Theorem 139prmALT 47627

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17030, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16239 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16239 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17030), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17030). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12392	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12394	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12598	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12218	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12603	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12399	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12395	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12400	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12313	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12720	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12714	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12616	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12199	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12603	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12722	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12621	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12283	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12190	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16970	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 47626	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16238	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12201	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11059	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12260	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11300	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5094	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16239	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7351	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12220	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12205	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12672	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11300	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5094	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12203	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12292	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12273	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 16972	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12212	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12598	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12209	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12391	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12397	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12605	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12398	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12214	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11111	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12211	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11296	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7353	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12661	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12710	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11116	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12275	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11300	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12643	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12636	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12301	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16318	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12131	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12603	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12393	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12598	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12605	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12598	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12195	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11296	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7352	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12130	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11111	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12258	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12643	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11112	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11283	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7353	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11295	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7351	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12276	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11300	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12605	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12635	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12636	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12716	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12621	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16318	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12598	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12388	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11111	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7353	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11295	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11298	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7351	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11296	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12636	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12621	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16318	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12603	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12605	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12396	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12217	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11112	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12208	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11296	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7353	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12666	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12703	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11116	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12643	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12635	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12621	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16318	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12603	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11112	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7353	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12643	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12635	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12717	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12621	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16318	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12603	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12257	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12687	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11116	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12614	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12265	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12688	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11116	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12614	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12641	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12193	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12621	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16318	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17026	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006  2c2 12175  3c3 12176  4c4 12177  5c5 12178  6c6 12179  7c7 12180  8c8 12181  9c9 12182  ;cdc 12583   ∥ cdvds 16158  ℙcprime 16577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-dvds 16159  df-prm 16578

This theorem is referenced by: (None)