Theorem 139prmALT 47597

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17094, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16303 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16303 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17094), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17094). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12458	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12460	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12284	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12669	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12465	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12461	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12466	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12379	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12786	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12780	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12682	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12265	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12788	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12687	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12349	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12256	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17034	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 47596	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16302	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12267	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11126	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12326	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11366	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5115	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16303	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7397	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12286	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12271	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12738	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11366	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5115	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12269	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12358	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12339	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17036	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12278	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12275	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12457	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12463	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12671	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12464	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12280	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11178	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12277	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11362	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7399	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12727	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12776	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11183	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12341	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11366	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12709	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12702	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12367	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12197	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12459	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12671	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12261	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11362	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7398	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12196	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11178	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12324	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12709	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11179	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11349	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7399	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11361	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7397	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12342	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11366	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12671	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12701	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12702	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12782	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12687	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12664	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12454	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11178	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7399	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11361	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11364	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7397	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11362	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12702	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12687	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12671	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12462	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12283	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11179	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12274	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11362	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7399	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12732	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12769	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11183	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12709	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12701	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12687	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11179	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7399	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12709	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12701	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12783	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12687	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12669	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12323	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12753	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11183	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12680	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12331	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12754	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11183	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12680	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12707	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12259	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12687	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16382	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17090	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  7c7 12246  8c8 12247  9c9 12248  ;cdc 12649   ∥ cdvds 16222  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-prm 16642

This theorem is referenced by: (None)