Theorem 139prmALT 48954

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17346, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16547 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16547 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17346), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17346). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12662	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12664	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12481	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12878	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12669	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12665	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12670	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12583	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12997	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12991	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12892	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12462	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12999	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12897	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12551	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12452	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17285	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 48953	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16546	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12464	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11297	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12527	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11541	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5116	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 278	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16547	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12483	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12468	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12948	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11541	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5116	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 278	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12466	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12562	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12540	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17287	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12475	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12472	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12661	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12667	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12668	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12477	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11352	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12474	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12937	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12986	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12542	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11541	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12919	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12571	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12386	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12663	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12458	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12385	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11352	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12525	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12919	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11353	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11524	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7463	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11536	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7461	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12543	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11541	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12881	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2790	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12911	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12993	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12897	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12658	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11352	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11536	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11539	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11537	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12912	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12897	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12881	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12666	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12480	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11353	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12471	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12942	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12979	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12919	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12897	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11353	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12919	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12911	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12994	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12897	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12878	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12524	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12963	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12890	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12532	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12964	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11357	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12890	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12917	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12456	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12897	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16626	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17342	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  8c8 12443  9c9 12444  ;cdc 12854   ∥ cdvds 16466  ℙcprime 16890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-prm 16891

This theorem is used by: (None)