Theorem 139prmALT 43067

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 16303, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 15532 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 15532 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 16303), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 16303). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11718	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 11720	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11919	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 11537	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 11925	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 11725	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11721	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 11726	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 11638	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12043	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12037	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 11938	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 11512	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 11925	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12045	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 11943	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 11608	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 11503	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16245	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 43066	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 15531	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 11514	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 10385	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 11585	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 10624	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 4931	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 267	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 315	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 15532	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 6980	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 11539	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 11519	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 11995	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 10624	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2796	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 4931	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 267	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 315	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 11517	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 11617	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 11598	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 16247	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 11529	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 11919	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 11525	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 11717	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 11723	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2772	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 11927	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 11724	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 11531	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulid1i 10436	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 11527	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addid2i 10620	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 6982	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 11984	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2796	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12033	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 10441	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 11600	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 10624	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 11965	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 11958	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 11626	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 15613	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 11444	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 11925	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 11719	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 11919	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2772	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 11927	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 11919	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 11508	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addid2i 10620	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 6981	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 11442	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulid1i 10436	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 11583	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 11965	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2796	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mulid2i 10437	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 10607	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 6982	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addid1i 10619	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2796	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 6980	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 11601	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 10624	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 11927	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2800	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 11957	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 11958	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12039	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 11943	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 15613	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 11919	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2772	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 11713	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulid1i 10436	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 6982	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addid1i 10619	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2796	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 10622	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 6980	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addid2i 10620	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2800	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 11958	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 11943	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 15613	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 11925	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2772	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 11927	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 11722	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 11535	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mulid2i 10437	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 11523	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addid2i 10620	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 6982	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 11989	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2796	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12026	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 10441	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 11965	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 11957	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 11943	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 15613	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 11925	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mulid2i 10437	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 6982	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2796	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 11965	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 11957	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12040	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 11943	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 15613	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 11925	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2772	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 11582	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12010	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 10441	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 11936	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 11590	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12011	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 10441	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 11936	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 11963	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 11506	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 11943	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 15613	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 16299	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2048   class class class wbr 4923  (class class class)co 6970  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332  2c2 11488  3c3 11489  4c4 11490  5c5 11491  6c6 11492  7c7 11493  8c8 11494  9c9 11495  ;cdc 11904   ∥ cdvds 15457  ℙcprime 15861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-seq 13178  df-exp 13238  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-dvds 15458  df-prm 15862

This theorem is referenced by: (None)