Theorem 139prmALT 48166

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17151, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16358 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16358 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17151), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17151). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12491	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12493	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12697	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12310	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12706	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12498	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12494	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12499	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12412	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12825	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12819	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12720	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12291	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12706	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12827	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12725	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12380	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12281	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17090	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 48165	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16357	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12293	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11125	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12356	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11369	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5105	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 277	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 325	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16358	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7401	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12312	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12297	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12776	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11369	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5105	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 277	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 325	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12295	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12391	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12369	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17092	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12304	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12697	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12301	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12490	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12496	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12709	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12497	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12306	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11180	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12303	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11365	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7403	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12765	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12814	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11185	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12371	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11369	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12747	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12740	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12400	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16437	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12215	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12706	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12492	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12697	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12709	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12697	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12287	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11365	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7402	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12214	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11180	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12354	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12747	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11181	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11352	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7403	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11364	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7401	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12372	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11369	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12709	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12739	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12740	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12821	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12725	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16437	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12697	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12487	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11180	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7403	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11364	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11367	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7401	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11365	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12740	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12725	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16437	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12706	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12709	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12495	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12309	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11181	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12300	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11365	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7403	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12770	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12807	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11185	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12747	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12739	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12725	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16437	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12706	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11181	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7403	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12747	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12739	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12822	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12725	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16437	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12706	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12353	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12791	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11185	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12718	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12361	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12792	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11185	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12718	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12745	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12285	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12725	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16437	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17147	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072  2c2 12266  3c3 12267  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  7c7 12271  8c8 12272  9c9 12273  ;cdc 12682   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-prm 16697

This theorem is referenced by: (None)