Theorem 139prmALT 44113

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 16449, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 15674 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 15674 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 16449), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 16449). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11901	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 11903	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12101	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 11723	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12106	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 11908	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11904	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 11909	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 11823	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12223	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12217	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12119	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 11704	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12106	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12225	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12124	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 11793	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 11695	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16389	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 44112	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 15673	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 11706	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 10584	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 11770	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 10821	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5038	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 278	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 15674	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7145	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 11725	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 11710	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12175	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 10821	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5038	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 278	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 11708	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 11802	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 11783	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 16391	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 11717	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12101	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 11714	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 11900	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 11906	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12108	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 11907	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 11719	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulid1i 10634	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 11716	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addid2i 10817	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7147	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12164	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12213	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 10639	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 11785	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 10821	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12146	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12139	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 11811	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 15753	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 11636	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12106	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 11902	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12101	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12108	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12101	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 11700	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addid2i 10817	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7146	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 11635	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulid1i 10634	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 11768	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12146	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mulid2i 10635	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 10804	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7147	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addid1i 10816	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7145	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 11786	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 10821	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12108	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2825	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12138	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12139	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12219	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12124	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 15753	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12101	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 11897	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulid1i 10634	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7147	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addid1i 10816	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 10819	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7145	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addid2i 10817	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2825	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12139	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12124	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 15753	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12106	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12108	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 11905	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 11722	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mulid2i 10635	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 11713	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addid2i 10817	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7147	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12169	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12206	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 10639	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12146	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12138	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12124	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 15753	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12106	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mulid2i 10635	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7147	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12146	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12138	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12220	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12124	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 15753	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12106	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 11767	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12190	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 10639	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12117	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 11775	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12191	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 10639	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12117	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12144	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 11698	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12124	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 15753	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 16445	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  ;cdc 12086   ∥ cdvds 15599  ℙcprime 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-prm 16006

This theorem is referenced by: (None)