Theorem factwoffsmonot 39388

Description: A factorial with offset is monotonely increasing. (Contributed by metakunt, 20-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
factwoffsmonot	⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑁)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑁)))

Proof of Theorem factwoffsmonot

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 0))
2	1	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + 0)))
3		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + 0))
4	3	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + 0)))
5	2, 4	breq12d 5043	. 2 ⊢ (𝑥 = 0 → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + 0)) ≤ (!‘(𝑌 + 0))))
6		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑦))
7	6	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + 𝑦)))
8		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + 𝑦))
9	8	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + 𝑦)))
10	7, 9	breq12d 5043	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))))
11		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
12	11	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
13		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
14	13	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
15	12, 14	breq12d 5043	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))) ≤ (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1)))))
16		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑁))
17	16	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + 𝑁)))
18		oveq2 7143	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + 𝑁))
19	18	fveq2d 6649	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + 𝑁)))
20	17, 19	breq12d 5043	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + 𝑁)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑁))))
21		facwordi 13645	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘𝑋) ≤ (!‘𝑌))
22		nn0cn 11895	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℂ)
23		addid1 10809	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
25	24	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑋 + 0)) = (!‘𝑋))
26	25	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘(𝑋 + 0)) = (!‘𝑋))
27		nn0cn 11895	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ ℂ)
28		addid1 10809	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ ℂ → (𝑌 + 0) = 𝑌)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 0) = 𝑌)
30	29	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑌 + 0)) = (!‘𝑌))
31	30	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘(𝑌 + 0)) = (!‘𝑌))
32	21, 26, 31	3brtr4d 5062	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘(𝑋 + 0)) ≤ (!‘(𝑌 + 0)))
33		nn0cn 11895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
34		ax-1cn 10584	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
35		addass 10613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
36	34, 35	mp3an3 1447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
37	22, 33, 36	syl2an 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
38	37	fveq2d 6649	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
39	38	3ad2antl1 1182	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
40	39	adantr 484	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
41		nn0addcl 11920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0)
42	41	3adant2 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0)
43	42	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0)
44		nn0addcl 11920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0)
45	44	3adant1 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0)
46	45	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0)
47		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℝ)
48		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ ℝ)
49		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
50		leadd1 11097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦)))
51	47, 48, 49, 50	syl3an 1157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦)))
52	51	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦))
53		facwordi 13645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦)) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)))
54	43, 46, 52, 53	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)))
55	54	3an1rs 1356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)))
56		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
57	43, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
58		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ)
59	46, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ)
60	57, 59	jca 515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ))
61		1re 10630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
62		leadd1 11097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦) ↔ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
63	61, 62	mp3an3 1447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦) ↔ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
64	60, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦) ↔ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
65	52, 64	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1))
66	65	3an1rs 1356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1))
67	55, 66	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
68		faccl 13639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℕ)
69		nnre 11632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℕ → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ)
70	41, 68, 69	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ)
71	70	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ)
72		nngt0 11656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℕ → 0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)))
73	41, 68, 72	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)))
74		0re 10632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
75		ltle 10718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ) → (0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
76	74, 75	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ → (0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
77	70, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
78	73, 77	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦)))
79	78	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦)))
80	71, 79	jca 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
81		faccl 13639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℕ)
82		nnre 11632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℕ → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ)
83	44, 81, 82	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ)
84	83	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ)
85	80, 84	jca 515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))) ∧ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ))
86		1nn0 11901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℕ0
87		nn0addcl 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
88	86, 87	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
89	41, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
90		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
92	91	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
93		nn0ge0 11910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1))
94	89, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1))
95	94	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1))
96	92, 95	jca 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)))
97		nn0readdcl 11949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ)
98		1red 10631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
99	97, 98	readdcld 10659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
100	99	3adant1 1127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
101	96, 100	jca 515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ))
102	85, 101	jca 515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))) ∧ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ) ∧ ((((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)))
103		lemul12a 11487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))) ∧ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ) ∧ ((((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
105	104	3expa 1115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
106	105	3adantl3 1165	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
107	67, 106	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
108		facp1 13634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)))
109	43, 108	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)))
110		facp1 13634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
111	46, 110	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
112	109, 111	jca 515	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
113		breq12 5035	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) ↔ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
114	112, 113	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) ↔ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
115	114	3an1rs 1356	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) ↔ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
116	107, 115	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)))
117	116	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)))
118		addass 10613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
119	34, 118	mp3an3 1447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
120	27, 33, 119	syl2an 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
121	120	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
122	121	3ad2antl2 1183	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
123	122	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
124	117, 123	breqtrd 5056	. . 3 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
125	40, 124	eqbrtrrd 5054	. 2 ⊢ ((((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))) ≤ (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
126	5, 10, 15, 20, 32, 125	nn0indd 12067	1 ⊢ (((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑁)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  !cfa 13629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-fac 13630

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