Theorem 139prmALT 47521

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17158, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16367 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16367 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17158), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17158). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12540	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12542	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12362	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12751	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12547	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12543	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12548	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12462	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12868	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12862	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12764	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12343	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12870	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12769	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12432	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12334	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17097	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 47520	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16366	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12345	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11211	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12409	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11451	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5156	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16367	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12364	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12349	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12820	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11451	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5156	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12347	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12441	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12422	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17099	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12356	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12353	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12539	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12545	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12753	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12546	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12358	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11263	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12355	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11447	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12809	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12858	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11268	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12424	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11451	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12791	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12784	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12450	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12275	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12541	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12753	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12339	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11447	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12274	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11263	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12407	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12791	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11264	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11434	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7443	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11446	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12425	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11451	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12753	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2767	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12783	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12784	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12864	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12769	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12536	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11263	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11446	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11449	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11447	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2767	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12784	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12769	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12753	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12544	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12361	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11264	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12352	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11447	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12814	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12851	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11268	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12791	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12783	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12769	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11264	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7443	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12791	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12783	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12865	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12769	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12406	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12835	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11268	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12762	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12414	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12836	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11268	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12762	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12789	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12337	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12769	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16446	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17154	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12731   ∥ cdvds 16287  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706

This theorem is referenced by: (None)