Theorem 139prmALT 47758

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17042, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16251 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16251 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17042), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17042). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12408	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12410	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12613	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12234	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12618	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12415	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12411	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12416	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12329	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12735	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12729	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12631	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12215	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12618	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12737	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12636	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12299	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12206	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16982	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 47757	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16250	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12217	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11075	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12276	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11316	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5103	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16251	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7365	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12236	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12221	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12687	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11316	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5103	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12219	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12308	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12289	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 16984	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12228	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12613	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12225	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12407	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12413	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12620	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12414	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12230	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11127	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12227	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11312	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7367	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12676	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12725	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11132	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12291	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11316	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12658	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12651	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12317	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16330	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12147	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12618	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12409	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12613	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12620	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12613	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12211	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11312	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7366	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12146	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11127	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12274	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12658	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11128	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11299	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7367	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11311	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7365	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12292	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11316	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12620	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12650	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12651	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12731	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12636	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16330	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12613	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12404	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11127	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7367	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11311	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11314	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7365	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11312	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12651	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12636	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16330	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12618	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12620	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12412	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12233	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11128	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12224	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11312	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7367	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12681	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12718	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11132	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12658	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12650	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12636	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16330	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12618	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11128	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7367	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12658	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12650	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12732	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12636	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16330	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12618	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12273	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12702	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11132	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12629	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12281	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12703	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11132	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12629	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12656	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12209	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12636	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16330	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17038	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022  2c2 12191  3c3 12192  4c4 12193  5c5 12194  6c6 12195  7c7 12196  8c8 12197  9c9 12198  ;cdc 12598   ∥ cdvds 16170  ℙcprime 16589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-dvds 16171  df-prm 16590

This theorem is referenced by: (None)