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Theorem factwoffsmonot 40615
Description: A factorial with offset is monotonely increasing. (Contributed by metakunt, 20-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
factwoffsmonot (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑁)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑁)))

Proof of Theorem factwoffsmonot
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7365 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 0))
21fveq2d 6846 . . 3 (𝑥 = 0 → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + 0)))
3 oveq2 7365 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + 0))
43fveq2d 6846 . . 3 (𝑥 = 0 → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + 0)))
52, 4breq12d 5118 . 2 (𝑥 = 0 → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + 0)) ≤ (!‘(𝑌 + 0))))
6 oveq2 7365 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑦))
76fveq2d 6846 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + 𝑦)))
8 oveq2 7365 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + 𝑦))
98fveq2d 6846 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + 𝑦)))
107, 9breq12d 5118 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))))
11 oveq2 7365 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
1211fveq2d 6846 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
13 oveq2 7365 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
1413fveq2d 6846 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
1512, 14breq12d 5118 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))) ≤ (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1)))))
16 oveq2 7365 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑁))
1716fveq2d 6846 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (!‘(𝑋 + 𝑥)) = (!‘(𝑋 + 𝑁)))
18 oveq2 7365 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑌 + 𝑥) = (𝑌 + 𝑁))
1918fveq2d 6846 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → (!‘(𝑌 + 𝑥)) = (!‘(𝑌 + 𝑁)))
2017, 19breq12d 5118 . 2 (𝑥 = 𝑁 → ((!‘(𝑋 + 𝑥)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑥)) ↔ (!‘(𝑋 + 𝑁)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑁))))
21 facwordi 14189 . . 3 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) → (!‘𝑋) ≤ (!‘𝑌))
22 nn0cn 12423 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ)
23 addid1 11335 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
2524fveq2d 6846 . . . 4 (𝑋 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑋 + 0)) = (!‘𝑋))
26253ad2ant1 1133 . . 3 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) → (!‘(𝑋 + 0)) = (!‘𝑋))
27 nn0cn 12423 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℂ)
28 addid1 11335 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℂ → (𝑌 + 0) = 𝑌)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 0) = 𝑌)
3029fveq2d 6846 . . . 4 (𝑌 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑌 + 0)) = (!‘𝑌))
31303ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) → (!‘(𝑌 + 0)) = (!‘𝑌))
3221, 26, 313brtr4d 5137 . 2 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) → (!‘(𝑋 + 0)) ≤ (!‘(𝑌 + 0)))
33 nn0cn 12423 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
34 ax-1cn 11109 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
35 addass 11138 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
3634, 35mp3an3 1450 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
3722, 33, 36syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) = (𝑋 + (𝑦 + 1)))
3837fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
39383ad2antl1 1185 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
4039adantr 481 . . 3 ((((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))))
41 nn0addcl 12448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0)
42413adant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0)
4342adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0)
44 nn0addcl 12448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0)
45443adant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0)
4645adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0)
47 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℝ)
48 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℝ)
49 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
50 leadd1 11623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑋𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦)))
5147, 48, 49, 50syl3an 1160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦)))
5251biimpa 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦))
53 facwordi 14189 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦)) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)))
5443, 46, 52, 53syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)))
55543an1rs 1359 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)))
56 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
5743, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
58 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ)
5946, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ)
6057, 59jca 512 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ))
61 1re 11155 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
62 leadd1 11623 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦) ↔ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
6361, 62mp3an3 1450 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦) ↔ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → ((𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑌 + 𝑦) ↔ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
6552, 64mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1))
66653an1rs 1359 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1))
6755, 66jca 512 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
68 faccl 14183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℕ)
69 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℕ → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ)
7041, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ)
71703adant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ)
72 nngt0 12184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℕ → 0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)))
7341, 68, 723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)))
74 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
75 ltle 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ) → (0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
7674, 75mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ → (0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
7770, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (0 < (!‘(𝑋 + 𝑦)) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
7873, 77mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦)))
79783adant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦)))
8071, 79jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))))
81 faccl 14183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℕ)
82 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℕ → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ)
8344, 81, 823syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ)
84833adant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ)
8580, 84jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))) ∧ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ))
86 1nn0 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℕ0
87 nn0addcl 12448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
8886, 87mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
8941, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
90 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
92913adant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
93 nn0ge0 12438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1))
9489, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1))
95943adant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1))
9692, 95jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)))
97 nn0readdcl 12479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑌 + 𝑦) ∈ ℝ)
98 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
9997, 98readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
100993adant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)
10196, 100jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ))
10285, 101jca 512 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))) ∧ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ) ∧ ((((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)))
103 lemul12a 12013 . . . . . . . . . 10 (((((!‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘(𝑋 + 𝑦))) ∧ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∈ ℝ) ∧ ((((𝑋 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ ((𝑌 + 𝑦) + 1) ∈ ℝ)) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
1051043expa 1118 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
1061053adantl3 1168 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦)) ∧ ((𝑋 + 𝑦) + 1) ≤ ((𝑌 + 𝑦) + 1)) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
10767, 106mpd 15 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
108 facp1 14178 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)))
10943, 108syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)))
110 facp1 14178 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 + 𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
11146, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1)))
112109, 111jca 512 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
113 breq12 5110 . . . . . . . 8 (((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ∧ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) ↔ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
114112, 113syl 17 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑌) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) ↔ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
1151143an1rs 1359 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) ↔ ((!‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ ((!‘(𝑌 + 𝑦)) · ((𝑌 + 𝑦) + 1))))
116107, 115mpbird 256 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)))
117116adantr 481 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)))
118 addass 11138 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
11934, 118mp3an3 1450 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
12027, 33, 119syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 𝑦) + 1) = (𝑌 + (𝑦 + 1)))
121120fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
1221213ad2antl2 1186 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
123122adantr 481 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑌 + 𝑦) + 1)) = (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
124117, 123breqtrd 5131 . . 3 ((((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘((𝑋 + 𝑦) + 1)) ≤ (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
12540, 124eqbrtrrd 5129 . 2 ((((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (!‘(𝑋 + 𝑦)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑦))) → (!‘(𝑋 + (𝑦 + 1))) ≤ (!‘(𝑌 + (𝑦 + 1))))
1265, 10, 15, 20, 32, 125nn0indd 12600 1 (((𝑋 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℕ0𝑋𝑌) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑋 + 𝑁)) ≤ (!‘(𝑌 + 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  !cfa 14173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-fac 14174
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