Theorem 139prmALT 47570

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17070, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16279 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16279 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17070), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17070). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12434	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12436	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12640	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12260	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12645	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12441	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12437	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12442	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12355	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12762	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12756	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12658	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12241	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12645	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12764	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12663	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12325	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12232	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17010	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 47569	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16278	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12243	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11102	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12302	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11342	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5110	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16279	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7379	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12262	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12247	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12714	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11342	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5110	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12245	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12334	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12315	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17012	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12254	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12640	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12251	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12433	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12439	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12647	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12440	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12256	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11154	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12253	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11338	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7381	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12703	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12752	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11159	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12317	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11342	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12685	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12678	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12343	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16358	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12173	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12645	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12435	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12640	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12647	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12237	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11338	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7380	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12172	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11154	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12300	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12685	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11155	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11325	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7381	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11337	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7379	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12318	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11342	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12647	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12677	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12678	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12758	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12663	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16358	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12640	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12430	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11154	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7381	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11337	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11340	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11338	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12678	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12663	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16358	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12645	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12647	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12438	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12259	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11155	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12250	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11338	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7381	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12708	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12745	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11159	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12685	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12677	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12663	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16358	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12645	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11155	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7381	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12685	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12677	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12759	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12663	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16358	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12645	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12299	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12729	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11159	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12656	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12307	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12730	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11159	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12656	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12683	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12235	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12663	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16358	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17066	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  5c5 12220  6c6 12221  7c7 12222  8c8 12223  9c9 12224  ;cdc 12625   ∥ cdvds 16198  ℙcprime 16617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-prm 16618

This theorem is referenced by: (None)