Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  139prmALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 139prmALT 42039
Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 16038, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 15265 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 15265 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 16038), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 16038). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
139prmALT 139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT
StepHypRef Expression
1 1nn0 11510 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 11512 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11714 . . 3 13 ∈ ℕ0
4 9nn 11394 . . 3 9 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11720 . 2 139 ∈ ℕ
6 8nn0 11517 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11513 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 9nn0 11518 . . 3 9 ∈ ℕ0
9 1lt8 11423 . . 3 1 < 8
10 3lt10 11880 . . 3 3 < 10
11 9lt10 11874 . . 3 9 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11740 . 2 139 < 841
13 3nn 11388 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11720 . . 3 13 ∈ ℕ
15 1lt10 11882 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11748 . 2 1 < 139
17 4t2e8 11383 . . 3 (4 · 2) = 8
18 df-9 11288 . . 3 9 = (8 + 1)
193, 7, 17, 18dec2dvds 15974 . 2 ¬ 2 ∥ 139
20 3ndvds4 42038 . . . 4 ¬ 3 ∥ 4
211, 23dvdsdec 15263 . . . . 5 (3 ∥ 13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22 3cn 11297 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
23 ax-1cn 10196 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
24 3p1e4 11355 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
2522, 23, 24addcomli 10430 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
2625breq2i 4794 . . . . 5 (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
2721, 26bitri 264 . . . 4 (3 ∥ 13 ↔ 3 ∥ 4)
2820, 27mtbir 312 . . 3 ¬ 3 ∥ 13
291, 2, 83dvds2dec 15265 . . . 4 (3 ∥ 139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
3025oveq1i 6803 . . . . . 6 ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31 9cn 11310 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
32 4cn 11300 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
33 9p4e13 11823 . . . . . . 7 (9 + 4) = 13
3431, 32, 33addcomli 10430 . . . . . 6 (4 + 9) = 13
3530, 34eqtri 2793 . . . . 5 ((1 + 3) + 9) = 13
3635breq2i 4794 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ 13)
3729, 36bitri 264 . . 3 (3 ∥ 139 ↔ 3 ∥ 13)
3828, 37mtbir 312 . 2 ¬ 3 ∥ 139
39 4nn 11389 . . 3 4 ∈ ℕ
40 4lt5 11402 . . 3 4 < 5
41 5p4e9 11369 . . 3 (5 + 4) = 9
423, 39, 40, 41dec5dvds2 15976 . 2 ¬ 5 ∥ 139
43 7nn 11392 . . 3 7 ∈ ℕ
441, 8deccl 11714 . . 3 19 ∈ ℕ0
45 6nn 11391 . . 3 6 ∈ ℕ
46 0nn0 11509 . . . 4 0 ∈ ℕ0
47 6nn0 11515 . . . 4 6 ∈ ℕ0
48 eqid 2771 . . . 4 19 = 19
4947dec0h 11724 . . . 4 6 = 06
50 7nn0 11516 . . . 4 7 ∈ ℕ0
51 7cn 11306 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
5251mulid1i 10244 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
53 6cn 11304 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
5453addid2i 10426 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
5552, 54oveq12i 6805 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56 7p6e13 11809 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5755, 56eqtri 2793 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 6)) = 13
58 9t7e63 11869 . . . . . 6 (9 · 7) = 63
5931, 51, 58mulcomli 10249 . . . . 5 (7 · 9) = 63
60 6p3e9 11372 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
6153, 22, 60addcomli 10430 . . . . 5 (3 + 6) = 9
6247, 2, 47, 59, 61decaddi 11780 . . . 4 ((7 · 9) + 6) = 69
631, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62decma2c 11769 . . 3 ((7 · 19) + 6) = 139
64 6lt7 11411 . . 3 6 < 7
6543, 44, 45, 63, 64ndvdsi 15344 . 2 ¬ 7 ∥ 139
66 1nn 11233 . . . 4 1 ∈ ℕ
671, 66decnncl 11720 . . 3 11 ∈ ℕ
68 2nn0 11511 . . . 4 2 ∈ ℕ0
691, 68deccl 11714 . . 3 12 ∈ ℕ0
70 eqid 2771 . . . 4 12 = 12
7150dec0h 11724 . . . 4 7 = 07
721, 1deccl 11714 . . . 4 11 ∈ ℕ0
73 2cn 11293 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7473addid2i 10426 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
7574oveq2i 6804 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 2)) = ((11 · 1) + 2)
7667nncni 11232 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7776mulid1i 10244 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
78 1p2e3 11354 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
791, 1, 68, 77, 78decaddi 11780 . . . . 5 ((11 · 1) + 2) = 13
8075, 79eqtri 2793 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 2)) = 13
81 eqid 2771 . . . . 5 11 = 11
8273mulid2i 10245 . . . . . . 7 (1 · 2) = 2
83 00id 10413 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
8482, 83oveq12i 6805 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
8573addid1i 10425 . . . . . 6 (2 + 0) = 2
8684, 85eqtri 2793 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
8782oveq1i 6803 . . . . . 6 ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88 7p2e9 11374 . . . . . . 7 (7 + 2) = 9
8951, 73, 88addcomli 10430 . . . . . 6 (2 + 7) = 9
908dec0h 11724 . . . . . 6 9 = 09
9187, 89, 903eqtri 2797 . . . . 5 ((1 · 2) + 7) = 09
921, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91decmac 11767 . . . 4 ((11 · 2) + 7) = 29
931, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92decma2c 11769 . . 3 ((11 · 12) + 7) = 139
94 7lt10 11876 . . . 4 7 < 10
9566, 1, 50, 94declti 11748 . . 3 7 < 11
9667, 69, 43, 93, 95ndvdsi 15344 . 2 ¬ 11 ∥ 139
971, 46deccl 11714 . . 3 10 ∈ ℕ0
98 eqid 2771 . . . 4 10 = 10
993nn0cni 11506 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
10099mulid1i 10244 . . . . . 6 (13 · 1) = 13
101100, 83oveq12i 6805 . . . . 5 ((13 · 1) + (0 + 0)) = (13 + 0)
10299addid1i 10425 . . . . 5 (13 + 0) = 13
103101, 102eqtri 2793 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 0)) = 13
10499mul01i 10428 . . . . . 6 (13 · 0) = 0
105104oveq1i 6803 . . . . 5 ((13 · 0) + 9) = (0 + 9)
10631addid2i 10426 . . . . 5 (0 + 9) = 9
107105, 106, 903eqtri 2797 . . . 4 ((13 · 0) + 9) = 09
1081, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107decma2c 11769 . . 3 ((13 · 10) + 9) = 139
10966, 2, 8, 11declti 11748 . . 3 9 < 13
11014, 97, 4, 108, 109ndvdsi 15344 . 2 ¬ 13 ∥ 139
1111, 43decnncl 11720 . . 3 17 ∈ ℕ
112 eqid 2771 . . . 4 17 = 17
1132dec0h 11724 . . . 4 3 = 03
114 5nn0 11514 . . . 4 5 ∈ ℕ0
115 8cn 11308 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
116115mulid2i 10245 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
117 5cn 11302 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
118117addid2i 10426 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
119116, 118oveq12i 6805 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120 8p5e13 11816 . . . . 5 (8 + 5) = 13
121119, 120eqtri 2793 . . . 4 ((1 · 8) + (0 + 5)) = 13
122 8t7e56 11862 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
123115, 51, 122mulcomli 10249 . . . . 5 (7 · 8) = 56
124114, 47, 2, 123, 60decaddi 11780 . . . 4 ((7 · 8) + 3) = 59
1251, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124decmac 11767 . . 3 ((17 · 8) + 3) = 139
12666, 50, 2, 10declti 11748 . . 3 3 < 17
127111, 6, 13, 125, 126ndvdsi 15344 . 2 ¬ 17 ∥ 139
1281, 4decnncl 11720 . . 3 19 ∈ ℕ
12951mulid2i 10245 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
130129, 54oveq12i 6805 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131130, 56eqtri 2793 . . . 4 ((1 · 7) + (0 + 6)) = 13
13247, 2, 47, 58, 61decaddi 11780 . . . 4 ((9 · 7) + 6) = 69
1331, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132decmac 11767 . . 3 ((19 · 7) + 6) = 139
134 6lt10 11877 . . . 4 6 < 10
13566, 8, 47, 134declti 11748 . . 3 6 < 19
136128, 50, 45, 133, 135ndvdsi 15344 . 2 ¬ 19 ∥ 139
13768, 13decnncl 11720 . . 3 23 ∈ ℕ
138 eqid 2771 . . . 4 23 = 23
139 2p1e3 11353 . . . . 5 (2 + 1) = 3
140 6t2e12 11842 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
14153, 73, 140mulcomli 10249 . . . . 5 (2 · 6) = 12
1421, 68, 139, 141decsuc 11737 . . . 4 ((2 · 6) + 1) = 13
143 8p1e9 11360 . . . . 5 (8 + 1) = 9
144 6t3e18 11843 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
14553, 22, 144mulcomli 10249 . . . . 5 (3 · 6) = 18
1461, 6, 143, 145decsuc 11737 . . . 4 ((3 · 6) + 1) = 19
14768, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146decrmac 11778 . . 3 ((23 · 6) + 1) = 139
148 2nn 11387 . . . 4 2 ∈ ℕ
149148, 2, 1, 15declti 11748 . . 3 1 < 23
150137, 47, 66, 147, 149ndvdsi 15344 . 2 ¬ 23 ∥ 139
1515, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150prmlem2 16034 1 139 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  cdc 11695  cdvds 15189  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator