Theorem 139prmALT 47577

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17148, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16357 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16357 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17148), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17148). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12522	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12524	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12728	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12343	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12733	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12529	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12525	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12530	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12443	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12850	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12844	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12746	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12324	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12733	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12852	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12751	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12413	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12315	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17088	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 47576	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16356	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12326	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11192	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12390	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11432	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5132	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16357	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12345	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12330	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12802	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11432	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5132	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12328	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12422	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12403	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17090	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12337	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12728	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12334	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12521	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12527	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12735	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12528	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12339	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11244	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12336	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11428	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12791	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12840	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11249	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12405	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11432	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12773	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12766	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12431	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16436	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12256	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12733	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12523	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12728	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12735	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12728	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12320	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11428	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12255	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11244	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12388	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12773	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11245	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11415	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11427	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12406	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11432	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12735	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12765	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12766	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12846	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12751	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16436	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12728	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12518	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11244	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11427	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11430	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11428	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12766	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12751	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16436	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12733	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12735	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12526	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12342	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11245	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12333	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11428	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12796	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12833	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11249	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12773	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12765	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12751	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16436	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12733	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11245	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12773	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12765	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12847	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12751	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16436	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12733	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12387	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12817	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11249	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12744	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12395	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12818	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11249	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12744	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12771	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12318	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12751	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16436	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17144	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  6c6 12304  7c7 12305  8c8 12306  9c9 12307  ;cdc 12713   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-prm 16696

This theorem is referenced by: (None)