MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  163prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 163prm 17042
Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
163prm 163 ∈ ℙ

Proof of Theorem 163prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 12472 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 6nn0 12477 . . . 4 6 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12676 . . 3 16 ∈ ℕ0
4 3nn 12275 . . 3 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12681 . 2 163 ∈ ℕ
6 8nn0 12479 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 12475 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 3nn0 12474 . . 3 3 ∈ ℕ0
9 1lt8 12394 . . 3 1 < 8
10 6lt10 12795 . . 3 6 < 10
11 3lt10 12798 . . 3 3 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 12694 . 2 163 < 841
13 6nn 12285 . . . 4 6 ∈ ℕ
141, 13decnncl 12681 . . 3 16 ∈ ℕ
15 1lt10 12800 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 12699 . 2 1 < 163
17 2cn 12271 . . . 4 2 ∈ ℂ
1817mullidi 11203 . . 3 (1 · 2) = 2
19 df-3 12260 . . 3 3 = (2 + 1)
203, 1, 18, 19dec2dvds 16980 . 2 ¬ 2 ∥ 163
21 5nn0 12476 . . . 4 5 ∈ ℕ0
2221, 7deccl 12676 . . 3 54 ∈ ℕ0
23 1nn 12207 . . 3 1 ∈ ℕ
24 0nn0 12471 . . . 4 0 ∈ ℕ0
25 eqid 2732 . . . 4 54 = 54
261dec0h 12683 . . . 4 1 = 01
27 ax-1cn 11152 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2827addlidi 11386 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2928oveq2i 7405 . . . . 5 ((3 · 5) + (0 + 1)) = ((3 · 5) + 1)
30 5p1e6 12343 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
31 5cn 12284 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
32 3cn 12277 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
33 5t3e15 12762 . . . . . . 7 (5 · 3) = 15
3431, 32, 33mulcomli 11207 . . . . . 6 (3 · 5) = 15
351, 21, 30, 34decsuc 12692 . . . . 5 ((3 · 5) + 1) = 16
3629, 35eqtri 2760 . . . 4 ((3 · 5) + (0 + 1)) = 16
37 2nn0 12473 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
38 2p1e3 12338 . . . . 5 (2 + 1) = 3
39 4cn 12281 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
40 4t3e12 12759 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
4139, 32, 40mulcomli 11207 . . . . 5 (3 · 4) = 12
421, 37, 38, 41decsuc 12692 . . . 4 ((3 · 4) + 1) = 13
4321, 7, 24, 1, 25, 26, 8, 8, 1, 36, 42decma2c 12714 . . 3 ((3 · 54) + 1) = 163
44 1lt3 12369 . . 3 1 < 3
454, 22, 23, 43, 44ndvdsi 16339 . 2 ¬ 3 ∥ 163
46 3lt5 12374 . . 3 3 < 5
473, 4, 46dec5dvds 16981 . 2 ¬ 5 ∥ 163
48 7nn 12288 . . 3 7 ∈ ℕ
4937, 8deccl 12676 . . 3 23 ∈ ℕ0
50 2nn 12269 . . 3 2 ∈ ℕ
51 eqid 2732 . . . 4 23 = 23
5237dec0h 12683 . . . 4 2 = 02
53 7nn0 12478 . . . 4 7 ∈ ℕ0
5417addlidi 11386 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
5554oveq2i 7405 . . . . 5 ((7 · 2) + (0 + 2)) = ((7 · 2) + 2)
56 7t2e14 12770 . . . . . 6 (7 · 2) = 14
57 4p2e6 12349 . . . . . 6 (4 + 2) = 6
581, 7, 37, 56, 57decaddi 12721 . . . . 5 ((7 · 2) + 2) = 16
5955, 58eqtri 2760 . . . 4 ((7 · 2) + (0 + 2)) = 16
60 7t3e21 12771 . . . . 5 (7 · 3) = 21
61 1p2e3 12339 . . . . 5 (1 + 2) = 3
6237, 1, 37, 60, 61decaddi 12721 . . . 4 ((7 · 3) + 2) = 23
6337, 8, 24, 37, 51, 52, 53, 8, 37, 59, 62decma2c 12714 . . 3 ((7 · 23) + 2) = 163
64 2lt7 12386 . . 3 2 < 7
6548, 49, 50, 63, 64ndvdsi 16339 . 2 ¬ 7 ∥ 163
661, 23decnncl 12681 . . 3 11 ∈ ℕ
671, 7deccl 12676 . . 3 14 ∈ ℕ0
68 9nn 12294 . . 3 9 ∈ ℕ
69 9nn0 12480 . . . 4 9 ∈ ℕ0
70 eqid 2732 . . . 4 14 = 14
7169dec0h 12683 . . . 4 9 = 09
721, 1deccl 12676 . . . 4 11 ∈ ℕ0
7331addlidi 11386 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
7473oveq2i 7405 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 5)) = ((11 · 1) + 5)
7566nncni 12206 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7675mulridi 11202 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
7731, 27, 30addcomli 11390 . . . . . 6 (1 + 5) = 6
781, 1, 21, 76, 77decaddi 12721 . . . . 5 ((11 · 1) + 5) = 16
7974, 78eqtri 2760 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 5)) = 16
80 eqid 2732 . . . . 5 11 = 11
8139mullidi 11203 . . . . . . 7 (1 · 4) = 4
8281, 28oveq12i 7406 . . . . . 6 ((1 · 4) + (0 + 1)) = (4 + 1)
83 4p1e5 12342 . . . . . 6 (4 + 1) = 5
8482, 83eqtri 2760 . . . . 5 ((1 · 4) + (0 + 1)) = 5
8581oveq1i 7404 . . . . . 6 ((1 · 4) + 9) = (4 + 9)
86 9cn 12296 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
87 9p4e13 12750 . . . . . . 7 (9 + 4) = 13
8886, 39, 87addcomli 11390 . . . . . 6 (4 + 9) = 13
8985, 88eqtri 2760 . . . . 5 ((1 · 4) + 9) = 13
901, 1, 24, 69, 80, 71, 7, 8, 1, 84, 89decmac 12713 . . . 4 ((11 · 4) + 9) = 53
911, 7, 24, 69, 70, 71, 72, 8, 21, 79, 90decma2c 12714 . . 3 ((11 · 14) + 9) = 163
92 9lt10 12792 . . . 4 9 < 10
9323, 1, 69, 92declti 12699 . . 3 9 < 11
9466, 67, 68, 91, 93ndvdsi 16339 . 2 ¬ 11 ∥ 163
951, 4decnncl 12681 . . 3 13 ∈ ℕ
961, 37deccl 12676 . . 3 12 ∈ ℕ0
97 eqid 2732 . . . 4 12 = 12
9853dec0h 12683 . . . 4 7 = 07
991, 8deccl 12676 . . . 4 13 ∈ ℕ0
100 eqid 2732 . . . . 5 13 = 13
10132addlidi 11386 . . . . . 6 (0 + 3) = 3
1028dec0h 12683 . . . . . 6 3 = 03
103101, 102eqtri 2760 . . . . 5 (0 + 3) = 03
10427mulridi 11202 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
105 00id 11373 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
106104, 105oveq12i 7406 . . . . . 6 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
10727addridi 11385 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
108106, 107eqtri 2760 . . . . 5 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10932mulridi 11202 . . . . . . . 8 (3 · 1) = 3
110109oveq1i 7404 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 3) = (3 + 3)
111 3p3e6 12348 . . . . . . 7 (3 + 3) = 6
112110, 111eqtri 2760 . . . . . 6 ((3 · 1) + 3) = 6
1132dec0h 12683 . . . . . 6 6 = 06
114112, 113eqtri 2760 . . . . 5 ((3 · 1) + 3) = 06
1151, 8, 24, 8, 100, 103, 1, 2, 24, 108, 114decmac 12713 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 3)) = 16
11618, 28oveq12i 7406 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
117116, 38eqtri 2760 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
118 3t2e6 12362 . . . . . . 7 (3 · 2) = 6
119118oveq1i 7404 . . . . . 6 ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
120 7cn 12290 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
121 6cn 12287 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
122 7p6e13 12739 . . . . . . 7 (7 + 6) = 13
123120, 121, 122addcomli 11390 . . . . . 6 (6 + 7) = 13
124119, 123eqtri 2760 . . . . 5 ((3 · 2) + 7) = 13
1251, 8, 24, 53, 100, 98, 37, 8, 1, 117, 124decmac 12713 . . . 4 ((13 · 2) + 7) = 33
1261, 37, 24, 53, 97, 98, 99, 8, 8, 115, 125decma2c 12714 . . 3 ((13 · 12) + 7) = 163
127 7lt10 12794 . . . 4 7 < 10
12823, 8, 53, 127declti 12699 . . 3 7 < 13
12995, 96, 48, 126, 128ndvdsi 16339 . 2 ¬ 13 ∥ 163
1301, 48decnncl 12681 . . 3 17 ∈ ℕ
131 10nn 12677 . . 3 10 ∈ ℕ
132 eqid 2732 . . . 4 17 = 17
133 eqid 2732 . . . 4 10 = 10
13486mullidi 11203 . . . . . 6 (1 · 9) = 9
135 6p1e7 12344 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
136121, 27, 135addcomli 11390 . . . . . 6 (1 + 6) = 7
137134, 136oveq12i 7406 . . . . 5 ((1 · 9) + (1 + 6)) = (9 + 7)
138 9p7e16 12753 . . . . 5 (9 + 7) = 16
139137, 138eqtri 2760 . . . 4 ((1 · 9) + (1 + 6)) = 16
140 9t7e63 12788 . . . . . . 7 (9 · 7) = 63
14186, 120, 140mulcomli 11207 . . . . . 6 (7 · 9) = 63
142141oveq1i 7404 . . . . 5 ((7 · 9) + 0) = (63 + 0)
1432, 8deccl 12676 . . . . . . 7 63 ∈ ℕ0
144143nn0cni 12468 . . . . . 6 63 ∈ ℂ
145144addridi 11385 . . . . 5 (63 + 0) = 63
146142, 145eqtri 2760 . . . 4 ((7 · 9) + 0) = 63
1471, 53, 1, 24, 132, 133, 69, 8, 2, 139, 146decmac 12713 . . 3 ((17 · 9) + 10) = 163
148 7pos 12307 . . . 4 0 < 7
1491, 24, 48, 148declt 12689 . . 3 10 < 17
150130, 69, 131, 147, 149ndvdsi 16339 . 2 ¬ 17 ∥ 163
1511, 68decnncl 12681 . . 3 19 ∈ ℕ
152 eqid 2732 . . . 4 19 = 19
153 8cn 12293 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
154153mullidi 11203 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
155 7p1e8 12345 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
156120, 27, 155addcomli 11390 . . . . . 6 (1 + 7) = 8
157154, 156oveq12i 7406 . . . . 5 ((1 · 8) + (1 + 7)) = (8 + 8)
158 8p8e16 12747 . . . . 5 (8 + 8) = 16
159157, 158eqtri 2760 . . . 4 ((1 · 8) + (1 + 7)) = 16
160 9t8e72 12789 . . . . 5 (9 · 8) = 72
16153, 37, 38, 160decsuc 12692 . . . 4 ((9 · 8) + 1) = 73
1621, 69, 1, 1, 152, 80, 6, 8, 53, 159, 161decmac 12713 . . 3 ((19 · 8) + 11) = 163
163 1lt9 12402 . . . 4 1 < 9
1641, 1, 68, 163declt 12689 . . 3 11 < 19
165151, 6, 66, 162, 164ndvdsi 16339 . 2 ¬ 19 ∥ 163
16637, 4decnncl 12681 . . 3 23 ∈ ℕ
167120, 17, 56mulcomli 11207 . . . . 5 (2 · 7) = 14
1681, 7, 37, 167, 57decaddi 12721 . . . 4 ((2 · 7) + 2) = 16
169120, 32, 60mulcomli 11207 . . . . 5 (3 · 7) = 21
17037, 1, 37, 169, 61decaddi 12721 . . . 4 ((3 · 7) + 2) = 23
17137, 8, 37, 51, 53, 8, 37, 168, 170decrmac 12719 . . 3 ((23 · 7) + 2) = 163
172 2lt10 12799 . . . 4 2 < 10
17350, 8, 37, 172declti 12699 . . 3 2 < 23
174166, 53, 50, 171, 173ndvdsi 16339 . 2 ¬ 23 ∥ 163
1755, 12, 16, 20, 45, 47, 65, 94, 129, 150, 165, 174prmlem2 17037 1 163 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2106  (class class class)co 7394  0cc0 11094  1c1 11095   + caddc 11097   · cmul 11099  2c2 12251  3c3 12252  4c4 12253  5c5 12254  6c6 12255  7c7 12256  8c8 12257  9c9 12258  cdc 12661  cprime 16592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-2o 8451  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-sup 9421  df-inf 9422  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-rp 12959  df-fz 13469  df-seq 13951  df-exp 14012  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-dvds 16182  df-prm 16593
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator