Theorem factwoffsmonot 41746

Description: A factorial with offset is monotonely increasing. (Contributed by metakunt, 20-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
factwoffsmonot	⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑁)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑁)))

Proof of Theorem factwoffsmonot

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 0))
2	1	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + 0)))
3		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + 0))
4	3	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + 0)))
5	2, 4	breq12d 5157	. 2 ⊢ (𝑥 = 0 → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + 0)) ≤ (!‘(𝑌 + 0))))
6		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑦))
7	6	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + 𝑦)))
8		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + 𝑦))
9	8	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + 𝑦)))
10	7, 9	breq12d 5157	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))))
11		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
12	11	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
13		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
14	13	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
15	12, 14	breq12d 5157	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))) ≤ (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1)))))
16		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑁))
17	16	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + 𝑁)))
18		oveq2 7421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + 𝑁))
19	18	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + 𝑁)))
20	17, 19	breq12d 5157	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + 𝑁)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑁))))
21		facwordi 14275	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘𝑋) ≤ (!‘𝑌))
22		nn0cn 12507	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℂ)
23		addrid 11419	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
25	24	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑋 + 0)) = (!‘𝑋))
26	25	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘(𝑋 + 0)) = (!‘𝑋))
27		nn0cn 12507	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ ℂ)
28		addrid 11419	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℂ → (𝑌 + 0) = 𝑌)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 0) = 𝑌)
30	29	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑌 + 0)) = (!‘𝑌))
31	30	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘(𝑌 + 0)) = (!‘𝑌))
32	21, 26, 31	3brtr4d 5176	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘(𝑋 + 0)) ≤ (!‘(𝑌 + 0)))
33		nn0cn 12507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
34		ax-1cn 11191	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		addass 11220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
36	34, 35	mp3an3 1446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
37	22, 33, 36	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
38	37	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
39	38	3ad2antl1 1182	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
40	39	adantr 479	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
41		nn0addcl 12532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0)
42	41	3adant2 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0)
43	42	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0)
44		nn0addcl 12532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0)
45	44	3adant1 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0)
46	45	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0)
47		nn0re 12506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℝ)
48		nn0re 12506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ ℝ)
49		nn0re 12506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
50		leadd1 11707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦)))
51	47, 48, 49, 50	syl3an 1157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦)))
52	51	biimpa 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦))
53		facwordi 14275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦)) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)))
54	43, 46, 52, 53	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)))
55	54	3an1rs 1356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)))
56		nn0re 12506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
57	43, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
58		nn0re 12506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ)
59	46, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ)
60	57, 59	jca 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ))
61		1re 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
62		leadd1 11707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦) ↔ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
63	61, 62	mp3an3 1446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦) ↔ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
64	60, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦) ↔ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
65	52, 64	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1))
66	65	3an1rs 1356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1))
67	55, 66	jca 510	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
68		faccl 14269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℕ)
69		nnre 12244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℕ → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ)
70	41, 68, 69	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ)
71	70	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ)
72		nngt0 12268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℕ → 0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)))
73	41, 68, 72	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)))
74		0re 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
75		ltle 11327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ) → (0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
76	74, 75	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ → (0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
77	70, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
78	73, 77	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦)))
79	78	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦)))
80	71, 79	jca 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
81		faccl 14269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℕ)
82		nnre 12244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℕ → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ)
83	44, 81, 82	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ)
84	83	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ)
85	80, 84	jca 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))) ∧ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ))
86		1nn0 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℕ0
87		nn0addcl 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
88	86, 87	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
89	41, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
90		nn0re 12506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
92	91	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
93		nn0ge0 12522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1))
94	89, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1))
95	94	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1))
96	92, 95	jca 510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)))
97		nn0readdcl 12563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ)
98		1red 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
99	97, 98	readdcld 11268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
100	99	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
101	96, 100	jca 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ))
102	85, 101	jca 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))) ∧ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ) ∧ ((((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)))
103		lemul12a 12097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))) ∧ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ) ∧ ((((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
105	104	3expa 1115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
106	105	3adantl3 1165	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
107	67, 106	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
108		facp1 14264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)))
109	43, 108	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)))
110		facp1 14264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
111	46, 110	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
112	109, 111	jca 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
113		breq12 5149	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) ↔ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
114	112, 113	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) ↔ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
115	114	3an1rs 1356	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) ↔ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
116	107, 115	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)))
117	116	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)))
118		addass 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
119	34, 118	mp3an3 1446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
120	27, 33, 119	syl2an 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
121	120	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
122	121	3ad2antl2 1183	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
123	122	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
124	117, 123	breqtrd 5170	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
125	40, 124	eqbrtrrd 5168	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))) ≤ (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
126	5, 10, 15, 20, 32, 125	nn0indd 12684	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑁)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138   < clt 11273   ≤ cle 11274  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12497  !cfa 14259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-seq 13994  df-fac 14260

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