Theorem 139prmALT 47956

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17063, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16272 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16272 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17063), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17063). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12429	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12431	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12255	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12639	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12436	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12432	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12437	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12350	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12756	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12750	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12652	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12236	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12758	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12657	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12320	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12227	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17003	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 47955	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16271	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12238	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11096	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12297	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11337	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5108	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16272	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12257	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12242	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12708	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11337	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5108	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12240	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12329	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12310	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17005	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12249	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12246	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12428	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12434	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12641	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12435	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12251	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11148	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12248	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11333	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7380	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12697	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12746	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11153	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12312	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11337	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12679	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12672	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12338	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12168	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12430	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12641	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12634	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12232	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11333	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7379	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12167	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11148	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12295	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12679	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11149	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11320	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7380	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11332	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7378	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12313	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11337	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12641	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12671	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12672	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12752	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12657	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12425	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11148	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7380	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11332	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11335	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7378	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11333	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12672	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12657	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12641	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12433	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12254	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11149	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12245	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11333	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7380	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12702	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12739	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11153	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12679	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12671	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12657	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11149	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7380	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12679	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12671	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12753	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12657	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12639	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12294	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12723	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11153	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12650	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12302	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12724	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11153	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12650	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12677	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12230	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12657	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16351	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17059	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  5c5 12215  6c6 12216  7c7 12217  8c8 12218  9c9 12219  ;cdc 12619   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-prm 16611

This theorem is referenced by: (None)