Theorem 139prm 17346

Description: 139 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
139prm	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12662	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12664	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12481	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12878	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12669	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12665	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12670	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12583	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12997	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12991	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12892	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12462	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12999	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12897	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12551	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12452	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17285	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		6nn0 12667	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
21	7, 20	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;46 ∈ ℕ0
22		1nn 12386	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
23		0nn0 12661	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;46 = ;46
25	1	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
26		ax-1cn 11297	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
27	26	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
28	27	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ ((3 · 4) + (0 + 1)) = ((3 · 4) + 1)
29		2nn0 12663	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
30		2p1e3 12524	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
31	7	nn0cni 12658	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
32		3cn 12464	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		4t3e12 12957	. . . . . . 7 ⊢ (4 · 3) = ;12
34	31, 32, 33	mulcomli 11357	. . . . . 6 ⊢ (3 · 4) = ;12
35	1, 29, 30, 34	decsuc 12890	. . . . 5 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
36	28, 35	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + (0 + 1)) = ;13
37		8p1e9 12532	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
38	20	nn0cni 12658	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
39		6t3e18 12964	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
40	38, 32, 39	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
41	1, 6, 37, 40	decsuc 12890	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
42	7, 20, 23, 1, 24, 25, 2, 8, 1, 36, 41	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((3 · ;46) + 1) = ;;139
43		1lt3 12558	. . 3 ⊢ 1 < 3
44	13, 21, 22, 42, 43	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
45		4nn 12466	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
46		4lt5 12562	. . 3 ⊢ 4 < 5
47		5p4e9 12540	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
48	3, 45, 46, 47	dec5dvds2 17287	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
49		7nn 12475	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
50	1, 8	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
51		6nn 12472	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
52		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
53	20	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
54		7nn0 12668	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
55		7cn 12477	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
56	55	mulridi 11352	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
57	38	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
58	56, 57	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
59		7p6e13 12937	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
60	58, 59	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
61		9cn 12483	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℂ
62		9t7e63 12986	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
63	61, 55, 62	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
64		6p3e9 12542	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
65	38, 32, 64	addcomli 11541	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
66	20, 2, 20, 63, 65	decaddi 12919	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
67	1, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 60, 66	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
68		6lt7 12571	. . 3 ⊢ 6 < 7
69	49, 50, 51, 67, 68	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
70	1, 22	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
71	1, 29	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
72		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
73	54	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
74	1, 1	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
75		2cn 12458	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
76	75	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
77	76	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
78	70	nncni 12385	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
79	78	mulridi 11352	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
80		1p2e3 12525	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
81	1, 1, 29, 79, 80	decaddi 12919	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
82	77, 81	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
83		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
84	75	mullidi 11353	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
85		00id 11524	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
86	84, 85	oveq12i 7463	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
87	75	addridi 11536	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
88	86, 87	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
89	84	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
90		7p2e9 12543	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
91	55, 75, 90	addcomli 11541	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
92	8	dec0h 12881	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
93	89, 91, 92	3eqtri 2790	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
94	1, 1, 23, 54, 83, 73, 29, 8, 23, 88, 93	decmac 12911	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
95	1, 29, 23, 54, 72, 73, 74, 8, 29, 82, 94	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
96		7lt10 12993	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
97	22, 1, 54, 96	declti 12897	. . 3 ⊢ 7 < ;11
98	70, 71, 49, 95, 97	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
99		10nn0 12876	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
100		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
101		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
102	23	dec0h 12881	. . . . . 6 ⊢ 0 = ;00
103	85, 102	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (0 + 0) = ;00
104	26	mulridi 11352	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
105	104, 85	oveq12i 7463	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
106	26	addridi 11536	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
107	105, 106	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
108	32	mulridi 11352	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 1) = 3
109	108	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
110	32	addridi 11536	. . . . . 6 ⊢ (3 + 0) = 3
111	2	dec0h 12881	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
112	109, 110, 111	3eqtri 2790	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 0) = ;03
113	1, 2, 23, 23, 101, 103, 1, 2, 23, 107, 112	decmac 12911	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
114	3	nn0cni 12658	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
115	114	mul01i 11539	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
116	115	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
117	61	addlidi 11537	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
118	116, 117, 92	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
119	1, 23, 23, 8, 100, 92, 3, 8, 23, 113, 118	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
120	22, 2, 8, 11	declti 12897	. . 3 ⊢ 9 < ;13
121	14, 99, 4, 119, 120	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
122	1, 49	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
123		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
124		5nn0 12666	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
125		8cn 12480	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
126	125	mullidi 11353	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
127		5cn 12471	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
128	127	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
129	126, 128	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
130		8p5e13 12942	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
131	129, 130	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
132		8t7e56 12979	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
133	125, 55, 132	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
134	124, 20, 2, 133, 64	decaddi 12919	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
135	1, 54, 23, 2, 123, 111, 6, 8, 124, 131, 134	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
136	22, 54, 2, 10	declti 12897	. . 3 ⊢ 3 < ;17
137	122, 6, 13, 135, 136	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
138	1, 4	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
139	55	mullidi 11353	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
140	139, 57	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
141	140, 59	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
142	20, 2, 20, 62, 65	decaddi 12919	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
143	1, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 141, 142	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
144		6lt10 12994	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
145	22, 8, 20, 144	declti 12897	. . 3 ⊢ 6 < ;19
146	138, 54, 51, 143, 145	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
147	29, 13	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
148		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
149		6t2e12 12963	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
150	38, 75, 149	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
151	1, 29, 30, 150	decsuc 12890	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
152	29, 2, 1, 148, 20, 8, 1, 151, 41	decrmac 12917	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
153		2nn 12456	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
154	153, 2, 1, 15	declti 12897	. . 3 ⊢ 1 < ;23
155	147, 20, 22, 152, 154	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
156	5, 12, 16, 19, 44, 48, 69, 98, 121, 137, 146, 155	prmlem2 17342	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  8c8 12443  9c9 12444  ;cdc 12854  ℙcprime 16890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-prm 16891

This theorem is used by:  2503prm  17362