Theorem 139prmALT 48230

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17180, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16387 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16387 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17180), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17180). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12516	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12518	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12722	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12335	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12731	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12523	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12519	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12524	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12437	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12850	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12844	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12745	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12316	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12731	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12852	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12750	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12405	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12306	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17119	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 48229	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16386	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12318	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11154	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12381	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11398	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5118	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 278	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16387	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7418	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12337	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12322	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12801	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11398	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5118	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 278	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12320	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12416	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12394	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17121	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12329	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12722	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12326	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12515	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12521	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12734	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12522	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12331	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11209	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12328	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11394	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12790	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12839	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11214	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12396	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11398	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12772	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12765	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12425	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12240	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12731	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12517	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12722	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12734	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12722	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12312	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11394	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7419	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12239	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11209	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12379	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12772	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11210	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11381	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11393	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7418	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12397	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11398	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12734	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2796	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12764	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12765	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12846	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12750	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12722	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12512	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11209	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11393	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11396	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11394	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2796	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12765	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12750	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12731	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12734	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12520	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12334	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11210	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12325	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11394	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12795	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12832	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11214	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12772	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12764	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12750	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12731	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11210	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7420	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12772	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12764	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12847	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12750	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12731	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12378	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12816	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11214	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12743	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12386	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12817	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11214	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12743	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12770	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12310	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12750	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16466	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17176	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101  2c2 12291  3c3 12292  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  7c7 12296  8c8 12297  9c9 12298  ;cdc 12707   ∥ cdvds 16306  ℙcprime 16725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-prm 16726

This theorem is referenced by: (None)