Theorem 139prmALT 47588

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17162, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16371 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16371 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17162), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17162). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12544	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12546	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12750	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12365	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12755	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12551	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12547	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12552	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12465	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12872	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12866	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12768	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12346	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12755	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12874	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12773	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12435	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12337	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17102	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 47587	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16370	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12348	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11214	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12412	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11454	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5150	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16371	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7442	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12367	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12352	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12824	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11454	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5150	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12350	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12444	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12425	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17104	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12359	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12750	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12356	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12543	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12549	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12757	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12550	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12361	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11266	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12358	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11450	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7444	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12813	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12862	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11271	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12427	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11454	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12795	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12788	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12453	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16450	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12278	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12755	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12545	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12750	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12757	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12750	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12342	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11450	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7443	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12277	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11266	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12410	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12795	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11267	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11437	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7444	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11449	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7442	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12428	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11454	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12757	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12787	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12788	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12868	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12773	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16450	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12750	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12540	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11266	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7444	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11449	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11452	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7442	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11450	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12788	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12773	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16450	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12755	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12757	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12548	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12364	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11267	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12355	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11450	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7444	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12818	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12855	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11271	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12795	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12787	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12773	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16450	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12755	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11267	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7444	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12795	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12787	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12869	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12773	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16450	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12755	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12409	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12839	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11271	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12766	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12417	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12840	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11271	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12766	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12793	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12340	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12773	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16450	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17158	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  5c5 12325  6c6 12326  7c7 12327  8c8 12328  9c9 12329  ;cdc 12735   ∥ cdvds 16291  ℙcprime 16709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-prm 16710

This theorem is referenced by: (None)