Theorem 139prmALT 45908

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17007, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16226 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16226 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17007), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17007). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12438	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12440	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12642	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12260	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12647	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12445	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12441	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12446	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12360	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12764	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12758	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12660	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12241	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12647	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12766	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12665	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12330	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12232	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16946	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 45907	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16225	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12243	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11118	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12307	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11356	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5118	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 274	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 322	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16226	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7372	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12262	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12247	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12716	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11356	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5118	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 274	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 322	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12245	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12339	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12320	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 16948	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12254	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12642	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12251	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12437	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12443	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12649	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12444	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12256	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11168	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12253	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11352	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7374	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12705	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12754	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11173	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12322	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11356	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12687	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12680	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12348	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16305	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12173	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12647	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12439	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12642	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12649	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12642	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12237	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11352	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7373	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12172	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11168	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12305	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12687	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11169	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11339	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7374	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11351	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7372	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12323	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11356	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12649	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12679	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12680	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12760	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12665	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16305	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12642	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12434	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11168	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7374	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11351	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11354	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7372	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11352	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12680	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12665	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16305	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12647	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12649	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12442	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12259	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11169	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12250	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11352	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7374	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12710	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12747	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11173	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12687	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12679	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12665	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16305	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12647	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11169	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7374	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12687	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12679	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12761	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12665	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16305	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12647	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12304	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12731	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11173	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12658	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12312	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12732	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11173	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12658	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12685	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12235	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12665	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16305	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17003	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  5c5 12220  6c6 12221  7c7 12222  8c8 12223  9c9 12224  ;cdc 12627   ∥ cdvds 16147  ℙcprime 16558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-rp 12925  df-fz 13435  df-seq 13917  df-exp 13978  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-dvds 16148  df-prm 16559

This theorem is referenced by: (None)