Theorem 139prmALT 48499

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17216, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16423 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16423 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17216), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17216). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12544	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12546	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12363	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12760	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12551	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12547	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12552	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12465	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12879	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12873	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12774	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12344	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12760	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12881	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12779	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12433	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12334	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17155	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 48498	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16422	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12346	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11182	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12409	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11426	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5111	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 278	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16423	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12365	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12350	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12830	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11426	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5111	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 278	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12348	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12444	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12422	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17157	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12357	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12354	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12543	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12549	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12763	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12550	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12359	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11237	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12356	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11422	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12819	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12868	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11242	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12424	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11426	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12801	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12794	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12453	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12268	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12760	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12545	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12763	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12751	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12340	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11422	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7424	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12267	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11237	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12407	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12801	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11238	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11409	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7425	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11421	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12425	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11426	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12763	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2787	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12793	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12794	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12875	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12779	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12540	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11237	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11421	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11424	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7423	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11422	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2787	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12794	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12779	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12760	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12763	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12548	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12362	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11238	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12353	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11422	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12824	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12861	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11242	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12801	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12793	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12779	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12760	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11238	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7425	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12801	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12793	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12876	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12779	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12760	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12406	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12845	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11242	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12772	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12414	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12846	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11242	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12772	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12799	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12338	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12779	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16502	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17212	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12736   ∥ cdvds 16342  ℙcprime 16761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-prm 16762

This theorem is used by: (None)