Theorem 139prmALT 45000

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 16806, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16023 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16023 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 16806), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 16806). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12232	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12234	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12434	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12054	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12439	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12239	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12235	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12240	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12154	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12556	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12550	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12452	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12035	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12439	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12558	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12457	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12124	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12026	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16745	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 44999	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16022	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12037	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 10913	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12101	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11150	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5086	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 274	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 322	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16023	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7278	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12056	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12041	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12508	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11150	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2767	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5086	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 274	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 322	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12039	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12133	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12114	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 16747	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12048	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12434	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12045	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12231	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12237	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12441	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12238	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12050	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulid1i 10963	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12047	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addid2i 11146	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7280	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12497	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2767	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12546	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 10968	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12116	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11150	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12479	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12472	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12142	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16102	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 11967	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12439	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12233	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12434	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12441	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12434	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12031	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addid2i 11146	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7279	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 11966	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulid1i 10963	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12099	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12479	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2767	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mulid2i 10964	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11133	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7280	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addid1i 11145	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2767	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7278	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12117	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11150	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12441	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2771	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12471	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12472	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12552	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12457	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16102	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12434	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12228	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulid1i 10963	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7280	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addid1i 11145	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2767	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11148	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7278	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addid2i 11146	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2771	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12472	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12457	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16102	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12439	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12441	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12236	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12053	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mulid2i 10964	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12044	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addid2i 11146	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7280	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12502	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2767	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12539	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 10968	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12479	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12471	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12457	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16102	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12439	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mulid2i 10964	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7280	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2767	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12479	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12471	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12553	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12457	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16102	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12439	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12098	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12523	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 10968	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12450	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12106	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12524	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 10968	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12450	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12477	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12029	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12457	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16102	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 16802	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860  2c2 12011  3c3 12012  4c4 12013  5c5 12014  6c6 12015  7c7 12016  8c8 12017  9c9 12018  ;cdc 12419   ∥ cdvds 15944  ℙcprime 16357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-dvds 15945  df-prm 16358

This theorem is referenced by: (None)