MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  139prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 139prm 16038
Description: 139 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
139prm 139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 11510 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 11512 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11714 . . 3 13 ∈ ℕ0
4 9nn 11394 . . 3 9 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11720 . 2 139 ∈ ℕ
6 8nn0 11517 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11513 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 9nn0 11518 . . 3 9 ∈ ℕ0
9 1lt8 11423 . . 3 1 < 8
10 3lt10 11880 . . 3 3 < 10
11 9lt10 11874 . . 3 9 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11740 . 2 139 < 841
13 3nn 11388 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11720 . . 3 13 ∈ ℕ
15 1lt10 11882 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11748 . 2 1 < 139
17 4t2e8 11383 . . 3 (4 · 2) = 8
18 df-9 11288 . . 3 9 = (8 + 1)
193, 7, 17, 18dec2dvds 15974 . 2 ¬ 2 ∥ 139
20 6nn0 11515 . . . 4 6 ∈ ℕ0
217, 20deccl 11714 . . 3 46 ∈ ℕ0
22 1nn 11233 . . 3 1 ∈ ℕ
23 0nn0 11509 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2771 . . . 4 46 = 46
251dec0h 11724 . . . 4 1 = 01
26 ax-1cn 10196 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2726addid2i 10426 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2827oveq2i 6804 . . . . 5 ((3 · 4) + (0 + 1)) = ((3 · 4) + 1)
29 2nn0 11511 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
30 2p1e3 11353 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
317nn0cni 11506 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
32 3cn 11297 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
33 4t3e12 11833 . . . . . . 7 (4 · 3) = 12
3431, 32, 33mulcomli 10249 . . . . . 6 (3 · 4) = 12
351, 29, 30, 34decsuc 11737 . . . . 5 ((3 · 4) + 1) = 13
3628, 35eqtri 2793 . . . 4 ((3 · 4) + (0 + 1)) = 13
37 8p1e9 11360 . . . . 5 (8 + 1) = 9
3820nn0cni 11506 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
39 6t3e18 11843 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
4038, 32, 39mulcomli 10249 . . . . 5 (3 · 6) = 18
411, 6, 37, 40decsuc 11737 . . . 4 ((3 · 6) + 1) = 19
427, 20, 23, 1, 24, 25, 2, 8, 1, 36, 41decma2c 11769 . . 3 ((3 · 46) + 1) = 139
43 1lt3 11398 . . 3 1 < 3
4413, 21, 22, 42, 43ndvdsi 15344 . 2 ¬ 3 ∥ 139
45 4nn 11389 . . 3 4 ∈ ℕ
46 4lt5 11402 . . 3 4 < 5
47 5p4e9 11369 . . 3 (5 + 4) = 9
483, 45, 46, 47dec5dvds2 15976 . 2 ¬ 5 ∥ 139
49 7nn 11392 . . 3 7 ∈ ℕ
501, 8deccl 11714 . . 3 19 ∈ ℕ0
51 6nn 11391 . . 3 6 ∈ ℕ
52 eqid 2771 . . . 4 19 = 19
5320dec0h 11724 . . . 4 6 = 06
54 7nn0 11516 . . . 4 7 ∈ ℕ0
55 7cn 11306 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
5655mulid1i 10244 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
5738addid2i 10426 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
5856, 57oveq12i 6805 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
59 7p6e13 11809 . . . . 5 (7 + 6) = 13
6058, 59eqtri 2793 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 6)) = 13
61 9cn 11310 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
62 9t7e63 11869 . . . . . 6 (9 · 7) = 63
6361, 55, 62mulcomli 10249 . . . . 5 (7 · 9) = 63
64 6p3e9 11372 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
6538, 32, 64addcomli 10430 . . . . 5 (3 + 6) = 9
6620, 2, 20, 63, 65decaddi 11780 . . . 4 ((7 · 9) + 6) = 69
671, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 60, 66decma2c 11769 . . 3 ((7 · 19) + 6) = 139
68 6lt7 11411 . . 3 6 < 7
6949, 50, 51, 67, 68ndvdsi 15344 . 2 ¬ 7 ∥ 139
701, 22decnncl 11720 . . 3 11 ∈ ℕ
711, 29deccl 11714 . . 3 12 ∈ ℕ0
72 eqid 2771 . . . 4 12 = 12
7354dec0h 11724 . . . 4 7 = 07
741, 1deccl 11714 . . . 4 11 ∈ ℕ0
75 2cn 11293 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7675addid2i 10426 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
7776oveq2i 6804 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 2)) = ((11 · 1) + 2)
7870nncni 11232 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7978mulid1i 10244 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
80 1p2e3 11354 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
811, 1, 29, 79, 80decaddi 11780 . . . . 5 ((11 · 1) + 2) = 13
8277, 81eqtri 2793 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 2)) = 13
83 eqid 2771 . . . . 5 11 = 11
8475mulid2i 10245 . . . . . . 7 (1 · 2) = 2
85 00id 10413 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
8684, 85oveq12i 6805 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
8775addid1i 10425 . . . . . 6 (2 + 0) = 2
8886, 87eqtri 2793 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
8984oveq1i 6803 . . . . . 6 ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
90 7p2e9 11374 . . . . . . 7 (7 + 2) = 9
9155, 75, 90addcomli 10430 . . . . . 6 (2 + 7) = 9
928dec0h 11724 . . . . . 6 9 = 09
9389, 91, 923eqtri 2797 . . . . 5 ((1 · 2) + 7) = 09
941, 1, 23, 54, 83, 73, 29, 8, 23, 88, 93decmac 11767 . . . 4 ((11 · 2) + 7) = 29
951, 29, 23, 54, 72, 73, 74, 8, 29, 82, 94decma2c 11769 . . 3 ((11 · 12) + 7) = 139
96 7lt10 11876 . . . 4 7 < 10
9722, 1, 54, 96declti 11748 . . 3 7 < 11
9870, 71, 49, 95, 97ndvdsi 15344 . 2 ¬ 11 ∥ 139
99 10nn0 11718 . . 3 10 ∈ ℕ0
100 eqid 2771 . . . 4 10 = 10
101 eqid 2771 . . . . 5 13 = 13
10223dec0h 11724 . . . . . 6 0 = 00
10385, 102eqtri 2793 . . . . 5 (0 + 0) = 00
10426mulid1i 10244 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
105104, 85oveq12i 6805 . . . . . 6 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
10626addid1i 10425 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
107105, 106eqtri 2793 . . . . 5 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10832mulid1i 10244 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
109108oveq1i 6803 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
11032addid1i 10425 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
1112dec0h 11724 . . . . . 6 3 = 03
112109, 110, 1113eqtri 2797 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 03
1131, 2, 23, 23, 101, 103, 1, 2, 23, 107, 112decmac 11767 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 0)) = 13
1143nn0cni 11506 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
115114mul01i 10428 . . . . . 6 (13 · 0) = 0
116115oveq1i 6803 . . . . 5 ((13 · 0) + 9) = (0 + 9)
11761addid2i 10426 . . . . 5 (0 + 9) = 9
118116, 117, 923eqtri 2797 . . . 4 ((13 · 0) + 9) = 09
1191, 23, 23, 8, 100, 92, 3, 8, 23, 113, 118decma2c 11769 . . 3 ((13 · 10) + 9) = 139
12022, 2, 8, 11declti 11748 . . 3 9 < 13
12114, 99, 4, 119, 120ndvdsi 15344 . 2 ¬ 13 ∥ 139
1221, 49decnncl 11720 . . 3 17 ∈ ℕ
123 eqid 2771 . . . 4 17 = 17
124 5nn0 11514 . . . 4 5 ∈ ℕ0
125 8cn 11308 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
126125mulid2i 10245 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
127 5cn 11302 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
128127addid2i 10426 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
129126, 128oveq12i 6805 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
130 8p5e13 11816 . . . . 5 (8 + 5) = 13
131129, 130eqtri 2793 . . . 4 ((1 · 8) + (0 + 5)) = 13
132 8t7e56 11862 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
133125, 55, 132mulcomli 10249 . . . . 5 (7 · 8) = 56
134124, 20, 2, 133, 64decaddi 11780 . . . 4 ((7 · 8) + 3) = 59
1351, 54, 23, 2, 123, 111, 6, 8, 124, 131, 134decmac 11767 . . 3 ((17 · 8) + 3) = 139
13622, 54, 2, 10declti 11748 . . 3 3 < 17
137122, 6, 13, 135, 136ndvdsi 15344 . 2 ¬ 17 ∥ 139
1381, 4decnncl 11720 . . 3 19 ∈ ℕ
13955mulid2i 10245 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
140139, 57oveq12i 6805 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
141140, 59eqtri 2793 . . . 4 ((1 · 7) + (0 + 6)) = 13
14220, 2, 20, 62, 65decaddi 11780 . . . 4 ((9 · 7) + 6) = 69
1431, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 141, 142decmac 11767 . . 3 ((19 · 7) + 6) = 139
144 6lt10 11877 . . . 4 6 < 10
14522, 8, 20, 144declti 11748 . . 3 6 < 19
146138, 54, 51, 143, 145ndvdsi 15344 . 2 ¬ 19 ∥ 139
14729, 13decnncl 11720 . . 3 23 ∈ ℕ
148 eqid 2771 . . . 4 23 = 23
149 6t2e12 11842 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
15038, 75, 149mulcomli 10249 . . . . 5 (2 · 6) = 12
1511, 29, 30, 150decsuc 11737 . . . 4 ((2 · 6) + 1) = 13
15229, 2, 1, 148, 20, 8, 1, 151, 41decrmac 11778 . . 3 ((23 · 6) + 1) = 139
153 2nn 11387 . . . 4 2 ∈ ℕ
154153, 2, 1, 15declti 11748 . . 3 1 < 23
155147, 20, 22, 152, 154ndvdsi 15344 . 2 ¬ 23 ∥ 139
1565, 12, 16, 19, 44, 48, 69, 98, 121, 137, 146, 155prmlem2 16034 1 139 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2145  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  cdc 11695  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593
This theorem is referenced by:  2503prm  16054
  Copyright terms: Public domain W3C validator