Theorem 139prmALT 45017

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 16823, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16040 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16040 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 16823), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 16823). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12249	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12251	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12451	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12071	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12456	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12256	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12252	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12257	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12171	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12573	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12567	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12469	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12052	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12456	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12575	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12474	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12141	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12043	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16762	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 45016	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16039	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12054	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 10930	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12118	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11167	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5087	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 274	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16040	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7281	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12073	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12058	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12525	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11167	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5087	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 274	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12056	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12150	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12131	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 16764	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12065	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12451	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12062	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12248	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12254	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12458	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12255	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12067	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulid1i 10980	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12064	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addid2i 11163	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7283	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12514	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12563	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 10985	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12133	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11167	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12496	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12489	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12159	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16119	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 11984	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12456	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12250	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12451	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12458	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12451	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12048	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addid2i 11163	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7282	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 11983	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulid1i 10980	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12116	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12496	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mulid2i 10981	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11150	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7283	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addid1i 11162	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7281	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12134	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11167	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12458	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2772	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12488	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12489	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12569	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12474	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16119	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12451	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12245	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulid1i 10980	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7283	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addid1i 11162	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11165	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7281	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addid2i 11163	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2772	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12489	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12474	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16119	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12456	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12458	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12253	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12070	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mulid2i 10981	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12061	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addid2i 11163	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7283	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12519	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12556	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 10985	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12496	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12488	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12474	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16119	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12456	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mulid2i 10981	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7283	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12496	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12488	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12570	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12474	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16119	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12456	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12115	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12540	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 10985	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12467	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12123	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12541	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 10985	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12467	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12494	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12046	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12474	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16119	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 16819	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  (class class class)co 7271  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   · cmul 10877  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ;cdc 12436   ∥ cdvds 15961  ℙcprime 16374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-dvds 15962  df-prm 16375

This theorem is referenced by: (None)