Theorem 163prm 17347

Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
163prm	⊢ ;;163 ∈ ℙ

Proof of Theorem 163prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12662	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		6nn0 12667	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
4		3nn 12462	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12878	. 2 ⊢ ;;163 ∈ ℕ
6		8nn0 12669	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12665	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		3nn0 12664	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		1lt8 12583	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		6lt10 12994	. . 3 ⊢ 6 < ;10
11		3lt10 12997	. . 3 ⊢ 3 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12892	. 2 ⊢ ;;163 < ;;841
13		6nn 12472	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ
15		1lt10 12999	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12897	. 2 ⊢ 1 < ;;163
17		2cn 12458	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17	mullidi 11353	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
19		df-3 12446	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
20	3, 1, 18, 19	dec2dvds 17285	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;163
21		5nn0 12666	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22	21, 7	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;54 ∈ ℕ0
23		1nn 12386	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
24		0nn0 12661	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;54 = ;54
26	1	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
27		ax-1cn 11297	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	28	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ((3 · 5) + 1)
30		5p1e6 12529	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
31		5cn 12471	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
32		3cn 12464	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		5t3e15 12960	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
34	31, 32, 33	mulcomli 11357	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
35	1, 21, 30, 34	decsuc 12890	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
36	29, 35	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ;16
37		2nn0 12663	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38		2p1e3 12524	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
39		4cn 12468	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
40		4t3e12 12957	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
41	39, 32, 40	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
42	1, 37, 38, 41	decsuc 12890	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
43	21, 7, 24, 1, 25, 26, 8, 8, 1, 36, 42	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((3 · ;54) + 1) = ;;163
44		1lt3 12558	. . 3 ⊢ 1 < 3
45	4, 22, 23, 43, 44	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;163
46		3lt5 12563	. . 3 ⊢ 3 < 5
47	3, 4, 46	dec5dvds 17286	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;163
48		7nn 12475	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	37, 8	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
50		2nn 12456	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
52	37	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
53		7nn0 12668	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
54	17	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
55	54	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ((7 · 2) + 2)
56		7t2e14 12968	. . . . . 6 ⊢ (7 · 2) = ;14
57		4p2e6 12535	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
58	1, 7, 37, 56, 57	decaddi 12919	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + 2) = ;16
59	55, 58	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ;16
60		7t3e21 12969	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
61		1p2e3 12525	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
62	37, 1, 37, 60, 61	decaddi 12919	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 2) = ;23
63	37, 8, 24, 37, 51, 52, 53, 8, 37, 59, 62	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((7 · ;23) + 2) = ;;163
64		2lt7 12575	. . 3 ⊢ 2 < 7
65	48, 49, 50, 63, 64	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;163
66	1, 23	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
67	1, 7	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
68		9nn 12481	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
69		9nn0 12670	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
70		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
71	69	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
72	1, 1	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73	31	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
74	73	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ((;11 · 1) + 5)
75	66	nncni 12385	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
76	75	mulridi 11352	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
77	31, 27, 30	addcomli 11541	. . . . . 6 ⊢ (1 + 5) = 6
78	1, 1, 21, 76, 77	decaddi 12919	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 5) = ;16
79	74, 78	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ;16
80		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
81	39	mullidi 11353	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 4) = 4
82	81, 28	oveq12i 7463	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = (4 + 1)
83		4p1e5 12528	. . . . . 6 ⊢ (4 + 1) = 5
84	82, 83	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = 5
85	81	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + 9) = (4 + 9)
86		9cn 12483	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
87		9p4e13 12948	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
88	86, 39, 87	addcomli 11541	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
89	85, 88	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + 9) = ;13
90	1, 1, 24, 69, 80, 71, 7, 8, 1, 84, 89	decmac 12911	. . . 4 ⊢ ((;11 · 4) + 9) = ;53
91	1, 7, 24, 69, 70, 71, 72, 8, 21, 79, 90	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((;11 · ;14) + 9) = ;;163
92		9lt10 12991	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
93	23, 1, 69, 92	declti 12897	. . 3 ⊢ 9 < ;11
94	66, 67, 68, 91, 93	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;163
95	1, 4	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
96	1, 37	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
97		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
98	53	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
99	1, 8	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
100		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
101	32	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = 3
102	8	dec0h 12881	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
103	101, 102	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (0 + 3) = ;03
104	27	mulridi 11352	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
105		00id 11524	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
106	104, 105	oveq12i 7463	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
107	27	addridi 11536	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
108	106, 107	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
109	32	mulridi 11352	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
110	109	oveq1i 7461	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 3) = (3 + 3)
111		3p3e6 12534	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
112	110, 111	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 3) = 6
113	2	dec0h 12881	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
114	112, 113	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 3) = ;06
115	1, 8, 24, 8, 100, 103, 1, 2, 24, 108, 114	decmac 12911	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 3)) = ;16
116	18, 28	oveq12i 7463	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
117	116, 38	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
118		3t2e6 12548	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 2) = 6
119	118	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
120		7cn 12477	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
121		6cn 12474	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
122		7p6e13 12937	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 6) = ;13
123	120, 121, 122	addcomli 11541	. . . . . 6 ⊢ (6 + 7) = ;13
124	119, 123	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + 7) = ;13
125	1, 8, 24, 53, 100, 98, 37, 8, 1, 117, 124	decmac 12911	. . . 4 ⊢ ((;13 · 2) + 7) = ;33
126	1, 37, 24, 53, 97, 98, 99, 8, 8, 115, 125	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((;13 · ;12) + 7) = ;;163
127		7lt10 12993	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
128	23, 8, 53, 127	declti 12897	. . 3 ⊢ 7 < ;13
129	95, 96, 48, 126, 128	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;163
130	1, 48	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
131		10nn 12874	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
132		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
133		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
134	86	mullidi 11353	. . . . . 6 ⊢ (1 · 9) = 9
135		6p1e7 12530	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
136	121, 27, 135	addcomli 11541	. . . . . 6 ⊢ (1 + 6) = 7
137	134, 136	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = (9 + 7)
138		9p7e16 12951	. . . . 5 ⊢ (9 + 7) = ;16
139	137, 138	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = ;16
140		9t7e63 12986	. . . . . . 7 ⊢ (9 · 7) = ;63
141	86, 120, 140	mulcomli 11357	. . . . . 6 ⊢ (7 · 9) = ;63
142	141	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 0) = (;63 + 0)
143	2, 8	deccl 12869	. . . . . . 7 ⊢ ;63 ∈ ℕ0
144	143	nn0cni 12658	. . . . . 6 ⊢ ;63 ∈ ℂ
145	144	addridi 11536	. . . . 5 ⊢ (;63 + 0) = ;63
146	142, 145	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 0) = ;63
147	1, 53, 1, 24, 132, 133, 69, 8, 2, 139, 146	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;17 · 9) + ;10) = ;;163
148		7pos 12497	. . . 4 ⊢ 0 < 7
149	1, 24, 48, 148	declt 12887	. . 3 ⊢ ;10 < ;17
150	130, 69, 131, 147, 149	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;163
151	1, 68	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
152		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
153		8cn 12480	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
154	153	mullidi 11353	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
155		7p1e8 12531	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 1) = 8
156	120, 27, 155	addcomli 11541	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) = 8
157	154, 156	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = (8 + 8)
158		8p8e16 12945	. . . . 5 ⊢ (8 + 8) = ;16
159	157, 158	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = ;16
160		9t8e72 12987	. . . . 5 ⊢ (9 · 8) = ;72
161	53, 37, 38, 160	decsuc 12890	. . . 4 ⊢ ((9 · 8) + 1) = ;73
162	1, 69, 1, 1, 152, 80, 6, 8, 53, 159, 161	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;19 · 8) + ;11) = ;;163
163		1lt9 12591	. . . 4 ⊢ 1 < 9
164	1, 1, 68, 163	declt 12887	. . 3 ⊢ ;11 < ;19
165	151, 6, 66, 162, 164	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;163
166	37, 4	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
167	120, 17, 56	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (2 · 7) = ;14
168	1, 7, 37, 167, 57	decaddi 12919	. . . 4 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
169	120, 32, 60	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
170	37, 1, 37, 169, 61	decaddi 12919	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
171	37, 8, 37, 51, 53, 8, 37, 168, 170	decrmac 12917	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
172		2lt10 12998	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
173	50, 8, 37, 172	declti 12897	. . 3 ⊢ 2 < ;23
174	166, 53, 50, 171, 173	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;163
175	5, 12, 16, 20, 45, 47, 65, 94, 129, 150, 165, 174	prmlem2 17342	1 ⊢ ;;163 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  8c8 12443  9c9 12444  ;cdc 12854  ℙcprime 16890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-prm 16891

This theorem is used by: (None)