Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  139prmALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 139prmALT 44066
Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 16459, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 15684 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 15684 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 16459), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 16459). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
139prmALT 139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT
StepHypRef Expression
1 1nn0 11912 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 11914 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12112 . . 3 13 ∈ ℕ0
4 9nn 11734 . . 3 9 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12117 . 2 139 ∈ ℕ
6 8nn0 11919 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11915 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 9nn0 11920 . . 3 9 ∈ ℕ0
9 1lt8 11834 . . 3 1 < 8
10 3lt10 12234 . . 3 3 < 10
11 9lt10 12228 . . 3 9 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 12130 . 2 139 < 841
13 3nn 11715 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 12117 . . 3 13 ∈ ℕ
15 1lt10 12236 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 12135 . 2 1 < 139
17 4t2e8 11804 . . 3 (4 · 2) = 8
18 df-9 11706 . . 3 9 = (8 + 1)
193, 7, 17, 18dec2dvds 16399 . 2 ¬ 2 ∥ 139
20 3ndvds4 44065 . . . 4 ¬ 3 ∥ 4
211, 23dvdsdec 15683 . . . . 5 (3 ∥ 13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22 3cn 11717 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
23 ax-1cn 10595 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
24 3p1e4 11781 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
2522, 23, 24addcomli 10832 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
2625breq2i 5061 . . . . 5 (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
2721, 26bitri 278 . . . 4 (3 ∥ 13 ↔ 3 ∥ 4)
2820, 27mtbir 326 . . 3 ¬ 3 ∥ 13
291, 2, 83dvds2dec 15684 . . . 4 (3 ∥ 139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
3025oveq1i 7161 . . . . . 6 ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31 9cn 11736 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
32 4cn 11721 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
33 9p4e13 12186 . . . . . . 7 (9 + 4) = 13
3431, 32, 33addcomli 10832 . . . . . 6 (4 + 9) = 13
3530, 34eqtri 2847 . . . . 5 ((1 + 3) + 9) = 13
3635breq2i 5061 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ 13)
3729, 36bitri 278 . . 3 (3 ∥ 139 ↔ 3 ∥ 13)
3828, 37mtbir 326 . 2 ¬ 3 ∥ 139
39 4nn 11719 . . 3 4 ∈ ℕ
40 4lt5 11813 . . 3 4 < 5
41 5p4e9 11794 . . 3 (5 + 4) = 9
423, 39, 40, 41dec5dvds2 16401 . 2 ¬ 5 ∥ 139
43 7nn 11728 . . 3 7 ∈ ℕ
441, 8deccl 12112 . . 3 19 ∈ ℕ0
45 6nn 11725 . . 3 6 ∈ ℕ
46 0nn0 11911 . . . 4 0 ∈ ℕ0
47 6nn0 11917 . . . 4 6 ∈ ℕ0
48 eqid 2824 . . . 4 19 = 19
4947dec0h 12119 . . . 4 6 = 06
50 7nn0 11918 . . . 4 7 ∈ ℕ0
51 7cn 11730 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
5251mulid1i 10645 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
53 6cn 11727 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
5453addid2i 10828 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
5552, 54oveq12i 7163 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56 7p6e13 12175 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5755, 56eqtri 2847 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 6)) = 13
58 9t7e63 12224 . . . . . 6 (9 · 7) = 63
5931, 51, 58mulcomli 10650 . . . . 5 (7 · 9) = 63
60 6p3e9 11796 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
6153, 22, 60addcomli 10832 . . . . 5 (3 + 6) = 9
6247, 2, 47, 59, 61decaddi 12157 . . . 4 ((7 · 9) + 6) = 69
631, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62decma2c 12150 . . 3 ((7 · 19) + 6) = 139
64 6lt7 11822 . . 3 6 < 7
6543, 44, 45, 63, 64ndvdsi 15763 . 2 ¬ 7 ∥ 139
66 1nn 11647 . . . 4 1 ∈ ℕ
671, 66decnncl 12117 . . 3 11 ∈ ℕ
68 2nn0 11913 . . . 4 2 ∈ ℕ0
691, 68deccl 12112 . . 3 12 ∈ ℕ0
70 eqid 2824 . . . 4 12 = 12
7150dec0h 12119 . . . 4 7 = 07
721, 1deccl 12112 . . . 4 11 ∈ ℕ0
73 2cn 11711 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7473addid2i 10828 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
7574oveq2i 7162 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 2)) = ((11 · 1) + 2)
7667nncni 11646 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7776mulid1i 10645 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
78 1p2e3 11779 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
791, 1, 68, 77, 78decaddi 12157 . . . . 5 ((11 · 1) + 2) = 13
8075, 79eqtri 2847 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 2)) = 13
81 eqid 2824 . . . . 5 11 = 11
8273mulid2i 10646 . . . . . . 7 (1 · 2) = 2
83 00id 10815 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
8482, 83oveq12i 7163 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
8573addid1i 10827 . . . . . 6 (2 + 0) = 2
8684, 85eqtri 2847 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
8782oveq1i 7161 . . . . . 6 ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88 7p2e9 11797 . . . . . . 7 (7 + 2) = 9
8951, 73, 88addcomli 10832 . . . . . 6 (2 + 7) = 9
908dec0h 12119 . . . . . 6 9 = 09
9187, 89, 903eqtri 2851 . . . . 5 ((1 · 2) + 7) = 09
921, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91decmac 12149 . . . 4 ((11 · 2) + 7) = 29
931, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92decma2c 12150 . . 3 ((11 · 12) + 7) = 139
94 7lt10 12230 . . . 4 7 < 10
9566, 1, 50, 94declti 12135 . . 3 7 < 11
9667, 69, 43, 93, 95ndvdsi 15763 . 2 ¬ 11 ∥ 139
971, 46deccl 12112 . . 3 10 ∈ ℕ0
98 eqid 2824 . . . 4 10 = 10
993nn0cni 11908 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
10099mulid1i 10645 . . . . . 6 (13 · 1) = 13
101100, 83oveq12i 7163 . . . . 5 ((13 · 1) + (0 + 0)) = (13 + 0)
10299addid1i 10827 . . . . 5 (13 + 0) = 13
103101, 102eqtri 2847 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 0)) = 13
10499mul01i 10830 . . . . . 6 (13 · 0) = 0
105104oveq1i 7161 . . . . 5 ((13 · 0) + 9) = (0 + 9)
10631addid2i 10828 . . . . 5 (0 + 9) = 9
107105, 106, 903eqtri 2851 . . . 4 ((13 · 0) + 9) = 09
1081, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107decma2c 12150 . . 3 ((13 · 10) + 9) = 139
10966, 2, 8, 11declti 12135 . . 3 9 < 13
11014, 97, 4, 108, 109ndvdsi 15763 . 2 ¬ 13 ∥ 139
1111, 43decnncl 12117 . . 3 17 ∈ ℕ
112 eqid 2824 . . . 4 17 = 17
1132dec0h 12119 . . . 4 3 = 03
114 5nn0 11916 . . . 4 5 ∈ ℕ0
115 8cn 11733 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
116115mulid2i 10646 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
117 5cn 11724 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
118117addid2i 10828 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
119116, 118oveq12i 7163 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120 8p5e13 12180 . . . . 5 (8 + 5) = 13
121119, 120eqtri 2847 . . . 4 ((1 · 8) + (0 + 5)) = 13
122 8t7e56 12217 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
123115, 51, 122mulcomli 10650 . . . . 5 (7 · 8) = 56
124114, 47, 2, 123, 60decaddi 12157 . . . 4 ((7 · 8) + 3) = 59
1251, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124decmac 12149 . . 3 ((17 · 8) + 3) = 139
12666, 50, 2, 10declti 12135 . . 3 3 < 17
127111, 6, 13, 125, 126ndvdsi 15763 . 2 ¬ 17 ∥ 139
1281, 4decnncl 12117 . . 3 19 ∈ ℕ
12951mulid2i 10646 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
130129, 54oveq12i 7163 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131130, 56eqtri 2847 . . . 4 ((1 · 7) + (0 + 6)) = 13
13247, 2, 47, 58, 61decaddi 12157 . . . 4 ((9 · 7) + 6) = 69
1331, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132decmac 12149 . . 3 ((19 · 7) + 6) = 139
134 6lt10 12231 . . . 4 6 < 10
13566, 8, 47, 134declti 12135 . . 3 6 < 19
136128, 50, 45, 133, 135ndvdsi 15763 . 2 ¬ 19 ∥ 139
13768, 13decnncl 12117 . . 3 23 ∈ ℕ
138 eqid 2824 . . . 4 23 = 23
139 2p1e3 11778 . . . . 5 (2 + 1) = 3
140 6t2e12 12201 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
14153, 73, 140mulcomli 10650 . . . . 5 (2 · 6) = 12
1421, 68, 139, 141decsuc 12128 . . . 4 ((2 · 6) + 1) = 13
143 8p1e9 11786 . . . . 5 (8 + 1) = 9
144 6t3e18 12202 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
14553, 22, 144mulcomli 10650 . . . . 5 (3 · 6) = 18
1461, 6, 143, 145decsuc 12128 . . . 4 ((3 · 6) + 1) = 19
14768, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146decrmac 12155 . . 3 ((23 · 6) + 1) = 139
148 2nn 11709 . . . 4 2 ∈ ℕ
149148, 2, 1, 15declti 12135 . . 3 1 < 23
150137, 47, 66, 147, 149ndvdsi 15763 . 2 ¬ 23 ∥ 139
1515, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150prmlem2 16455 1 139 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2115   class class class wbr 5053  (class class class)co 7151  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  2c2 11691  3c3 11692  4c4 11693  5c5 11694  6c6 11695  7c7 11696  8c8 11697  9c9 11698  cdc 12097  cdvds 15609  cprime 16015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12897  df-seq 13376  df-exp 13437  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-prm 16016
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator