Theorem 139prmALT 48143

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17132, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16339 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16339 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17132), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17132). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12483	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12485	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12689	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12302	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12698	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12490	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12486	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12491	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12404	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12817	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12811	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12712	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12283	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12698	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12819	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12717	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12372	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12273	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17071	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 48142	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16338	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12285	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11117	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12348	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11361	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5098	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 277	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 325	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16339	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7391	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12304	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12289	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12768	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11361	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2775	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5098	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 277	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 325	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12287	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12383	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12361	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17073	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12296	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12689	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12293	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12482	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12488	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2752	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12701	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12489	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12298	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11172	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12295	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11357	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7393	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12757	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2775	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12806	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11177	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12363	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11361	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12739	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12732	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12392	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16418	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12207	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12698	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12484	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12689	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2752	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12701	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12689	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12279	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11357	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7392	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12206	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11172	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12346	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12739	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2775	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11173	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11344	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7393	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11356	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2775	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7391	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12364	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11361	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12701	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2779	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12731	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12732	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12813	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12717	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16418	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12689	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2752	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12479	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11172	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7393	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11356	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2775	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11359	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7391	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11357	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2779	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12732	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12717	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16418	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12698	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2752	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12701	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12487	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12301	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11173	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12292	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11357	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7393	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12762	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2775	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12799	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11177	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12739	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12731	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12717	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16418	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12698	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11173	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7393	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2775	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12739	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12731	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12814	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12717	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16418	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12698	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2752	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12345	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12783	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11177	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12710	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12353	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12784	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11177	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12710	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12737	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12277	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12717	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16418	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17128	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2132   class class class wbr 5090  (class class class)co 7381  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   · cmul 11064  2c2 12258  3c3 12259  4c4 12260  5c5 12261  6c6 12262  7c7 12263  8c8 12264  9c9 12265  ;cdc 12674   ∥ cdvds 16258  ℙcprime 16677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fz 13499  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-dvds 16259  df-prm 16678

This theorem is referenced by: (None)