Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  139prmALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 139prmALT 42104
Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 16062, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 15297 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 15297 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 16062), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 16062). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
139prmALT 139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT
StepHypRef Expression
1 1nn0 11595 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2 3nn0 11597 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11794 . . 3 13 ∈ ℕ0
4 9nn 11417 . . 3 9 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11799 . 2 139 ∈ ℕ
6 8nn0 11602 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11598 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 9nn0 11603 . . 3 9 ∈ ℕ0
9 1lt8 11517 . . 3 1 < 8
10 3lt10 11916 . . 3 3 < 10
11 9lt10 11910 . . 3 9 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 113decltc 11812 . 2 139 < 841
13 3nn 11392 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 11799 . . 3 13 ∈ ℕ
15 1lt10 11918 . . 3 1 < 10
1614, 8, 1, 15declti 11817 . 2 1 < 139
17 4t2e8 11487 . . 3 (4 · 2) = 8
18 df-9 11383 . . 3 9 = (8 + 1)
193, 7, 17, 18dec2dvds 16004 . 2 ¬ 2 ∥ 139
20 3ndvds4 42103 . . . 4 ¬ 3 ∥ 4
211, 23dvdsdec 15296 . . . . 5 (3 ∥ 13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22 3cn 11394 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
23 ax-1cn 10289 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
24 3p1e4 11464 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
2522, 23, 24addcomli 10523 . . . . . 6 (1 + 3) = 4
2625breq2i 4863 . . . . 5 (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
2721, 26bitri 266 . . . 4 (3 ∥ 13 ↔ 3 ∥ 4)
2820, 27mtbir 314 . . 3 ¬ 3 ∥ 13
291, 2, 83dvds2dec 15297 . . . 4 (3 ∥ 139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
3025oveq1i 6894 . . . . . 6 ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31 9cn 11419 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
32 4cn 11399 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
33 9p4e13 11868 . . . . . . 7 (9 + 4) = 13
3431, 32, 33addcomli 10523 . . . . . 6 (4 + 9) = 13
3530, 34eqtri 2839 . . . . 5 ((1 + 3) + 9) = 13
3635breq2i 4863 . . . 4 (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ 13)
3729, 36bitri 266 . . 3 (3 ∥ 139 ↔ 3 ∥ 13)
3828, 37mtbir 314 . 2 ¬ 3 ∥ 139
39 4nn 11397 . . 3 4 ∈ ℕ
40 4lt5 11496 . . 3 4 < 5
41 5p4e9 11477 . . 3 (5 + 4) = 9
423, 39, 40, 41dec5dvds2 16006 . 2 ¬ 5 ∥ 139
43 7nn 11409 . . 3 7 ∈ ℕ
441, 8deccl 11794 . . 3 19 ∈ ℕ0
45 6nn 11405 . . 3 6 ∈ ℕ
46 0nn0 11594 . . . 4 0 ∈ ℕ0
47 6nn0 11600 . . . 4 6 ∈ ℕ0
48 eqid 2817 . . . 4 19 = 19
4947dec0h 11801 . . . 4 6 = 06
50 7nn0 11601 . . . 4 7 ∈ ℕ0
51 7cn 11411 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
5251mulid1i 10339 . . . . . 6 (7 · 1) = 7
53 6cn 11407 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
5453addid2i 10519 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
5552, 54oveq12i 6896 . . . . 5 ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56 7p6e13 11857 . . . . 5 (7 + 6) = 13
5755, 56eqtri 2839 . . . 4 ((7 · 1) + (0 + 6)) = 13
58 9t7e63 11906 . . . . . 6 (9 · 7) = 63
5931, 51, 58mulcomli 10344 . . . . 5 (7 · 9) = 63
60 6p3e9 11479 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
6153, 22, 60addcomli 10523 . . . . 5 (3 + 6) = 9
6247, 2, 47, 59, 61decaddi 11839 . . . 4 ((7 · 9) + 6) = 69
631, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62decma2c 11832 . . 3 ((7 · 19) + 6) = 139
64 6lt7 11505 . . 3 6 < 7
6543, 44, 45, 63, 64ndvdsi 15375 . 2 ¬ 7 ∥ 139
66 1nn 11328 . . . 4 1 ∈ ℕ
671, 66decnncl 11799 . . 3 11 ∈ ℕ
68 2nn0 11596 . . . 4 2 ∈ ℕ0
691, 68deccl 11794 . . 3 12 ∈ ℕ0
70 eqid 2817 . . . 4 12 = 12
7150dec0h 11801 . . . 4 7 = 07
721, 1deccl 11794 . . . 4 11 ∈ ℕ0
73 2cn 11388 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
7473addid2i 10519 . . . . . 6 (0 + 2) = 2
7574oveq2i 6895 . . . . 5 ((11 · 1) + (0 + 2)) = ((11 · 1) + 2)
7667nncni 11326 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
7776mulid1i 10339 . . . . . 6 (11 · 1) = 11
78 1p2e3 11463 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
791, 1, 68, 77, 78decaddi 11839 . . . . 5 ((11 · 1) + 2) = 13
8075, 79eqtri 2839 . . . 4 ((11 · 1) + (0 + 2)) = 13
81 eqid 2817 . . . . 5 11 = 11
8273mulid2i 10340 . . . . . . 7 (1 · 2) = 2
83 00id 10506 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
8482, 83oveq12i 6896 . . . . . 6 ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
8573addid1i 10518 . . . . . 6 (2 + 0) = 2
8684, 85eqtri 2839 . . . . 5 ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
8782oveq1i 6894 . . . . . 6 ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88 7p2e9 11480 . . . . . . 7 (7 + 2) = 9
8951, 73, 88addcomli 10523 . . . . . 6 (2 + 7) = 9
908dec0h 11801 . . . . . 6 9 = 09
9187, 89, 903eqtri 2843 . . . . 5 ((1 · 2) + 7) = 09
921, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91decmac 11831 . . . 4 ((11 · 2) + 7) = 29
931, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92decma2c 11832 . . 3 ((11 · 12) + 7) = 139
94 7lt10 11912 . . . 4 7 < 10
9566, 1, 50, 94declti 11817 . . 3 7 < 11
9667, 69, 43, 93, 95ndvdsi 15375 . 2 ¬ 11 ∥ 139
971, 46deccl 11794 . . 3 10 ∈ ℕ0
98 eqid 2817 . . . 4 10 = 10
993nn0cni 11591 . . . . . . 7 13 ∈ ℂ
10099mulid1i 10339 . . . . . 6 (13 · 1) = 13
101100, 83oveq12i 6896 . . . . 5 ((13 · 1) + (0 + 0)) = (13 + 0)
10299addid1i 10518 . . . . 5 (13 + 0) = 13
103101, 102eqtri 2839 . . . 4 ((13 · 1) + (0 + 0)) = 13
10499mul01i 10521 . . . . . 6 (13 · 0) = 0
105104oveq1i 6894 . . . . 5 ((13 · 0) + 9) = (0 + 9)
10631addid2i 10519 . . . . 5 (0 + 9) = 9
107105, 106, 903eqtri 2843 . . . 4 ((13 · 0) + 9) = 09
1081, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107decma2c 11832 . . 3 ((13 · 10) + 9) = 139
10966, 2, 8, 11declti 11817 . . 3 9 < 13
11014, 97, 4, 108, 109ndvdsi 15375 . 2 ¬ 13 ∥ 139
1111, 43decnncl 11799 . . 3 17 ∈ ℕ
112 eqid 2817 . . . 4 17 = 17
1132dec0h 11801 . . . 4 3 = 03
114 5nn0 11599 . . . 4 5 ∈ ℕ0
115 8cn 11415 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
116115mulid2i 10340 . . . . . 6 (1 · 8) = 8
117 5cn 11403 . . . . . . 7 5 ∈ ℂ
118117addid2i 10519 . . . . . 6 (0 + 5) = 5
119116, 118oveq12i 6896 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120 8p5e13 11862 . . . . 5 (8 + 5) = 13
121119, 120eqtri 2839 . . . 4 ((1 · 8) + (0 + 5)) = 13
122 8t7e56 11899 . . . . . 6 (8 · 7) = 56
123115, 51, 122mulcomli 10344 . . . . 5 (7 · 8) = 56
124114, 47, 2, 123, 60decaddi 11839 . . . 4 ((7 · 8) + 3) = 59
1251, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124decmac 11831 . . 3 ((17 · 8) + 3) = 139
12666, 50, 2, 10declti 11817 . . 3 3 < 17
127111, 6, 13, 125, 126ndvdsi 15375 . 2 ¬ 17 ∥ 139
1281, 4decnncl 11799 . . 3 19 ∈ ℕ
12951mulid2i 10340 . . . . . 6 (1 · 7) = 7
130129, 54oveq12i 6896 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131130, 56eqtri 2839 . . . 4 ((1 · 7) + (0 + 6)) = 13
13247, 2, 47, 58, 61decaddi 11839 . . . 4 ((9 · 7) + 6) = 69
1331, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132decmac 11831 . . 3 ((19 · 7) + 6) = 139
134 6lt10 11913 . . . 4 6 < 10
13566, 8, 47, 134declti 11817 . . 3 6 < 19
136128, 50, 45, 133, 135ndvdsi 15375 . 2 ¬ 19 ∥ 139
13768, 13decnncl 11799 . . 3 23 ∈ ℕ
138 eqid 2817 . . . 4 23 = 23
139 2p1e3 11462 . . . . 5 (2 + 1) = 3
140 6t2e12 11883 . . . . . 6 (6 · 2) = 12
14153, 73, 140mulcomli 10344 . . . . 5 (2 · 6) = 12
1421, 68, 139, 141decsuc 11810 . . . 4 ((2 · 6) + 1) = 13
143 8p1e9 11469 . . . . 5 (8 + 1) = 9
144 6t3e18 11884 . . . . . 6 (6 · 3) = 18
14553, 22, 144mulcomli 10344 . . . . 5 (3 · 6) = 18
1461, 6, 143, 145decsuc 11810 . . . 4 ((3 · 6) + 1) = 19
14768, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146decrmac 11837 . . 3 ((23 · 6) + 1) = 139
148 2nn 11386 . . . 4 2 ∈ ℕ
149148, 2, 1, 15declti 11817 . . 3 1 < 23
150137, 47, 66, 147, 149ndvdsi 15375 . 2 ¬ 23 ∥ 139
1515, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150prmlem2 16058 1 139 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2157   class class class wbr 4855  (class class class)co 6884  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  5c5 11371  6c6 11372  7c7 11373  8c8 11374  9c9 11375  cdc 11779  cdvds 15223  cprime 15623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-inf 8598  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-rp 12067  df-fz 12570  df-seq 13045  df-exp 13104  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-dvds 15224  df-prm 15624
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator