Theorem 139prmALT 47842

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17051, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16260 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16260 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17051), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17051). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12417	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12419	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12243	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12627	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12424	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12420	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12425	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12338	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12744	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12738	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12640	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12224	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12746	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12645	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12308	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12215	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16991	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 47841	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16259	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12226	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11084	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12285	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11325	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5106	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16260	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7368	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12245	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12230	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12696	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11325	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5106	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12228	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12317	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12298	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 16993	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12237	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12234	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12416	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12422	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12629	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12423	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12239	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11136	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12236	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11321	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7370	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12685	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12734	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11141	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12300	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11325	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12667	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12660	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12326	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12156	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12418	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12629	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12622	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12220	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11321	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7369	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12155	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11136	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12283	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12667	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11137	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11308	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7370	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11320	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7368	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12301	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11325	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12629	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12659	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12660	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12740	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12645	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12622	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12413	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11136	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7370	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11320	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11323	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11321	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12660	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12645	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12629	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12421	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12242	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11137	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12233	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11321	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7370	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12690	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12727	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11141	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12667	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12659	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12645	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11137	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7370	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12667	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12659	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12741	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12645	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12627	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12282	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12711	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11141	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12638	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12290	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12712	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11141	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12638	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12665	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12218	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12645	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16339	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17047	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  7c7 12205  8c8 12206  9c9 12207  ;cdc 12607   ∥ cdvds 16179  ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-prm 16599

This theorem is referenced by: (None)