MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  163prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 163prm 17004
Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
163prm 163 ∈ ℙ

Proof of Theorem 163prm
StepHypRef Expression
1 1nn0 12436 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 6nn0 12441 . . . 4 6 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12640 . . 3 16 ∈ ℕ0
4 3nn 12239 . . 3 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12645 . 2 163 ∈ ℕ
6 8nn0 12443 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 12439 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 3nn0 12438 . . 3 3 ∈ ℕ0
9 1lt8 12358 . . 3 1 < 8
10 6lt10 12759 . . 3 6 < 10
11 3lt10 12762 . . 3 3 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 12658 . 2 163 < 841
13 6nn 12249 . . . 4 6 ∈ ℕ
141, 13decnncl 12645 . . 3 16 ∈ ℕ
15 1lt10 12764 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 12663 . 2 1 < 163
17 2cn 12235 . . . 4 2 ∈ ℂ
1817mulid2i 11167 . . 3 (1 · 2) = 2
19 df-3 12224 . . 3 3 = (2 + 1)
203, 1, 18, 19dec2dvds 16942 . 2 ¬ 2 ∥ 163
21 5nn0 12440 . . . 4 5 ∈ ℕ0
2221, 7deccl 12640 . . 3 54 ∈ ℕ0
23 1nn 12171 . . 3 1 ∈ ℕ
24 0nn0 12435 . . . 4 0 ∈ ℕ0
25 eqid 2737 . . . 4 54 = 54
261dec0h 12647 . . . 4 1 = 01
27 ax-1cn 11116 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2827addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2928oveq2i 7373 . . . . 5 ((3 · 5) + (0 + 1)) = ((3 · 5) + 1)
30 5p1e6 12307 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
31 5cn 12248 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
32 3cn 12241 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
33 5t3e15 12726 . . . . . . 7 (5 · 3) = 15
3431, 32, 33mulcomli 11171 . . . . . 6 (3 · 5) = 15
351, 21, 30, 34decsuc 12656 . . . . 5 ((3 · 5) + 1) = 16
3629, 35eqtri 2765 . . . 4 ((3 · 5) + (0 + 1)) = 16
37 2nn0 12437 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
38 2p1e3 12302 . . . . 5 (2 + 1) = 3
39 4cn 12245 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
40 4t3e12 12723 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
4139, 32, 40mulcomli 11171 . . . . 5 (3 · 4) = 12
421, 37, 38, 41decsuc 12656 . . . 4 ((3 · 4) + 1) = 13
4321, 7, 24, 1, 25, 26, 8, 8, 1, 36, 42decma2c 12678 . . 3 ((3 · 54) + 1) = 163
44 1lt3 12333 . . 3 1 < 3
454, 22, 23, 43, 44ndvdsi 16301 . 2 ¬ 3 ∥ 163
46 3lt5 12338 . . 3 3 < 5
473, 4, 46dec5dvds 16943 . 2 ¬ 5 ∥ 163
48 7nn 12252 . . 3 7 ∈ ℕ
4937, 8deccl 12640 . . 3 23 ∈ ℕ0
50 2nn 12233 . . 3 2 ∈ ℕ
51 eqid 2737 . . . 4 23 = 23
5237dec0h 12647 . . . 4 2 = 02
53 7nn0 12442 . . . 4 7 ∈ ℕ0
5417addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
5554oveq2i 7373 . . . . 5 ((7 · 2) + (0 + 2)) = ((7 · 2) + 2)
56 7t2e14 12734 . . . . . 6 (7 · 2) = 14
57 4p2e6 12313 . . . . . 6 (4 + 2) = 6
581, 7, 37, 56, 57decaddi 12685 . . . . 5 ((7 · 2) + 2) = 16
5955, 58eqtri 2765 . . . 4 ((7 · 2) + (0 + 2)) = 16
60 7t3e21 12735 . . . . 5 (7 · 3) = 21
61 1p2e3 12303 . . . . 5 (1 + 2) = 3
6237, 1, 37, 60, 61decaddi 12685 . . . 4 ((7 · 3) + 2) = 23
6337, 8, 24, 37, 51, 52, 53, 8, 37, 59, 62decma2c 12678 . . 3 ((7 · 23) + 2) = 163
64 2lt7 12350 . . 3 2 < 7
6548, 49, 50, 63, 64ndvdsi 16301 . 2 ¬ 7 ∥ 163
661, 23decnncl 12645 . . 3 11 ∈ ℕ
671, 7deccl 12640 . . 3 14 ∈ ℕ0
68 9nn 12258 . . 3 9 ∈ ℕ
69 9nn0 12444 . . . 4 9 ∈ ℕ0
70 eqid 2737 . . . 4 14 = 14
7169dec0h 12647 . . . 4 9 = 09
721, 1deccl 12640 . . . 4 11 ∈ ℕ0
7331addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
7473oveq2i 7373 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 5)) = ((11 · 1) + 5)
7566nncni 12170 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7675mulid1i 11166 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
7731, 27, 30addcomli 11354 . . . . . 6 (1 + 5) = 6
781, 1, 21, 76, 77decaddi 12685 . . . . 5 ((11 · 1) + 5) = 16
7974, 78eqtri 2765 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 5)) = 16
80 eqid 2737 . . . . 5 11 = 11
8139mulid2i 11167 . . . . . . 7 (1 · 4) = 4
8281, 28oveq12i 7374 . . . . . 6 ((1 · 4) + (0 + 1)) = (4 + 1)
83 4p1e5 12306 . . . . . 6 (4 + 1) = 5
8482, 83eqtri 2765 . . . . 5 ((1 · 4) + (0 + 1)) = 5
8581oveq1i 7372 . . . . . 6 ((1 · 4) + 9) = (4 + 9)
86 9cn 12260 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
87 9p4e13 12714 . . . . . . 7 (9 + 4) = 13
8886, 39, 87addcomli 11354 . . . . . 6 (4 + 9) = 13
8985, 88eqtri 2765 . . . . 5 ((1 · 4) + 9) = 13
901, 1, 24, 69, 80, 71, 7, 8, 1, 84, 89decmac 12677 . . . 4 ((11 · 4) + 9) = 53
911, 7, 24, 69, 70, 71, 72, 8, 21, 79, 90decma2c 12678 . . 3 ((11 · 14) + 9) = 163
92 9lt10 12756 . . . 4 9 < 10
9323, 1, 69, 92declti 12663 . . 3 9 < 11
9466, 67, 68, 91, 93ndvdsi 16301 . 2 ¬ 11 ∥ 163
951, 4decnncl 12645 . . 3 13 ∈ ℕ
961, 37deccl 12640 . . 3 12 ∈ ℕ0
97 eqid 2737 . . . 4 12 = 12
9853dec0h 12647 . . . 4 7 = 07
991, 8deccl 12640 . . . 4 13 ∈ ℕ0
100 eqid 2737 . . . . 5 13 = 13
10132addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 3) = 3
1028dec0h 12647 . . . . . 6 3 = 03
103101, 102eqtri 2765 . . . . 5 (0 + 3) = 03
10427mulid1i 11166 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
105 00id 11337 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
106104, 105oveq12i 7374 . . . . . 6 ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
10727addid1i 11349 . . . . . 6 (1 + 0) = 1
108106, 107eqtri 2765 . . . . 5 ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
10932mulid1i 11166 . . . . . . . 8 (3 · 1) = 3
110109oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 3) = (3 + 3)
111 3p3e6 12312 . . . . . . 7 (3 + 3) = 6
112110, 111eqtri 2765 . . . . . 6 ((3 · 1) + 3) = 6
1132dec0h 12647 . . . . . 6 6 = 06
114112, 113eqtri 2765 . . . . 5 ((3 · 1) + 3) = 06
1151, 8, 24, 8, 100, 103, 1, 2, 24, 108, 114decmac 12677 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 3)) = 16
11618, 28oveq12i 7374 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
117116, 38eqtri 2765 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
118 3t2e6 12326 . . . . . . 7 (3 · 2) = 6
119118oveq1i 7372 . . . . . 6 ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
120 7cn 12254 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
121 6cn 12251 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
122 7p6e13 12703 . . . . . . 7 (7 + 6) = 13
123120, 121, 122addcomli 11354 . . . . . 6 (6 + 7) = 13
124119, 123eqtri 2765 . . . . 5 ((3 · 2) + 7) = 13
1251, 8, 24, 53, 100, 98, 37, 8, 1, 117, 124decmac 12677 . . . 4 ((13 · 2) + 7) = 33
1261, 37, 24, 53, 97, 98, 99, 8, 8, 115, 125decma2c 12678 . . 3 ((13 · 12) + 7) = 163
127 7lt10 12758 . . . 4 7 < 10
12823, 8, 53, 127declti 12663 . . 3 7 < 13
12995, 96, 48, 126, 128ndvdsi 16301 . 2 ¬ 13 ∥ 163
1301, 48decnncl 12645 . . 3 17 ∈ ℕ
131 10nn 12641 . . 3 10 ∈ ℕ
132 eqid 2737 . . . 4 17 = 17
133 eqid 2737 . . . 4 10 = 10
13486mulid2i 11167 . . . . . 6 (1 · 9) = 9
135 6p1e7 12308 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
136121, 27, 135addcomli 11354 . . . . . 6 (1 + 6) = 7
137134, 136oveq12i 7374 . . . . 5 ((1 · 9) + (1 + 6)) = (9 + 7)
138 9p7e16 12717 . . . . 5 (9 + 7) = 16
139137, 138eqtri 2765 . . . 4 ((1 · 9) + (1 + 6)) = 16
140 9t7e63 12752 . . . . . . 7 (9 · 7) = 63
14186, 120, 140mulcomli 11171 . . . . . 6 (7 · 9) = 63
142141oveq1i 7372 . . . . 5 ((7 · 9) + 0) = (63 + 0)
1432, 8deccl 12640 . . . . . . 7 63 ∈ ℕ0
144143nn0cni 12432 . . . . . 6 63 ∈ ℂ
145144addid1i 11349 . . . . 5 (63 + 0) = 63
146142, 145eqtri 2765 . . . 4 ((7 · 9) + 0) = 63
1471, 53, 1, 24, 132, 133, 69, 8, 2, 139, 146decmac 12677 . . 3 ((17 · 9) + 10) = 163
148 7pos 12271 . . . 4 0 < 7
1491, 24, 48, 148declt 12653 . . 3 10 < 17
150130, 69, 131, 147, 149ndvdsi 16301 . 2 ¬ 17 ∥ 163
1511, 68decnncl 12645 . . 3 19 ∈ ℕ
152 eqid 2737 . . . 4 19 = 19
153 8cn 12257 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
154153mulid2i 11167 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
155 7p1e8 12309 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
156120, 27, 155addcomli 11354 . . . . . 6 (1 + 7) = 8
157154, 156oveq12i 7374 . . . . 5 ((1 · 8) + (1 + 7)) = (8 + 8)
158 8p8e16 12711 . . . . 5 (8 + 8) = 16
159157, 158eqtri 2765 . . . 4 ((1 · 8) + (1 + 7)) = 16
160 9t8e72 12753 . . . . 5 (9 · 8) = 72
16153, 37, 38, 160decsuc 12656 . . . 4 ((9 · 8) + 1) = 73
1621, 69, 1, 1, 152, 80, 6, 8, 53, 159, 161decmac 12677 . . 3 ((19 · 8) + 11) = 163
163 1lt9 12366 . . . 4 1 < 9
1641, 1, 68, 163declt 12653 . . 3 11 < 19
165151, 6, 66, 162, 164ndvdsi 16301 . 2 ¬ 19 ∥ 163
16637, 4decnncl 12645 . . 3 23 ∈ ℕ
167120, 17, 56mulcomli 11171 . . . . 5 (2 · 7) = 14
1681, 7, 37, 167, 57decaddi 12685 . . . 4 ((2 · 7) + 2) = 16
169120, 32, 60mulcomli 11171 . . . . 5 (3 · 7) = 21
17037, 1, 37, 169, 61decaddi 12685 . . . 4 ((3 · 7) + 2) = 23
17137, 8, 37, 51, 53, 8, 37, 168, 170decrmac 12683 . . 3 ((23 · 7) + 2) = 163
172 2lt10 12763 . . . 4 2 < 10
17350, 8, 37, 172declti 12663 . . 3 2 < 23
174166, 53, 50, 171, 173ndvdsi 16301 . 2 ¬ 23 ∥ 163
1755, 12, 16, 20, 45, 47, 65, 94, 129, 150, 165, 174prmlem2 16999 1 163 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  cdc 12625  cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-prm 16555
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator