Theorem 139prmALT 42039

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 16038, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 15265 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 15265 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 16038), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 16038). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11510	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 11512	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11714	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 11394	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 11720	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 11517	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11513	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 11518	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 11423	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 11880	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 11874	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 11740	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 11388	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 11720	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 11882	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 11748	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 11383	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 11288	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 15974	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 42038	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 15263	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 11297	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 10196	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 11355	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 10430	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 4794	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 264	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 312	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 15265	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 6803	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 11310	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 11300	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 11823	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 10430	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2793	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 4794	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 264	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 312	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 11389	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 11402	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 11369	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 15976	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 11392	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 11714	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 11391	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 11509	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 11515	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2771	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 11724	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 11516	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 11306	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulid1i 10244	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 11304	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addid2i 10426	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 6805	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 11809	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2793	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 11869	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 10249	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 11372	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 10430	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 11780	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 11769	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 11411	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 15344	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 11233	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 11720	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 11511	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 11714	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2771	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 11724	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 11714	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 11293	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addid2i 10426	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 6804	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 11232	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulid1i 10244	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 11354	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 11780	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2793	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mulid2i 10245	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 10413	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 6805	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addid1i 10425	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2793	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 6803	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 11374	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 10430	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 11724	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2797	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 11767	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 11769	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 11876	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 11748	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 15344	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 11714	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2771	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 11506	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulid1i 10244	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 6805	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addid1i 10425	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2793	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 10428	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 6803	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addid2i 10426	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2797	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 11769	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 11748	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 15344	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 11720	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2771	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 11724	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 11514	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 11308	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mulid2i 10245	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 11302	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addid2i 10426	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 6805	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 11816	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2793	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 11862	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 10249	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 11780	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 11767	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 11748	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 15344	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 11720	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mulid2i 10245	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 6805	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2793	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 11780	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 11767	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 11877	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 11748	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 15344	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 11720	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2771	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 11353	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 11842	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 10249	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 11737	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 11360	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 11843	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 10249	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 11737	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 11778	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 11387	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 11748	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 15344	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 16034	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  ;cdc 11695   ∥ cdvds 15189  ℙcprime 15592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593

This theorem is referenced by: (None)