Theorem 139prmALT 48348

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17179, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16386 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16386 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17179), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17179). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12515	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12517	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12721	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12334	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12730	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12522	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12518	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12523	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12436	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12849	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12843	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12744	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12315	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12851	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12749	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12404	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12305	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17118	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 48347	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16385	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12317	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11153	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12380	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11397	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5117	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 278	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16386	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12336	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12321	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12800	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11397	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5117	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 278	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12319	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12415	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12393	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17120	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12328	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12721	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12325	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12514	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12520	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12733	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12521	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12330	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11208	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12327	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11393	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12789	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12838	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11213	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12395	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11397	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12771	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12764	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12424	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12239	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12516	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12721	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12733	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12721	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12311	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11393	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12238	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11208	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12378	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12771	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11209	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11380	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11392	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12396	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11397	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12733	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2790	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12763	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12764	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12845	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12749	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12721	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12511	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11208	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11392	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11395	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11393	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12764	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12749	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12733	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12519	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12333	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11209	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12324	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11393	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12794	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12831	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11213	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12771	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12763	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12749	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11209	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12771	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12763	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12846	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12749	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12377	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12815	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11213	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12742	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12385	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12816	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11213	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12742	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12769	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12309	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12749	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16465	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17175	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  5c5 12293  6c6 12294  7c7 12295  8c8 12296  9c9 12297  ;cdc 12706   ∥ cdvds 16305  ℙcprime 16724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-prm 16725

This theorem is referenced by: (None)