Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  139prmALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 139prmALT 47588
Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17162, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16371 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16371 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17162), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17162). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
139prmALT 139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT
StepHypRef Expression
1 1nn0 12544 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 12546 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12750 . . 3 13 ∈ ℕ0
4 9nn 12365 . . 3 9 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12755 . 2 139 ∈ ℕ
6 8nn0 12551 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 12547 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 9nn0 12552 . . 3 9 ∈ ℕ0
9 1lt8 12465 . . 3 1 < 8
10 3lt10 12872 . . 3 3 < 10
11 9lt10 12866 . . 3 9 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 12768 . 2 139 < 841
13 3nn 12346 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 12755 . . 3 13 ∈ ℕ
15 1lt10 12874 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 12773 . 2 1 < 139
17 4t2e8 12435 . . 3 (4 · 2) = 8
18 df-9 12337 . . 3 9 = (8 + 1)
193, 7, 17, 18dec2dvds 17102 . 2 ¬ 2 ∥ 139
20 3ndvds4 47587 . . . 4 ¬ 3 ∥ 4
211, 23dvdsdec 16370 . . . . 5 (3 ∥ 13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22 3cn 12348 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
23 ax-1cn 11214 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
24 3p1e4 12412 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
2522, 23, 24addcomli 11454 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
2625breq2i 5150 . . . . 5 (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
2721, 26bitri 275 . . . 4 (3 ∥ 13 ↔ 3 ∥ 4)
2820, 27mtbir 323 . . 3 ¬ 3 ∥ 13
291, 2, 83dvds2dec 16371 . . . 4 (3 ∥ 139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
3025oveq1i 7442 . . . . . 6 ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31 9cn 12367 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
32 4cn 12352 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
33 9p4e13 12824 . . . . . . 7 (9 + 4) = 13
3431, 32, 33addcomli 11454 . . . . . 6 (4 + 9) = 13
3530, 34eqtri 2764 . . . . 5 ((1 + 3) + 9) = 13
3635breq2i 5150 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ 13)
3729, 36bitri 275 . . 3 (3 ∥ 139 ↔ 3 ∥ 13)
3828, 37mtbir 323 . 2 ¬ 3 ∥ 139
39 4nn 12350 . . 3 4 ∈ ℕ
40 4lt5 12444 . . 3 4 < 5
41 5p4e9 12425 . . 3 (5 + 4) = 9
423, 39, 40, 41dec5dvds2 17104 . 2 ¬ 5 ∥ 139
43 7nn 12359 . . 3 7 ∈ ℕ
441, 8deccl 12750 . . 3 19 ∈ ℕ0
45 6nn 12356 . . 3 6 ∈ ℕ
46 0nn0 12543 . . . 4 0 ∈ ℕ0
47 6nn0 12549 . . . 4 6 ∈ ℕ0
48 eqid 2736 . . . 4 19 = 19
4947dec0h 12757 . . . 4 6 = 06
50 7nn0 12550 . . . 4 7 ∈ ℕ0
51 7cn 12361 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
5251mulridi 11266 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
53 6cn 12358 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
5453addlidi 11450 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
5552, 54oveq12i 7444 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56 7p6e13 12813 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5755, 56eqtri 2764 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 6)) = 13
58 9t7e63 12862 . . . . . 6 (9 · 7) = 63
5931, 51, 58mulcomli 11271 . . . . 5 (7 · 9) = 63
60 6p3e9 12427 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
6153, 22, 60addcomli 11454 . . . . 5 (3 + 6) = 9
6247, 2, 47, 59, 61decaddi 12795 . . . 4 ((7 · 9) + 6) = 69
631, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62decma2c 12788 . . 3 ((7 · 19) + 6) = 139
64 6lt7 12453 . . 3 6 < 7
6543, 44, 45, 63, 64ndvdsi 16450 . 2 ¬ 7 ∥ 139
66 1nn 12278 . . . 4 1 ∈ ℕ
671, 66decnncl 12755 . . 3 11 ∈ ℕ
68 2nn0 12545 . . . 4 2 ∈ ℕ0
691, 68deccl 12750 . . 3 12 ∈ ℕ0
70 eqid 2736 . . . 4 12 = 12
7150dec0h 12757 . . . 4 7 = 07
721, 1deccl 12750 . . . 4 11 ∈ ℕ0
73 2cn 12342 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7473addlidi 11450 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
7574oveq2i 7443 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 2)) = ((11 · 1) + 2)
7667nncni 12277 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7776mulridi 11266 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
78 1p2e3 12410 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
791, 1, 68, 77, 78decaddi 12795 . . . . 5 ((11 · 1) + 2) = 13
8075, 79eqtri 2764 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 2)) = 13
81 eqid 2736 . . . . 5 11 = 11
8273mullidi 11267 . . . . . . 7 (1 · 2) = 2
83 00id 11437 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
8482, 83oveq12i 7444 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
8573addridi 11449 . . . . . 6 (2 + 0) = 2
8684, 85eqtri 2764 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
8782oveq1i 7442 . . . . . 6 ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88 7p2e9 12428 . . . . . . 7 (7 + 2) = 9
8951, 73, 88addcomli 11454 . . . . . 6 (2 + 7) = 9
908dec0h 12757 . . . . . 6 9 = 09
9187, 89, 903eqtri 2768 . . . . 5 ((1 · 2) + 7) = 09
921, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91decmac 12787 . . . 4 ((11 · 2) + 7) = 29
931, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92decma2c 12788 . . 3 ((11 · 12) + 7) = 139
94 7lt10 12868 . . . 4 7 < 10
9566, 1, 50, 94declti 12773 . . 3 7 < 11
9667, 69, 43, 93, 95ndvdsi 16450 . 2 ¬ 11 ∥ 139
971, 46deccl 12750 . . 3 10 ∈ ℕ0
98 eqid 2736 . . . 4 10 = 10
993nn0cni 12540 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
10099mulridi 11266 . . . . . 6 (13 · 1) = 13
101100, 83oveq12i 7444 . . . . 5 ((13 · 1) + (0 + 0)) = (13 + 0)
10299addridi 11449 . . . . 5 (13 + 0) = 13
103101, 102eqtri 2764 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 0)) = 13
10499mul01i 11452 . . . . . 6 (13 · 0) = 0
105104oveq1i 7442 . . . . 5 ((13 · 0) + 9) = (0 + 9)
10631addlidi 11450 . . . . 5 (0 + 9) = 9
107105, 106, 903eqtri 2768 . . . 4 ((13 · 0) + 9) = 09
1081, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107decma2c 12788 . . 3 ((13 · 10) + 9) = 139
10966, 2, 8, 11declti 12773 . . 3 9 < 13
11014, 97, 4, 108, 109ndvdsi 16450 . 2 ¬ 13 ∥ 139
1111, 43decnncl 12755 . . 3 17 ∈ ℕ
112 eqid 2736 . . . 4 17 = 17
1132dec0h 12757 . . . 4 3 = 03
114 5nn0 12548 . . . 4 5 ∈ ℕ0
115 8cn 12364 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
116115mullidi 11267 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
117 5cn 12355 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
118117addlidi 11450 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
119116, 118oveq12i 7444 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120 8p5e13 12818 . . . . 5 (8 + 5) = 13
121119, 120eqtri 2764 . . . 4 ((1 · 8) + (0 + 5)) = 13
122 8t7e56 12855 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
123115, 51, 122mulcomli 11271 . . . . 5 (7 · 8) = 56
124114, 47, 2, 123, 60decaddi 12795 . . . 4 ((7 · 8) + 3) = 59
1251, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124decmac 12787 . . 3 ((17 · 8) + 3) = 139
12666, 50, 2, 10declti 12773 . . 3 3 < 17
127111, 6, 13, 125, 126ndvdsi 16450 . 2 ¬ 17 ∥ 139
1281, 4decnncl 12755 . . 3 19 ∈ ℕ
12951mullidi 11267 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
130129, 54oveq12i 7444 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131130, 56eqtri 2764 . . . 4 ((1 · 7) + (0 + 6)) = 13
13247, 2, 47, 58, 61decaddi 12795 . . . 4 ((9 · 7) + 6) = 69
1331, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132decmac 12787 . . 3 ((19 · 7) + 6) = 139
134 6lt10 12869 . . . 4 6 < 10
13566, 8, 47, 134declti 12773 . . 3 6 < 19
136128, 50, 45, 133, 135ndvdsi 16450 . 2 ¬ 19 ∥ 139
13768, 13decnncl 12755 . . 3 23 ∈ ℕ
138 eqid 2736 . . . 4 23 = 23
139 2p1e3 12409 . . . . 5 (2 + 1) = 3
140 6t2e12 12839 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
14153, 73, 140mulcomli 11271 . . . . 5 (2 · 6) = 12
1421, 68, 139, 141decsuc 12766 . . . 4 ((2 · 6) + 1) = 13
143 8p1e9 12417 . . . . 5 (8 + 1) = 9
144 6t3e18 12840 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
14553, 22, 144mulcomli 11271 . . . . 5 (3 · 6) = 18
1461, 6, 143, 145decsuc 12766 . . . 4 ((3 · 6) + 1) = 19
14768, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146decrmac 12793 . . 3 ((23 · 6) + 1) = 139
148 2nn 12340 . . . 4 2 ∈ ℕ
149148, 2, 1, 15declti 12773 . . 3 1 < 23
150137, 47, 66, 147, 149ndvdsi 16450 . 2 ¬ 23 ∥ 139
1515, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150prmlem2 17158 1 139 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  5c5 12325  6c6 12326  7c7 12327  8c8 12328  9c9 12329  cdc 12735  cdvds 16291  cprime 16709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-prm 16710
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator