MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  139prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 139prm 17098
Description: 139 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
139prm 139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 12524 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 12526 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12728 . . 3 13 ∈ ℕ0
4 9nn 12346 . . 3 9 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12733 . 2 139 ∈ ℕ
6 8nn0 12531 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 12527 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 9nn0 12532 . . 3 9 ∈ ℕ0
9 1lt8 12446 . . 3 1 < 8
10 3lt10 12850 . . 3 3 < 10
11 9lt10 12844 . . 3 9 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 12746 . 2 139 < 841
13 3nn 12327 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 12733 . . 3 13 ∈ ℕ
15 1lt10 12852 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 12751 . 2 1 < 139
17 4t2e8 12416 . . 3 (4 · 2) = 8
18 df-9 12318 . . 3 9 = (8 + 1)
193, 7, 17, 18dec2dvds 17037 . 2 ¬ 2 ∥ 139
20 6nn0 12529 . . . 4 6 ∈ ℕ0
217, 20deccl 12728 . . 3 46 ∈ ℕ0
22 1nn 12259 . . 3 1 ∈ ℕ
23 0nn0 12523 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2727 . . . 4 46 = 46
251dec0h 12735 . . . 4 1 = 01
26 ax-1cn 11202 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2726addlidi 11438 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2827oveq2i 7435 . . . . 5 ((3 · 4) + (0 + 1)) = ((3 · 4) + 1)
29 2nn0 12525 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
30 2p1e3 12390 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
317nn0cni 12520 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
32 3cn 12329 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
33 4t3e12 12811 . . . . . . 7 (4 · 3) = 12
3431, 32, 33mulcomli 11259 . . . . . 6 (3 · 4) = 12
351, 29, 30, 34decsuc 12744 . . . . 5 ((3 · 4) + 1) = 13
3628, 35eqtri 2755 . . . 4 ((3 · 4) + (0 + 1)) = 13
37 8p1e9 12398 . . . . 5 (8 + 1) = 9
3820nn0cni 12520 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
39 6t3e18 12818 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
4038, 32, 39mulcomli 11259 . . . . 5 (3 · 6) = 18
411, 6, 37, 40decsuc 12744 . . . 4 ((3 · 6) + 1) = 19
427, 20, 23, 1, 24, 25, 2, 8, 1, 36, 41decma2c 12766 . . 3 ((3 · 46) + 1) = 139
43 1lt3 12421 . . 3 1 < 3
4413, 21, 22, 42, 43ndvdsi 16394 . 2 ¬ 3 ∥ 139
45 4nn 12331 . . 3 4 ∈ ℕ
46 4lt5 12425 . . 3 4 < 5
47 5p4e9 12406 . . 3 (5 + 4) = 9
483, 45, 46, 47dec5dvds2 17039 . 2 ¬ 5 ∥ 139
49 7nn 12340 . . 3 7 ∈ ℕ
501, 8deccl 12728 . . 3 19 ∈ ℕ0
51 6nn 12337 . . 3 6 ∈ ℕ
52 eqid 2727 . . . 4 19 = 19
5320dec0h 12735 . . . 4 6 = 06
54 7nn0 12530 . . . 4 7 ∈ ℕ0
55 7cn 12342 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
5655mulridi 11254 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
5738addlidi 11438 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
5856, 57oveq12i 7436 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
59 7p6e13 12791 . . . . 5 (7 + 6) = 13
6058, 59eqtri 2755 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 6)) = 13
61 9cn 12348 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
62 9t7e63 12840 . . . . . 6 (9 · 7) = 63
6361, 55, 62mulcomli 11259 . . . . 5 (7 · 9) = 63
64 6p3e9 12408 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
6538, 32, 64addcomli 11442 . . . . 5 (3 + 6) = 9
6620, 2, 20, 63, 65decaddi 12773 . . . 4 ((7 · 9) + 6) = 69
671, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 60, 66decma2c 12766 . . 3 ((7 · 19) + 6) = 139
68 6lt7 12434 . . 3 6 < 7
6949, 50, 51, 67, 68ndvdsi 16394 . 2 ¬ 7 ∥ 139
701, 22decnncl 12733 . . 3 11 ∈ ℕ
711, 29deccl 12728 . . 3 12 ∈ ℕ0
72 eqid 2727 . . . 4 12 = 12
7354dec0h 12735 . . . 4 7 = 07
741, 1deccl 12728 . . . 4 11 ∈ ℕ0
75 2cn 12323 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7675addlidi 11438 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
7776oveq2i 7435 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 2)) = ((11 · 1) + 2)
7870nncni 12258 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7978mulridi 11254 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
80 1p2e3 12391 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
811, 1, 29, 79, 80decaddi 12773 . . . . 5 ((11 · 1) + 2) = 13
8277, 81eqtri 2755 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 2)) = 13
83 eqid 2727 . . . . 5 11 = 11
8475mullidi 11255 . . . . . . 7 (1 · 2) = 2
85 00id 11425 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
8684, 85oveq12i 7436 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
8775addridi 11437 . . . . . 6 (2 + 0) = 2
8886, 87eqtri 2755 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
8984oveq1i 7434 . . . . . 6 ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
90 7p2e9 12409 . . . . . . 7 (7 + 2) = 9
9155, 75, 90addcomli 11442 . . . . . 6 (2 + 7) = 9
928dec0h 12735 . . . . . 6 9 = 09
9389, 91, 923eqtri 2759 . . . . 5 ((1 · 2) + 7) = 09
941, 1, 23, 54, 83, 73, 29, 8, 23, 88, 93decmac 12765 . . . 4 ((11 · 2) + 7) = 29
951, 29, 23, 54, 72, 73, 74, 8, 29, 82, 94decma2c 12766 . . 3 ((11 · 12) + 7) = 139
96 7lt10 12846 . . . 4 7 < 10
9722, 1, 54, 96declti 12751 . . 3 7 < 11
9870, 71, 49, 95, 97ndvdsi 16394 . 2 ¬ 11 ∥ 139
99 10nn0 12731 . . 3 10 ∈ ℕ0
100 eqid 2727 . . . 4 10 = 10
101 eqid 2727 . . . . 5 13 = 13
10223dec0h 12735 . . . . . 6 0 = 00
10385, 102eqtri 2755 . . . . 5 (0 + 0) = 00
10426mulridi 11254 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
105104, 85oveq12i 7436 . . . . . 6 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
10626addridi 11437 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
107105, 106eqtri 2755 . . . . 5 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10832mulridi 11254 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
109108oveq1i 7434 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
11032addridi 11437 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
1112dec0h 12735 . . . . . 6 3 = 03
112109, 110, 1113eqtri 2759 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 03
1131, 2, 23, 23, 101, 103, 1, 2, 23, 107, 112decmac 12765 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 0)) = 13
1143nn0cni 12520 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
115114mul01i 11440 . . . . . 6 (13 · 0) = 0
116115oveq1i 7434 . . . . 5 ((13 · 0) + 9) = (0 + 9)
11761addlidi 11438 . . . . 5 (0 + 9) = 9
118116, 117, 923eqtri 2759 . . . 4 ((13 · 0) + 9) = 09
1191, 23, 23, 8, 100, 92, 3, 8, 23, 113, 118decma2c 12766 . . 3 ((13 · 10) + 9) = 139
12022, 2, 8, 11declti 12751 . . 3 9 < 13
12114, 99, 4, 119, 120ndvdsi 16394 . 2 ¬ 13 ∥ 139
1221, 49decnncl 12733 . . 3 17 ∈ ℕ
123 eqid 2727 . . . 4 17 = 17
124 5nn0 12528 . . . 4 5 ∈ ℕ0
125 8cn 12345 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
126125mullidi 11255 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
127 5cn 12336 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
128127addlidi 11438 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
129126, 128oveq12i 7436 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
130 8p5e13 12796 . . . . 5 (8 + 5) = 13
131129, 130eqtri 2755 . . . 4 ((1 · 8) + (0 + 5)) = 13
132 8t7e56 12833 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
133125, 55, 132mulcomli 11259 . . . . 5 (7 · 8) = 56
134124, 20, 2, 133, 64decaddi 12773 . . . 4 ((7 · 8) + 3) = 59
1351, 54, 23, 2, 123, 111, 6, 8, 124, 131, 134decmac 12765 . . 3 ((17 · 8) + 3) = 139
13622, 54, 2, 10declti 12751 . . 3 3 < 17
137122, 6, 13, 135, 136ndvdsi 16394 . 2 ¬ 17 ∥ 139
1381, 4decnncl 12733 . . 3 19 ∈ ℕ
13955mullidi 11255 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
140139, 57oveq12i 7436 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
141140, 59eqtri 2755 . . . 4 ((1 · 7) + (0 + 6)) = 13
14220, 2, 20, 62, 65decaddi 12773 . . . 4 ((9 · 7) + 6) = 69
1431, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 141, 142decmac 12765 . . 3 ((19 · 7) + 6) = 139
144 6lt10 12847 . . . 4 6 < 10
14522, 8, 20, 144declti 12751 . . 3 6 < 19
146138, 54, 51, 143, 145ndvdsi 16394 . 2 ¬ 19 ∥ 139
14729, 13decnncl 12733 . . 3 23 ∈ ℕ
148 eqid 2727 . . . 4 23 = 23
149 6t2e12 12817 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
15038, 75, 149mulcomli 11259 . . . . 5 (2 · 6) = 12
1511, 29, 30, 150decsuc 12744 . . . 4 ((2 · 6) + 1) = 13
15229, 2, 1, 148, 20, 8, 1, 151, 41decrmac 12771 . . 3 ((23 · 6) + 1) = 139
153 2nn 12321 . . . 4 2 ∈ ℕ
154153, 2, 1, 15declti 12751 . . 3 1 < 23
155147, 20, 22, 152, 154ndvdsi 16394 . 2 ¬ 23 ∥ 139
1565, 12, 16, 19, 44, 48, 69, 98, 121, 137, 146, 155prmlem2 17094 1 139 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2098  (class class class)co 7424  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   · cmul 11149  2c2 12303  3c3 12304  4c4 12305  5c5 12306  6c6 12307  7c7 12308  8c8 12309  9c9 12310  cdc 12713  cprime 16647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-dvds 16237  df-prm 16648
This theorem is referenced by:  2503prm  17114
  Copyright terms: Public domain W3C validator