Theorem 139prm 17206

Description: 139 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
139prm	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12535	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12537	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12742	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12354	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12751	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12542	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12538	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12543	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12456	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12870	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12864	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12765	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12335	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12872	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12770	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12424	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12325	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17145	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		6nn0 12540	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
21	7, 20	deccl 12742	. . 3 ⊢ ;46 ∈ ℕ0
22		1nn 12259	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		0nn0 12534	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;46 = ;46
25	1	dec0h 12754	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
26		ax-1cn 11173	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
27	26	addlidi 11413	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
28	27	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ ((3 · 4) + (0 + 1)) = ((3 · 4) + 1)
29		2nn0 12536	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
30		2p1e3 12397	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
31	7	nn0cni 12531	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
32		3cn 12337	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		4t3e12 12830	. . . . . . 7 ⊢ (4 · 3) = ;12
34	31, 32, 33	mulcomli 11233	. . . . . 6 ⊢ (3 · 4) = ;12
35	1, 29, 30, 34	decsuc 12763	. . . . 5 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
36	28, 35	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + (0 + 1)) = ;13
37		8p1e9 12405	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
38	20	nn0cni 12531	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
39		6t3e18 12837	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
40	38, 32, 39	mulcomli 11233	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
41	1, 6, 37, 40	decsuc 12763	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
42	7, 20, 23, 1, 24, 25, 2, 8, 1, 36, 41	decma2c 12785	. . 3 ⊢ ((3 · ;46) + 1) = ;;139
43		1lt3 12431	. . 3 ⊢ 1 < 3
44	13, 21, 22, 42, 43	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
45		4nn 12339	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
46		4lt5 12435	. . 3 ⊢ 4 < 5
47		5p4e9 12413	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
48	3, 45, 46, 47	dec5dvds2 17147	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
49		7nn 12348	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
50	1, 8	deccl 12742	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
51		6nn 12345	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
52		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
53	20	dec0h 12754	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
54		7nn0 12541	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
55		7cn 12350	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
56	55	mulridi 11228	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
57	38	addlidi 11413	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
58	56, 57	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
59		7p6e13 12810	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
60	58, 59	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
61		9cn 12356	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
62		9t7e63 12859	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
63	61, 55, 62	mulcomli 11233	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
64		6p3e9 12415	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
65	38, 32, 64	addcomli 11417	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
66	20, 2, 20, 63, 65	decaddi 12792	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
67	1, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 60, 66	decma2c 12785	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
68		6lt7 12444	. . 3 ⊢ 6 < 7
69	49, 50, 51, 67, 68	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
70	1, 22	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
71	1, 29	deccl 12742	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
72		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
73	54	dec0h 12754	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
74	1, 1	deccl 12742	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
75		2cn 12331	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
76	75	addlidi 11413	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
77	76	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
78	70	nncni 12258	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
79	78	mulridi 11228	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
80		1p2e3 12398	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
81	1, 1, 29, 79, 80	decaddi 12792	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
82	77, 81	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
83		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
84	75	mullidi 11229	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
85		00id 11400	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
86	84, 85	oveq12i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
87	75	addridi 11412	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
88	86, 87	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
89	84	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
90		7p2e9 12416	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
91	55, 75, 90	addcomli 11417	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
92	8	dec0h 12754	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
93	89, 91, 92	3eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
94	1, 1, 23, 54, 83, 73, 29, 8, 23, 88, 93	decmac 12784	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
95	1, 29, 23, 54, 72, 73, 74, 8, 29, 82, 94	decma2c 12785	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
96		7lt10 12866	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
97	22, 1, 54, 96	declti 12770	. . 3 ⊢ 7 < ;11
98	70, 71, 49, 95, 97	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
99		10nn0 12749	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
100		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
101		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
102	23	dec0h 12754	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
103	85, 102	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = ;00
104	26	mulridi 11228	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
105	104, 85	oveq12i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
106	26	addridi 11412	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
107	105, 106	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
108	32	mulridi 11228	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
109	108	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
110	32	addridi 11412	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
111	2	dec0h 12754	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
112	109, 110, 111	3eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = ;03
113	1, 2, 23, 23, 101, 103, 1, 2, 23, 107, 112	decmac 12784	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
114	3	nn0cni 12531	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
115	114	mul01i 11415	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
116	115	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
117	61	addlidi 11413	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
118	116, 117, 92	3eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
119	1, 23, 23, 8, 100, 92, 3, 8, 23, 113, 118	decma2c 12785	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
120	22, 2, 8, 11	declti 12770	. . 3 ⊢ 9 < ;13
121	14, 99, 4, 119, 120	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
122	1, 49	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
123		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
124		5nn0 12539	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
125		8cn 12353	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
126	125	mullidi 11229	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
127		5cn 12344	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
128	127	addlidi 11413	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
129	126, 128	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
130		8p5e13 12815	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
131	129, 130	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
132		8t7e56 12852	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
133	125, 55, 132	mulcomli 11233	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
134	124, 20, 2, 133, 64	decaddi 12792	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
135	1, 54, 23, 2, 123, 111, 6, 8, 124, 131, 134	decmac 12784	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
136	22, 54, 2, 10	declti 12770	. . 3 ⊢ 3 < ;17
137	122, 6, 13, 135, 136	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
138	1, 4	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
139	55	mullidi 11229	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
140	139, 57	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
141	140, 59	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
142	20, 2, 20, 62, 65	decaddi 12792	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
143	1, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 141, 142	decmac 12784	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
144		6lt10 12867	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
145	22, 8, 20, 144	declti 12770	. . 3 ⊢ 6 < ;19
146	138, 54, 51, 143, 145	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
147	29, 13	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
148		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
149		6t2e12 12836	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
150	38, 75, 149	mulcomli 11233	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
151	1, 29, 30, 150	decsuc 12763	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
152	29, 2, 1, 148, 20, 8, 1, 151, 41	decrmac 12790	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
153		2nn 12329	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
154	153, 2, 1, 15	declti 12770	. . 3 ⊢ 1 < ;23
155	147, 20, 22, 152, 154	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
156	5, 12, 16, 19, 44, 48, 69, 98, 121, 137, 146, 155	prmlem2 17202	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120  2c2 12310  3c3 12311  4c4 12312  5c5 12313  6c6 12314  7c7 12315  8c8 12316  9c9 12317  ;cdc 12727  ℙcprime 16751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-prm 16752

This theorem is used by:  2503prm  17222