11921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1))
9489, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1))
95943adant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1))
9692, 95jca 515 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)))
97 nn0readdcl 11960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ)
98 1red 10642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
9997, 98readdcld 10670 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
100993adant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
10196, 100jca 515 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ))
10285, 101jca 515 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))) ∧ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ) ∧ ((((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)))
103 lemul12a 11498 . . . . . . . . . 10 (((((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))) ∧ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ) ∧ ((((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
1051043expa 1115 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
1061053adantl3 1165 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
10767, 106mpd 15 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
108 facp1 13645 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)))
10943, 108syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)))
110 facp1 13645 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
11146, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
112109, 111jca 515 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
113 breq12 5058 . . . . . . . 8 (((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) ↔ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
114112, 113syl 17 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) ↔ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
1151143an1rs 1356 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) ↔ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
116107, 115mpbird 260 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)))
117116adantr 484 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)))
118 addass 10624 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
11934, 118mp3an3 1447 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
12027, 33, 119syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
121120fveq2d 6667 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
1221213ad2antl2 1183 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
123122adantr 484 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
124117, 123breqtrd 5079 . . 3 ((((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
12540, 124eqbrtrrd 5077 . 2 ((((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))) ≤ (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
1265, 10, 15, 20, 32, 125nn0indd 12078 1 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑁)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5053  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676  ℕcn 11636  ℕ0cn0 11896  !cfa 13640 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-seq 13376  df-fac 13641 This theorem is referenced by: (None)
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