Theorem 163prm 17159

Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
163prm	⊢ ;;163 ∈ ℙ

Proof of Theorem 163prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12540	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		6nn0 12545	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
4		3nn 12343	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12751	. 2 ⊢ ;;163 ∈ ℕ
6		8nn0 12547	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12543	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		3nn0 12542	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		1lt8 12462	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		6lt10 12865	. . 3 ⊢ 6 < ;10
11		3lt10 12868	. . 3 ⊢ 3 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12764	. 2 ⊢ ;;163 < ;;841
13		6nn 12353	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ
15		1lt10 12870	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12769	. 2 ⊢ 1 < ;;163
17		2cn 12339	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17	mullidi 11264	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
19		df-3 12328	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
20	3, 1, 18, 19	dec2dvds 17097	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;163
21		5nn0 12544	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22	21, 7	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;54 ∈ ℕ0
23		1nn 12275	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
24		0nn0 12539	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;54 = ;54
26	1	dec0h 12753	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
27		ax-1cn 11211	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11447	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	28	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ((3 · 5) + 1)
30		5p1e6 12411	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
31		5cn 12352	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
32		3cn 12345	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		5t3e15 12832	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
34	31, 32, 33	mulcomli 11268	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
35	1, 21, 30, 34	decsuc 12762	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
36	29, 35	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ;16
37		2nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38		2p1e3 12406	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
39		4cn 12349	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
40		4t3e12 12829	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
41	39, 32, 40	mulcomli 11268	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
42	1, 37, 38, 41	decsuc 12762	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
43	21, 7, 24, 1, 25, 26, 8, 8, 1, 36, 42	decma2c 12784	. . 3 ⊢ ((3 · ;54) + 1) = ;;163
44		1lt3 12437	. . 3 ⊢ 1 < 3
45	4, 22, 23, 43, 44	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;163
46		3lt5 12442	. . 3 ⊢ 3 < 5
47	3, 4, 46	dec5dvds 17098	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;163
48		7nn 12356	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	37, 8	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
50		2nn 12337	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
52	37	dec0h 12753	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
53		7nn0 12546	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
54	17	addlidi 11447	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
55	54	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ((7 · 2) + 2)
56		7t2e14 12840	. . . . . 6 ⊢ (7 · 2) = ;14
57		4p2e6 12417	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
58	1, 7, 37, 56, 57	decaddi 12791	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + 2) = ;16
59	55, 58	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ;16
60		7t3e21 12841	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
61		1p2e3 12407	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
62	37, 1, 37, 60, 61	decaddi 12791	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 2) = ;23
63	37, 8, 24, 37, 51, 52, 53, 8, 37, 59, 62	decma2c 12784	. . 3 ⊢ ((7 · ;23) + 2) = ;;163
64		2lt7 12454	. . 3 ⊢ 2 < 7
65	48, 49, 50, 63, 64	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;163
66	1, 23	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
67	1, 7	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
68		9nn 12362	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
69		9nn0 12548	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
70		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
71	69	dec0h 12753	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
72	1, 1	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73	31	addlidi 11447	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
74	73	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ((;11 · 1) + 5)
75	66	nncni 12274	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
76	75	mulridi 11263	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
77	31, 27, 30	addcomli 11451	. . . . . 6 ⊢ (1 + 5) = 6
78	1, 1, 21, 76, 77	decaddi 12791	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 5) = ;16
79	74, 78	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ;16
80		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
81	39	mullidi 11264	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 4) = 4
82	81, 28	oveq12i 7443	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = (4 + 1)
83		4p1e5 12410	. . . . . 6 ⊢ (4 + 1) = 5
84	82, 83	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = 5
85	81	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + 9) = (4 + 9)
86		9cn 12364	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
87		9p4e13 12820	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
88	86, 39, 87	addcomli 11451	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
89	85, 88	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + 9) = ;13
90	1, 1, 24, 69, 80, 71, 7, 8, 1, 84, 89	decmac 12783	. . . 4 ⊢ ((;11 · 4) + 9) = ;53
91	1, 7, 24, 69, 70, 71, 72, 8, 21, 79, 90	decma2c 12784	. . 3 ⊢ ((;11 · ;14) + 9) = ;;163
92		9lt10 12862	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
93	23, 1, 69, 92	declti 12769	. . 3 ⊢ 9 < ;11
94	66, 67, 68, 91, 93	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;163
95	1, 4	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
96	1, 37	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
97		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
98	53	dec0h 12753	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
99	1, 8	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
100		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
101	32	addlidi 11447	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = 3
102	8	dec0h 12753	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
103	101, 102	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (0 + 3) = ;03
104	27	mulridi 11263	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
105		00id 11434	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
106	104, 105	oveq12i 7443	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
107	27	addridi 11446	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
108	106, 107	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
109	32	mulridi 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
110	109	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 3) = (3 + 3)
111		3p3e6 12416	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
112	110, 111	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 3) = 6
113	2	dec0h 12753	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
114	112, 113	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 3) = ;06
115	1, 8, 24, 8, 100, 103, 1, 2, 24, 108, 114	decmac 12783	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 3)) = ;16
116	18, 28	oveq12i 7443	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
117	116, 38	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
118		3t2e6 12430	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 2) = 6
119	118	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
120		7cn 12358	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
121		6cn 12355	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
122		7p6e13 12809	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 6) = ;13
123	120, 121, 122	addcomli 11451	. . . . . 6 ⊢ (6 + 7) = ;13
124	119, 123	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + 7) = ;13
125	1, 8, 24, 53, 100, 98, 37, 8, 1, 117, 124	decmac 12783	. . . 4 ⊢ ((;13 · 2) + 7) = ;33
126	1, 37, 24, 53, 97, 98, 99, 8, 8, 115, 125	decma2c 12784	. . 3 ⊢ ((;13 · ;12) + 7) = ;;163
127		7lt10 12864	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
128	23, 8, 53, 127	declti 12769	. . 3 ⊢ 7 < ;13
129	95, 96, 48, 126, 128	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;163
130	1, 48	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
131		10nn 12747	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
132		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
133		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
134	86	mullidi 11264	. . . . . 6 ⊢ (1 · 9) = 9
135		6p1e7 12412	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
136	121, 27, 135	addcomli 11451	. . . . . 6 ⊢ (1 + 6) = 7
137	134, 136	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = (9 + 7)
138		9p7e16 12823	. . . . 5 ⊢ (9 + 7) = ;16
139	137, 138	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = ;16
140		9t7e63 12858	. . . . . . 7 ⊢ (9 · 7) = ;63
141	86, 120, 140	mulcomli 11268	. . . . . 6 ⊢ (7 · 9) = ;63
142	141	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 0) = (;63 + 0)
143	2, 8	deccl 12746	. . . . . . 7 ⊢ ;63 ∈ ℕ0
144	143	nn0cni 12536	. . . . . 6 ⊢ ;63 ∈ ℂ
145	144	addridi 11446	. . . . 5 ⊢ (;63 + 0) = ;63
146	142, 145	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 0) = ;63
147	1, 53, 1, 24, 132, 133, 69, 8, 2, 139, 146	decmac 12783	. . 3 ⊢ ((;17 · 9) + ;10) = ;;163
148		7pos 12375	. . . 4 ⊢ 0 < 7
149	1, 24, 48, 148	declt 12759	. . 3 ⊢ ;10 < ;17
150	130, 69, 131, 147, 149	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;163
151	1, 68	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
152		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
153		8cn 12361	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
154	153	mullidi 11264	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
155		7p1e8 12413	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 1) = 8
156	120, 27, 155	addcomli 11451	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) = 8
157	154, 156	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = (8 + 8)
158		8p8e16 12817	. . . . 5 ⊢ (8 + 8) = ;16
159	157, 158	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = ;16
160		9t8e72 12859	. . . . 5 ⊢ (9 · 8) = ;72
161	53, 37, 38, 160	decsuc 12762	. . . 4 ⊢ ((9 · 8) + 1) = ;73
162	1, 69, 1, 1, 152, 80, 6, 8, 53, 159, 161	decmac 12783	. . 3 ⊢ ((;19 · 8) + ;11) = ;;163
163		1lt9 12470	. . . 4 ⊢ 1 < 9
164	1, 1, 68, 163	declt 12759	. . 3 ⊢ ;11 < ;19
165	151, 6, 66, 162, 164	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;163
166	37, 4	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
167	120, 17, 56	mulcomli 11268	. . . . 5 ⊢ (2 · 7) = ;14
168	1, 7, 37, 167, 57	decaddi 12791	. . . 4 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
169	120, 32, 60	mulcomli 11268	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
170	37, 1, 37, 169, 61	decaddi 12791	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
171	37, 8, 37, 51, 53, 8, 37, 168, 170	decrmac 12789	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
172		2lt10 12869	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
173	50, 8, 37, 172	declti 12769	. . 3 ⊢ 2 < ;23
174	166, 53, 50, 171, 173	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;163
175	5, 12, 16, 20, 45, 47, 65, 94, 129, 150, 165, 174	prmlem2 17154	1 ⊢ ;;163 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12731  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706

This theorem is referenced by: (None)