Theorem 139prm 16870

Description: 139 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
139prm	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12295	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12297	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12498	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12117	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12503	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12302	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12298	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12303	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12217	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12620	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12614	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12516	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12098	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12622	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12521	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12187	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12089	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16809	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		6nn0 12300	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
21	7, 20	deccl 12498	. . 3 ⊢ ;46 ∈ ℕ0
22		1nn 12030	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		0nn0 12294	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;46 = ;46
25	1	dec0h 12505	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
26		ax-1cn 10975	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
27	26	addid2i 11209	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
28	27	oveq2i 7318	. . . . 5 ⊢ ((3 · 4) + (0 + 1)) = ((3 · 4) + 1)
29		2nn0 12296	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
30		2p1e3 12161	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
31	7	nn0cni 12291	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
32		3cn 12100	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		4t3e12 12581	. . . . . . 7 ⊢ (4 · 3) = ;12
34	31, 32, 33	mulcomli 11030	. . . . . 6 ⊢ (3 · 4) = ;12
35	1, 29, 30, 34	decsuc 12514	. . . . 5 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
36	28, 35	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + (0 + 1)) = ;13
37		8p1e9 12169	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
38	20	nn0cni 12291	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
39		6t3e18 12588	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
40	38, 32, 39	mulcomli 11030	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
41	1, 6, 37, 40	decsuc 12514	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
42	7, 20, 23, 1, 24, 25, 2, 8, 1, 36, 41	decma2c 12536	. . 3 ⊢ ((3 · ;46) + 1) = ;;139
43		1lt3 12192	. . 3 ⊢ 1 < 3
44	13, 21, 22, 42, 43	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
45		4nn 12102	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
46		4lt5 12196	. . 3 ⊢ 4 < 5
47		5p4e9 12177	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
48	3, 45, 46, 47	dec5dvds2 16811	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
49		7nn 12111	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
50	1, 8	deccl 12498	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
51		6nn 12108	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
52		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
53	20	dec0h 12505	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
54		7nn0 12301	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
55		7cn 12113	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
56	55	mulid1i 11025	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
57	38	addid2i 11209	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
58	56, 57	oveq12i 7319	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
59		7p6e13 12561	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
60	58, 59	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
61		9cn 12119	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
62		9t7e63 12610	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
63	61, 55, 62	mulcomli 11030	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
64		6p3e9 12179	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
65	38, 32, 64	addcomli 11213	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
66	20, 2, 20, 63, 65	decaddi 12543	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
67	1, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 60, 66	decma2c 12536	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
68		6lt7 12205	. . 3 ⊢ 6 < 7
69	49, 50, 51, 67, 68	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
70	1, 22	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
71	1, 29	deccl 12498	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
72		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
73	54	dec0h 12505	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
74	1, 1	deccl 12498	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
75		2cn 12094	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
76	75	addid2i 11209	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
77	76	oveq2i 7318	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
78	70	nncni 12029	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
79	78	mulid1i 11025	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
80		1p2e3 12162	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
81	1, 1, 29, 79, 80	decaddi 12543	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
82	77, 81	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
83		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
84	75	mulid2i 11026	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
85		00id 11196	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
86	84, 85	oveq12i 7319	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
87	75	addid1i 11208	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
88	86, 87	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
89	84	oveq1i 7317	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
90		7p2e9 12180	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
91	55, 75, 90	addcomli 11213	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
92	8	dec0h 12505	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
93	89, 91, 92	3eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
94	1, 1, 23, 54, 83, 73, 29, 8, 23, 88, 93	decmac 12535	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
95	1, 29, 23, 54, 72, 73, 74, 8, 29, 82, 94	decma2c 12536	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
96		7lt10 12616	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
97	22, 1, 54, 96	declti 12521	. . 3 ⊢ 7 < ;11
98	70, 71, 49, 95, 97	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
99		10nn0 12501	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
100		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
101		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
102	23	dec0h 12505	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
103	85, 102	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = ;00
104	26	mulid1i 11025	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
105	104, 85	oveq12i 7319	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
106	26	addid1i 11208	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
107	105, 106	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
108	32	mulid1i 11025	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
109	108	oveq1i 7317	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
110	32	addid1i 11208	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
111	2	dec0h 12505	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
112	109, 110, 111	3eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = ;03
113	1, 2, 23, 23, 101, 103, 1, 2, 23, 107, 112	decmac 12535	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
114	3	nn0cni 12291	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
115	114	mul01i 11211	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
116	115	oveq1i 7317	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
117	61	addid2i 11209	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
118	116, 117, 92	3eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
119	1, 23, 23, 8, 100, 92, 3, 8, 23, 113, 118	decma2c 12536	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
120	22, 2, 8, 11	declti 12521	. . 3 ⊢ 9 < ;13
121	14, 99, 4, 119, 120	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
122	1, 49	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
123		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
124		5nn0 12299	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
125		8cn 12116	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
126	125	mulid2i 11026	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
127		5cn 12107	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
128	127	addid2i 11209	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
129	126, 128	oveq12i 7319	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
130		8p5e13 12566	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
131	129, 130	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
132		8t7e56 12603	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
133	125, 55, 132	mulcomli 11030	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
134	124, 20, 2, 133, 64	decaddi 12543	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
135	1, 54, 23, 2, 123, 111, 6, 8, 124, 131, 134	decmac 12535	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
136	22, 54, 2, 10	declti 12521	. . 3 ⊢ 3 < ;17
137	122, 6, 13, 135, 136	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
138	1, 4	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
139	55	mulid2i 11026	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
140	139, 57	oveq12i 7319	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
141	140, 59	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
142	20, 2, 20, 62, 65	decaddi 12543	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
143	1, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 141, 142	decmac 12535	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
144		6lt10 12617	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
145	22, 8, 20, 144	declti 12521	. . 3 ⊢ 6 < ;19
146	138, 54, 51, 143, 145	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
147	29, 13	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
148		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
149		6t2e12 12587	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
150	38, 75, 149	mulcomli 11030	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
151	1, 29, 30, 150	decsuc 12514	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
152	29, 2, 1, 148, 20, 8, 1, 151, 41	decrmac 12541	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
153		2nn 12092	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
154	153, 2, 1, 15	declti 12521	. . 3 ⊢ 1 < ;23
155	147, 20, 22, 152, 154	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
156	5, 12, 16, 19, 44, 48, 69, 98, 121, 137, 146, 155	prmlem2 16866	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7307  0cc0 10917  1c1 10918   + caddc 10920   · cmul 10922  2c2 12074  3c3 12075  4c4 12076  5c5 12077  6c6 12078  7c7 12079  8c8 12080  9c9 12081  ;cdc 12483  ℙcprime 16421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fz 13286  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-dvds 16009  df-prm 16422

This theorem is referenced by:  2503prm  16886