Theorem 139prmALT 47601

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17101, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16310 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16310 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17101), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17101). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12465	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12467	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12671	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12291	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12676	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12472	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12468	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12473	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12386	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12793	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12787	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12689	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12272	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12795	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12694	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12356	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12263	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17041	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 47600	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16309	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12274	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11133	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12333	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11373	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5118	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16310	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7400	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12293	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12278	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12745	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11373	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5118	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12276	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12365	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12346	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17043	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12285	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12671	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12282	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12464	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12470	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12678	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12471	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12287	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11185	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12284	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11369	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12734	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12783	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11190	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12348	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11373	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12716	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12709	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12374	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12204	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12466	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12671	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12678	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12268	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11369	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12203	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11185	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12331	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12716	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11186	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11356	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7402	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11368	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7400	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12349	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11373	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12678	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12708	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12709	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12789	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12694	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12671	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12461	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11185	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11368	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11371	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11369	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12709	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12694	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12678	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12469	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12290	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11186	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12281	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11369	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12739	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12776	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11190	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12716	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12708	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12694	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11186	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12716	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12708	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12790	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12694	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12330	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12760	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11190	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12687	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12338	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12761	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11190	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12687	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12714	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12266	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12694	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16389	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17097	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  7c7 12253  8c8 12254  9c9 12255  ;cdc 12656   ∥ cdvds 16229  ℙcprime 16648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-prm 16649

This theorem is referenced by: (None)