Theorem 139prmALT 46343

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17059, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16278 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16278 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17059), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17059). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12490	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12492	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12694	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12312	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12699	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12497	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12493	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12498	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12412	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12816	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12810	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12712	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12293	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12699	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12818	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12717	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12382	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12284	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16998	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 46342	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16277	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12295	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11170	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12359	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11408	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5156	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 274	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 322	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16278	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12314	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12299	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12768	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11408	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5156	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 274	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 322	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12297	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12391	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12372	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17000	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12306	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12694	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12303	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12489	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12495	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12701	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12496	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12308	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11220	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12305	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11404	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7423	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12757	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12806	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11225	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12374	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11408	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12739	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12732	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12400	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16357	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12225	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12699	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12491	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12694	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12701	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12694	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12289	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11404	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7422	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12224	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11220	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12357	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12739	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11221	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11391	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7423	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11403	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12375	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11408	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12701	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12731	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12732	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12812	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12717	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16357	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12694	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12486	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11220	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7423	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11403	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11406	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11404	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12732	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12717	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16357	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12699	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12701	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12494	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12311	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11221	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12302	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11404	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7423	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12762	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12799	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11225	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12739	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12731	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12717	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16357	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12699	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11221	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7423	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12739	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12731	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12813	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12717	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16357	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12699	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12356	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12783	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11225	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12710	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12364	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12784	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11225	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12710	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12737	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12287	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12717	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16357	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17055	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  5c5 12272  6c6 12273  7c7 12274  8c8 12275  9c9 12276  ;cdc 12679   ∥ cdvds 16199  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-prm 16611

This theorem is referenced by: (None)