Theorem 139prmALT 48059

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17094, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16302 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16302 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17094), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17094). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12453	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12455	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12659	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12279	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12664	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12460	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12456	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12461	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12374	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12781	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12775	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12677	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12260	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12783	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12682	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12344	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12251	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17034	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 48058	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16301	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12262	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11096	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12321	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11338	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5093	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16302	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7377	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12281	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12266	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12733	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11338	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5093	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12264	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12353	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12334	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17036	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12273	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12659	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12270	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12452	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12458	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12666	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12459	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12275	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11149	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12272	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11334	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12722	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12771	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11154	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12336	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11338	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12704	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12697	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12362	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12185	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12454	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12659	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12666	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12659	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12256	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11334	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7378	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12184	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11149	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12319	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12704	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11150	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11321	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7379	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11333	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7377	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12337	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11338	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12666	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12696	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12697	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12777	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12682	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12659	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12449	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11149	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11333	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11336	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7377	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11334	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12697	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12682	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12666	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12457	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12278	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11150	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12269	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11334	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12727	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12764	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11154	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12704	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12696	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12682	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11150	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7379	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12704	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12696	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12778	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12682	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12318	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12748	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11154	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12675	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12326	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12749	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11154	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12675	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12702	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12254	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12682	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16381	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17090	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  7c7 12241  8c8 12242  9c9 12243  ;cdc 12644   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641

This theorem is referenced by: (None)