MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  139prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 139prm 16307
Description: 139 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
139prm 139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 11722 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 11724 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11923 . . 3 13 ∈ ℕ0
4 9nn 11541 . . 3 9 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11929 . 2 139 ∈ ℕ
6 8nn0 11729 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11725 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 9nn0 11730 . . 3 9 ∈ ℕ0
9 1lt8 11642 . . 3 1 < 8
10 3lt10 12047 . . 3 3 < 10
11 9lt10 12041 . . 3 9 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11942 . 2 139 < 841
13 3nn 11516 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11929 . . 3 13 ∈ ℕ
15 1lt10 12049 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11947 . 2 1 < 139
17 4t2e8 11612 . . 3 (4 · 2) = 8
18 df-9 11507 . . 3 9 = (8 + 1)
193, 7, 17, 18dec2dvds 16249 . 2 ¬ 2 ∥ 139
20 6nn0 11727 . . . 4 6 ∈ ℕ0
217, 20deccl 11923 . . 3 46 ∈ ℕ0
22 1nn 11448 . . 3 1 ∈ ℕ
23 0nn0 11721 . . . 4 0 ∈ ℕ0
24 eqid 2775 . . . 4 46 = 46
251dec0h 11931 . . . 4 1 = 01
26 ax-1cn 10389 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2726addid2i 10624 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2827oveq2i 6985 . . . . 5 ((3 · 4) + (0 + 1)) = ((3 · 4) + 1)
29 2nn0 11723 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
30 2p1e3 11586 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
317nn0cni 11717 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
32 3cn 11518 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
33 4t3e12 12008 . . . . . . 7 (4 · 3) = 12
3431, 32, 33mulcomli 10445 . . . . . 6 (3 · 4) = 12
351, 29, 30, 34decsuc 11940 . . . . 5 ((3 · 4) + 1) = 13
3628, 35eqtri 2799 . . . 4 ((3 · 4) + (0 + 1)) = 13
37 8p1e9 11594 . . . . 5 (8 + 1) = 9
3820nn0cni 11717 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
39 6t3e18 12015 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
4038, 32, 39mulcomli 10445 . . . . 5 (3 · 6) = 18
411, 6, 37, 40decsuc 11940 . . . 4 ((3 · 6) + 1) = 19
427, 20, 23, 1, 24, 25, 2, 8, 1, 36, 41decma2c 11962 . . 3 ((3 · 46) + 1) = 139
43 1lt3 11617 . . 3 1 < 3
4413, 21, 22, 42, 43ndvdsi 15617 . 2 ¬ 3 ∥ 139
45 4nn 11521 . . 3 4 ∈ ℕ
46 4lt5 11621 . . 3 4 < 5
47 5p4e9 11602 . . 3 (5 + 4) = 9
483, 45, 46, 47dec5dvds2 16251 . 2 ¬ 5 ∥ 139
49 7nn 11533 . . 3 7 ∈ ℕ
501, 8deccl 11923 . . 3 19 ∈ ℕ0
51 6nn 11529 . . 3 6 ∈ ℕ
52 eqid 2775 . . . 4 19 = 19
5320dec0h 11931 . . . 4 6 = 06
54 7nn0 11728 . . . 4 7 ∈ ℕ0
55 7cn 11535 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
5655mulid1i 10440 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
5738addid2i 10624 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
5856, 57oveq12i 6986 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
59 7p6e13 11988 . . . . 5 (7 + 6) = 13
6058, 59eqtri 2799 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 6)) = 13
61 9cn 11543 . . . . . 6 9 ∈ ℂ
62 9t7e63 12037 . . . . . 6 (9 · 7) = 63
6361, 55, 62mulcomli 10445 . . . . 5 (7 · 9) = 63
64 6p3e9 11604 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
6538, 32, 64addcomli 10628 . . . . 5 (3 + 6) = 9
6620, 2, 20, 63, 65decaddi 11969 . . . 4 ((7 · 9) + 6) = 69
671, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 60, 66decma2c 11962 . . 3 ((7 · 19) + 6) = 139
68 6lt7 11630 . . 3 6 < 7
6949, 50, 51, 67, 68ndvdsi 15617 . 2 ¬ 7 ∥ 139
701, 22decnncl 11929 . . 3 11 ∈ ℕ
711, 29deccl 11923 . . 3 12 ∈ ℕ0
72 eqid 2775 . . . 4 12 = 12
7354dec0h 11931 . . . 4 7 = 07
741, 1deccl 11923 . . . 4 11 ∈ ℕ0
75 2cn 11512 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7675addid2i 10624 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
7776oveq2i 6985 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 2)) = ((11 · 1) + 2)
7870nncni 11446 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7978mulid1i 10440 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
80 1p2e3 11587 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
811, 1, 29, 79, 80decaddi 11969 . . . . 5 ((11 · 1) + 2) = 13
8277, 81eqtri 2799 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 2)) = 13
83 eqid 2775 . . . . 5 11 = 11
8475mulid2i 10441 . . . . . . 7 (1 · 2) = 2
85 00id 10611 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
8684, 85oveq12i 6986 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
8775addid1i 10623 . . . . . 6 (2 + 0) = 2
8886, 87eqtri 2799 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
8984oveq1i 6984 . . . . . 6 ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
90 7p2e9 11605 . . . . . . 7 (7 + 2) = 9
9155, 75, 90addcomli 10628 . . . . . 6 (2 + 7) = 9
928dec0h 11931 . . . . . 6 9 = 09
9389, 91, 923eqtri 2803 . . . . 5 ((1 · 2) + 7) = 09
941, 1, 23, 54, 83, 73, 29, 8, 23, 88, 93decmac 11961 . . . 4 ((11 · 2) + 7) = 29
951, 29, 23, 54, 72, 73, 74, 8, 29, 82, 94decma2c 11962 . . 3 ((11 · 12) + 7) = 139
96 7lt10 12043 . . . 4 7 < 10
9722, 1, 54, 96declti 11947 . . 3 7 < 11
9870, 71, 49, 95, 97ndvdsi 15617 . 2 ¬ 11 ∥ 139
99 10nn0 11926 . . 3 10 ∈ ℕ0
100 eqid 2775 . . . 4 10 = 10
101 eqid 2775 . . . . 5 13 = 13
10223dec0h 11931 . . . . . 6 0 = 00
10385, 102eqtri 2799 . . . . 5 (0 + 0) = 00
10426mulid1i 10440 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
105104, 85oveq12i 6986 . . . . . 6 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
10626addid1i 10623 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
107105, 106eqtri 2799 . . . . 5 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10832mulid1i 10440 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
109108oveq1i 6984 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
11032addid1i 10623 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
1112dec0h 11931 . . . . . 6 3 = 03
112109, 110, 1113eqtri 2803 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 03
1131, 2, 23, 23, 101, 103, 1, 2, 23, 107, 112decmac 11961 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 0)) = 13
1143nn0cni 11717 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
115114mul01i 10626 . . . . . 6 (13 · 0) = 0
116115oveq1i 6984 . . . . 5 ((13 · 0) + 9) = (0 + 9)
11761addid2i 10624 . . . . 5 (0 + 9) = 9
118116, 117, 923eqtri 2803 . . . 4 ((13 · 0) + 9) = 09
1191, 23, 23, 8, 100, 92, 3, 8, 23, 113, 118decma2c 11962 . . 3 ((13 · 10) + 9) = 139
12022, 2, 8, 11declti 11947 . . 3 9 < 13
12114, 99, 4, 119, 120ndvdsi 15617 . 2 ¬ 13 ∥ 139
1221, 49decnncl 11929 . . 3 17 ∈ ℕ
123 eqid 2775 . . . 4 17 = 17
124 5nn0 11726 . . . 4 5 ∈ ℕ0
125 8cn 11539 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
126125mulid2i 10441 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
127 5cn 11527 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
128127addid2i 10624 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
129126, 128oveq12i 6986 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
130 8p5e13 11993 . . . . 5 (8 + 5) = 13
131129, 130eqtri 2799 . . . 4 ((1 · 8) + (0 + 5)) = 13
132 8t7e56 12030 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
133125, 55, 132mulcomli 10445 . . . . 5 (7 · 8) = 56
134124, 20, 2, 133, 64decaddi 11969 . . . 4 ((7 · 8) + 3) = 59
1351, 54, 23, 2, 123, 111, 6, 8, 124, 131, 134decmac 11961 . . 3 ((17 · 8) + 3) = 139
13622, 54, 2, 10declti 11947 . . 3 3 < 17
137122, 6, 13, 135, 136ndvdsi 15617 . 2 ¬ 17 ∥ 139
1381, 4decnncl 11929 . . 3 19 ∈ ℕ
13955mulid2i 10441 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
140139, 57oveq12i 6986 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
141140, 59eqtri 2799 . . . 4 ((1 · 7) + (0 + 6)) = 13
14220, 2, 20, 62, 65decaddi 11969 . . . 4 ((9 · 7) + 6) = 69
1431, 8, 23, 20, 52, 53, 54, 8, 20, 141, 142decmac 11961 . . 3 ((19 · 7) + 6) = 139
144 6lt10 12044 . . . 4 6 < 10
14522, 8, 20, 144declti 11947 . . 3 6 < 19
146138, 54, 51, 143, 145ndvdsi 15617 . 2 ¬ 19 ∥ 139
14729, 13decnncl 11929 . . 3 23 ∈ ℕ
148 eqid 2775 . . . 4 23 = 23
149 6t2e12 12014 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
15038, 75, 149mulcomli 10445 . . . . 5 (2 · 6) = 12
1511, 29, 30, 150decsuc 11940 . . . 4 ((2 · 6) + 1) = 13
15229, 2, 1, 148, 20, 8, 1, 151, 41decrmac 11967 . . 3 ((23 · 6) + 1) = 139
153 2nn 11510 . . . 4 2 ∈ ℕ
154153, 2, 1, 15declti 11947 . . 3 1 < 23
155147, 20, 22, 152, 154ndvdsi 15617 . 2 ¬ 23 ∥ 139
1565, 12, 16, 19, 44, 48, 69, 98, 121, 137, 146, 155prmlem2 16303 1 139 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2048  (class class class)co 6974  0cc0 10331  1c1 10332   + caddc 10334   · cmul 10336  2c2 11492  3c3 11493  4c4 11494  5c5 11495  6c6 11496  7c7 11497  8c8 11498  9c9 11499  cdc 11908  cprime 15865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-iun 4792  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-1o 7901  df-2o 7902  df-er 8085  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-fin 8306  df-sup 8697  df-inf 8698  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-4 11502  df-5 11503  df-6 11504  df-7 11505  df-8 11506  df-9 11507  df-n0 11705  df-z 11791  df-dec 11909  df-uz 12056  df-rp 12202  df-fz 12706  df-seq 13182  df-exp 13242  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-dvds 15462  df-prm 15866
This theorem is referenced by:  2503prm  16323
  Copyright terms: Public domain W3C validator