Theorem 163prm 17207

Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
163prm	⊢ ;;163 ∈ ℙ

Proof of Theorem 163prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12535	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		6nn0 12540	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12742	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
4		3nn 12335	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12751	. 2 ⊢ ;;163 ∈ ℕ
6		8nn0 12542	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12538	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		3nn0 12537	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		1lt8 12456	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		6lt10 12867	. . 3 ⊢ 6 < ;10
11		3lt10 12870	. . 3 ⊢ 3 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12765	. 2 ⊢ ;;163 < ;;841
13		6nn 12345	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ
15		1lt10 12872	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12770	. 2 ⊢ 1 < ;;163
17		2cn 12331	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17	mullidi 11229	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
19		df-3 12319	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
20	3, 1, 18, 19	dec2dvds 17145	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;163
21		5nn0 12539	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22	21, 7	deccl 12742	. . 3 ⊢ ;54 ∈ ℕ0
23		1nn 12259	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
24		0nn0 12534	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;54 = ;54
26	1	dec0h 12754	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
27		ax-1cn 11173	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addlidi 11413	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	28	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ((3 · 5) + 1)
30		5p1e6 12402	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
31		5cn 12344	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
32		3cn 12337	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		5t3e15 12833	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
34	31, 32, 33	mulcomli 11233	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
35	1, 21, 30, 34	decsuc 12763	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
36	29, 35	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ;16
37		2nn0 12536	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38		2p1e3 12397	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
39		4cn 12341	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
40		4t3e12 12830	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
41	39, 32, 40	mulcomli 11233	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
42	1, 37, 38, 41	decsuc 12763	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
43	21, 7, 24, 1, 25, 26, 8, 8, 1, 36, 42	decma2c 12785	. . 3 ⊢ ((3 · ;54) + 1) = ;;163
44		1lt3 12431	. . 3 ⊢ 1 < 3
45	4, 22, 23, 43, 44	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;163
46		3lt5 12436	. . 3 ⊢ 3 < 5
47	3, 4, 46	dec5dvds 17146	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;163
48		7nn 12348	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	37, 8	deccl 12742	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
50		2nn 12329	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
52	37	dec0h 12754	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
53		7nn0 12541	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
54	17	addlidi 11413	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
55	54	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ((7 · 2) + 2)
56		7t2e14 12841	. . . . . 6 ⊢ (7 · 2) = ;14
57		4p2e6 12408	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
58	1, 7, 37, 56, 57	decaddi 12792	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + 2) = ;16
59	55, 58	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ;16
60		7t3e21 12842	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
61		1p2e3 12398	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
62	37, 1, 37, 60, 61	decaddi 12792	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 2) = ;23
63	37, 8, 24, 37, 51, 52, 53, 8, 37, 59, 62	decma2c 12785	. . 3 ⊢ ((7 · ;23) + 2) = ;;163
64		2lt7 12448	. . 3 ⊢ 2 < 7
65	48, 49, 50, 63, 64	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;163
66	1, 23	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
67	1, 7	deccl 12742	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
68		9nn 12354	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
69		9nn0 12543	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
70		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
71	69	dec0h 12754	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
72	1, 1	deccl 12742	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73	31	addlidi 11413	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
74	73	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ((;11 · 1) + 5)
75	66	nncni 12258	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
76	75	mulridi 11228	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
77	31, 27, 30	addcomli 11417	. . . . . 6 ⊢ (1 + 5) = 6
78	1, 1, 21, 76, 77	decaddi 12792	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 5) = ;16
79	74, 78	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ;16
80		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
81	39	mullidi 11229	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 4) = 4
82	81, 28	oveq12i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = (4 + 1)
83		4p1e5 12401	. . . . . 6 ⊢ (4 + 1) = 5
84	82, 83	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = 5
85	81	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + 9) = (4 + 9)
86		9cn 12356	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
87		9p4e13 12821	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
88	86, 39, 87	addcomli 11417	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
89	85, 88	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + 9) = ;13
90	1, 1, 24, 69, 80, 71, 7, 8, 1, 84, 89	decmac 12784	. . . 4 ⊢ ((;11 · 4) + 9) = ;53
91	1, 7, 24, 69, 70, 71, 72, 8, 21, 79, 90	decma2c 12785	. . 3 ⊢ ((;11 · ;14) + 9) = ;;163
92		9lt10 12864	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
93	23, 1, 69, 92	declti 12770	. . 3 ⊢ 9 < ;11
94	66, 67, 68, 91, 93	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;163
95	1, 4	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
96	1, 37	deccl 12742	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
97		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
98	53	dec0h 12754	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
99	1, 8	deccl 12742	. . . 4 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
100		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
101	32	addlidi 11413	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = 3
102	8	dec0h 12754	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
103	101, 102	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (0 + 3) = ;03
104	27	mulridi 11228	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
105		00id 11400	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
106	104, 105	oveq12i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
107	27	addridi 11412	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
108	106, 107	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
109	32	mulridi 11228	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
110	109	oveq1i 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 3) = (3 + 3)
111		3p3e6 12407	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
112	110, 111	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 3) = 6
113	2	dec0h 12754	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
114	112, 113	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 3) = ;06
115	1, 8, 24, 8, 100, 103, 1, 2, 24, 108, 114	decmac 12784	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 3)) = ;16
116	18, 28	oveq12i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
117	116, 38	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
118		3t2e6 12421	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 2) = 6
119	118	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
120		7cn 12350	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
121		6cn 12347	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
122		7p6e13 12810	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 6) = ;13
123	120, 121, 122	addcomli 11417	. . . . . 6 ⊢ (6 + 7) = ;13
124	119, 123	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + 7) = ;13
125	1, 8, 24, 53, 100, 98, 37, 8, 1, 117, 124	decmac 12784	. . . 4 ⊢ ((;13 · 2) + 7) = ;33
126	1, 37, 24, 53, 97, 98, 99, 8, 8, 115, 125	decma2c 12785	. . 3 ⊢ ((;13 · ;12) + 7) = ;;163
127		7lt10 12866	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
128	23, 8, 53, 127	declti 12770	. . 3 ⊢ 7 < ;13
129	95, 96, 48, 126, 128	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;163
130	1, 48	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
131		10nn 12747	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
132		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
133		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
134	86	mullidi 11229	. . . . . 6 ⊢ (1 · 9) = 9
135		6p1e7 12403	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
136	121, 27, 135	addcomli 11417	. . . . . 6 ⊢ (1 + 6) = 7
137	134, 136	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = (9 + 7)
138		9p7e16 12824	. . . . 5 ⊢ (9 + 7) = ;16
139	137, 138	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = ;16
140		9t7e63 12859	. . . . . . 7 ⊢ (9 · 7) = ;63
141	86, 120, 140	mulcomli 11233	. . . . . 6 ⊢ (7 · 9) = ;63
142	141	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 0) = (;63 + 0)
143	2, 8	deccl 12742	. . . . . . 7 ⊢ ;63 ∈ ℕ0
144	143	nn0cni 12531	. . . . . 6 ⊢ ;63 ∈ ℂ
145	144	addridi 11412	. . . . 5 ⊢ (;63 + 0) = ;63
146	142, 145	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 0) = ;63
147	1, 53, 1, 24, 132, 133, 69, 8, 2, 139, 146	decmac 12784	. . 3 ⊢ ((;17 · 9) + ;10) = ;;163
148		7pos 12370	. . . 4 ⊢ 0 < 7
149	1, 24, 48, 148	declt 12760	. . 3 ⊢ ;10 < ;17
150	130, 69, 131, 147, 149	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;163
151	1, 68	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
152		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
153		8cn 12353	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
154	153	mullidi 11229	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
155		7p1e8 12404	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 1) = 8
156	120, 27, 155	addcomli 11417	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) = 8
157	154, 156	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = (8 + 8)
158		8p8e16 12818	. . . . 5 ⊢ (8 + 8) = ;16
159	157, 158	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = ;16
160		9t8e72 12860	. . . . 5 ⊢ (9 · 8) = ;72
161	53, 37, 38, 160	decsuc 12763	. . . 4 ⊢ ((9 · 8) + 1) = ;73
162	1, 69, 1, 1, 152, 80, 6, 8, 53, 159, 161	decmac 12784	. . 3 ⊢ ((;19 · 8) + ;11) = ;;163
163		1lt9 12464	. . . 4 ⊢ 1 < 9
164	1, 1, 68, 163	declt 12760	. . 3 ⊢ ;11 < ;19
165	151, 6, 66, 162, 164	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;163
166	37, 4	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
167	120, 17, 56	mulcomli 11233	. . . . 5 ⊢ (2 · 7) = ;14
168	1, 7, 37, 167, 57	decaddi 12792	. . . 4 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
169	120, 32, 60	mulcomli 11233	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
170	37, 1, 37, 169, 61	decaddi 12792	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
171	37, 8, 37, 51, 53, 8, 37, 168, 170	decrmac 12790	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
172		2lt10 12871	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
173	50, 8, 37, 172	declti 12770	. . 3 ⊢ 2 < ;23
174	166, 53, 50, 171, 173	ndvdsi 16492	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;163
175	5, 12, 16, 20, 45, 47, 65, 94, 129, 150, 165, 174	prmlem2 17202	1 ⊢ ;;163 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120  2c2 12310  3c3 12311  4c4 12312  5c5 12313  6c6 12314  7c7 12315  8c8 12316  9c9 12317  ;cdc 12727  ℙcprime 16751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-dvds 16333  df-prm 16752

This theorem is used by: (None)