Theorem 163prm 17312

Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
163prm	⊢ ;;163 ∈ ℙ

Proof of Theorem 163prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12629	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		6nn0 12634	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12836	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
4		3nn 12429	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12845	. 2 ⊢ ;;163 ∈ ℕ
6		8nn0 12636	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12632	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		3nn0 12631	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		1lt8 12550	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		6lt10 12961	. . 3 ⊢ 6 < ;10
11		3lt10 12964	. . 3 ⊢ 3 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12859	. 2 ⊢ ;;163 < ;;841
13		6nn 12439	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ
15		1lt10 12966	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12864	. 2 ⊢ 1 < ;;163
17		2cn 12425	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17	mullidi 11321	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
19		df-3 12413	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
20	3, 1, 18, 19	dec2dvds 17250	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;163
21		5nn0 12633	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22	21, 7	deccl 12836	. . 3 ⊢ ;54 ∈ ℕ0
23		1nn 12353	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
24		0nn0 12628	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;54 = ;54
26	1	dec0h 12848	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
27		ax-1cn 11265	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11505	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	28	oveq2i 7435	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ((3 · 5) + 1)
30		5p1e6 12496	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
31		5cn 12438	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
32		3cn 12431	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		5t3e15 12927	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
34	31, 32, 33	mulcomli 11325	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
35	1, 21, 30, 34	decsuc 12857	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
36	29, 35	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ;16
37		2nn0 12630	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38		2p1e3 12491	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
39		4cn 12435	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
40		4t3e12 12924	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
41	39, 32, 40	mulcomli 11325	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
42	1, 37, 38, 41	decsuc 12857	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
43	21, 7, 24, 1, 25, 26, 8, 8, 1, 36, 42	decma2c 12879	. . 3 ⊢ ((3 · ;54) + 1) = ;;163
44		1lt3 12525	. . 3 ⊢ 1 < 3
45	4, 22, 23, 43, 44	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;163
46		3lt5 12530	. . 3 ⊢ 3 < 5
47	3, 4, 46	dec5dvds 17251	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;163
48		7nn 12442	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	37, 8	deccl 12836	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
50		2nn 12423	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
52	37	dec0h 12848	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
53		7nn0 12635	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
54	17	addlidi 11505	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
55	54	oveq2i 7435	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ((7 · 2) + 2)
56		7t2e14 12935	. . . . . 6 ⊢ (7 · 2) = ;14
57		4p2e6 12502	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
58	1, 7, 37, 56, 57	decaddi 12886	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + 2) = ;16
59	55, 58	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ;16
60		7t3e21 12936	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
61		1p2e3 12492	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
62	37, 1, 37, 60, 61	decaddi 12886	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 2) = ;23
63	37, 8, 24, 37, 51, 52, 53, 8, 37, 59, 62	decma2c 12879	. . 3 ⊢ ((7 · ;23) + 2) = ;;163
64		2lt7 12542	. . 3 ⊢ 2 < 7
65	48, 49, 50, 63, 64	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;163
66	1, 23	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
67	1, 7	deccl 12836	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
68		9nn 12448	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
69		9nn0 12637	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
70		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
71	69	dec0h 12848	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
72	1, 1	deccl 12836	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73	31	addlidi 11505	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
74	73	oveq2i 7435	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ((;11 · 1) + 5)
75	66	nncni 12352	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
76	75	mulridi 11320	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
77	31, 27, 30	addcomli 11509	. . . . . 6 ⊢ (1 + 5) = 6
78	1, 1, 21, 76, 77	decaddi 12886	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 5) = ;16
79	74, 78	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ;16
80		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
81	39	mullidi 11321	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 4) = 4
82	81, 28	oveq12i 7436	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = (4 + 1)
83		4p1e5 12495	. . . . . 6 ⊢ (4 + 1) = 5
84	82, 83	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = 5
85	81	oveq1i 7434	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + 9) = (4 + 9)
86		9cn 12450	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
87		9p4e13 12915	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
88	86, 39, 87	addcomli 11509	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
89	85, 88	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + 9) = ;13
90	1, 1, 24, 69, 80, 71, 7, 8, 1, 84, 89	decmac 12878	. . . 4 ⊢ ((;11 · 4) + 9) = ;53
91	1, 7, 24, 69, 70, 71, 72, 8, 21, 79, 90	decma2c 12879	. . 3 ⊢ ((;11 · ;14) + 9) = ;;163
92		9lt10 12958	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
93	23, 1, 69, 92	declti 12864	. . 3 ⊢ 9 < ;11
94	66, 67, 68, 91, 93	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;163
95	1, 4	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
96	1, 37	deccl 12836	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
97		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
98	53	dec0h 12848	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
99	1, 8	deccl 12836	. . . 4 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
100		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
101	32	addlidi 11505	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = 3
102	8	dec0h 12848	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
103	101, 102	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (0 + 3) = ;03
104	27	mulridi 11320	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
105		00id 11492	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
106	104, 105	oveq12i 7436	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
107	27	addridi 11504	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
108	106, 107	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
109	32	mulridi 11320	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
110	109	oveq1i 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 3) = (3 + 3)
111		3p3e6 12501	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
112	110, 111	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 3) = 6
113	2	dec0h 12848	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
114	112, 113	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 3) = ;06
115	1, 8, 24, 8, 100, 103, 1, 2, 24, 108, 114	decmac 12878	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 3)) = ;16
116	18, 28	oveq12i 7436	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
117	116, 38	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
118		3t2e6 12515	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 2) = 6
119	118	oveq1i 7434	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
120		7cn 12444	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
121		6cn 12441	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
122		7p6e13 12904	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 6) = ;13
123	120, 121, 122	addcomli 11509	. . . . . 6 ⊢ (6 + 7) = ;13
124	119, 123	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + 7) = ;13
125	1, 8, 24, 53, 100, 98, 37, 8, 1, 117, 124	decmac 12878	. . . 4 ⊢ ((;13 · 2) + 7) = ;33
126	1, 37, 24, 53, 97, 98, 99, 8, 8, 115, 125	decma2c 12879	. . 3 ⊢ ((;13 · ;12) + 7) = ;;163
127		7lt10 12960	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
128	23, 8, 53, 127	declti 12864	. . 3 ⊢ 7 < ;13
129	95, 96, 48, 126, 128	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;163
130	1, 48	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
131		10nn 12841	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
132		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
133		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
134	86	mullidi 11321	. . . . . 6 ⊢ (1 · 9) = 9
135		6p1e7 12497	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
136	121, 27, 135	addcomli 11509	. . . . . 6 ⊢ (1 + 6) = 7
137	134, 136	oveq12i 7436	. . . . 5 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = (9 + 7)
138		9p7e16 12918	. . . . 5 ⊢ (9 + 7) = ;16
139	137, 138	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = ;16
140		9t7e63 12953	. . . . . . 7 ⊢ (9 · 7) = ;63
141	86, 120, 140	mulcomli 11325	. . . . . 6 ⊢ (7 · 9) = ;63
142	141	oveq1i 7434	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 0) = (;63 + 0)
143	2, 8	deccl 12836	. . . . . . 7 ⊢ ;63 ∈ ℕ0
144	143	nn0cni 12625	. . . . . 6 ⊢ ;63 ∈ ℂ
145	144	addridi 11504	. . . . 5 ⊢ (;63 + 0) = ;63
146	142, 145	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 0) = ;63
147	1, 53, 1, 24, 132, 133, 69, 8, 2, 139, 146	decmac 12878	. . 3 ⊢ ((;17 · 9) + ;10) = ;;163
148		7pos 12464	. . . 4 ⊢ 0 < 7
149	1, 24, 48, 148	declt 12854	. . 3 ⊢ ;10 < ;17
150	130, 69, 131, 147, 149	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;163
151	1, 68	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
152		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
153		8cn 12447	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
154	153	mullidi 11321	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
155		7p1e8 12498	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 1) = 8
156	120, 27, 155	addcomli 11509	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) = 8
157	154, 156	oveq12i 7436	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = (8 + 8)
158		8p8e16 12912	. . . . 5 ⊢ (8 + 8) = ;16
159	157, 158	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = ;16
160		9t8e72 12954	. . . . 5 ⊢ (9 · 8) = ;72
161	53, 37, 38, 160	decsuc 12857	. . . 4 ⊢ ((9 · 8) + 1) = ;73
162	1, 69, 1, 1, 152, 80, 6, 8, 53, 159, 161	decmac 12878	. . 3 ⊢ ((;19 · 8) + ;11) = ;;163
163		1lt9 12558	. . . 4 ⊢ 1 < 9
164	1, 1, 68, 163	declt 12854	. . 3 ⊢ ;11 < ;19
165	151, 6, 66, 162, 164	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;163
166	37, 4	decnncl 12845	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
167	120, 17, 56	mulcomli 11325	. . . . 5 ⊢ (2 · 7) = ;14
168	1, 7, 37, 167, 57	decaddi 12886	. . . 4 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
169	120, 32, 60	mulcomli 11325	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
170	37, 1, 37, 169, 61	decaddi 12886	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
171	37, 8, 37, 51, 53, 8, 37, 168, 170	decrmac 12884	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
172		2lt10 12965	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
173	50, 8, 37, 172	declti 12864	. . 3 ⊢ 2 < ;23
174	166, 53, 50, 171, 173	ndvdsi 16591	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;163
175	5, 12, 16, 20, 45, 47, 65, 94, 129, 150, 165, 174	prmlem2 17307	1 ⊢ ;;163 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212  2c2 12404  3c3 12405  4c4 12406  5c5 12407  6c6 12408  7c7 12409  8c8 12410  9c9 12411  ;cdc 12821  ℙcprime 16855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-dvds 16432  df-prm 16856

This theorem is used by: (None)