Theorem 139prmALT 42104

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 16062, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 15297 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 15297 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 16062), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 16062). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11595	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 11597	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11794	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 11417	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 11799	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 11602	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11598	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 11603	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 11517	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 11916	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 11910	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 11812	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 11392	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 11799	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 11918	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 11817	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 11487	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 11383	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16004	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 42103	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 15296	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 11394	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 10289	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 11464	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 10523	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 4863	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 266	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 314	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 15297	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 6894	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 11419	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 11399	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 11868	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 10523	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2839	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 4863	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 266	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 314	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 11397	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 11496	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 11477	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 16006	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 11409	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 11794	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 11405	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 11594	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 11600	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2817	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 11801	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 11601	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 11411	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulid1i 10339	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 11407	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addid2i 10519	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 6896	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 11857	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2839	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 11906	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 10344	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 11479	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 10523	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 11839	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 11832	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 11505	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 15375	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 11328	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 11799	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 11596	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 11794	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2817	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 11801	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 11794	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 11388	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addid2i 10519	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 6895	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 11326	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulid1i 10339	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 11463	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 11839	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2839	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2817	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mulid2i 10340	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 10506	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 6896	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addid1i 10518	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2839	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 6894	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 11480	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 10523	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 11801	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2843	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 11831	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 11832	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 11912	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 11817	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 15375	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 11794	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2817	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 11591	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulid1i 10339	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 6896	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addid1i 10518	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2839	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 10521	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 6894	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addid2i 10519	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2843	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 11832	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 11817	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 15375	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 11799	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2817	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 11801	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 11599	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 11415	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mulid2i 10340	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 11403	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addid2i 10519	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 6896	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 11862	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2839	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 11899	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 10344	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 11839	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 11831	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 11817	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 15375	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 11799	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mulid2i 10340	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 6896	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2839	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 11839	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 11831	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 11913	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 11817	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 15375	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 11799	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2817	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 11462	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 11883	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 10344	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 11810	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 11469	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 11884	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 10344	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 11810	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 11837	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 11386	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 11817	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 15375	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 16058	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4855  (class class class)co 6884  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  5c5 11371  6c6 11372  7c7 11373  8c8 11374  9c9 11375  ;cdc 11779   ∥ cdvds 15223  ℙcprime 15623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-inf 8598  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-rp 12067  df-fz 12570  df-seq 13045  df-exp 13104  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-dvds 15224  df-prm 15624

This theorem is referenced by: (None)