Theorem 139prmALT 47070

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17096, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16313 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16313 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17096), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17096). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12521	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12523	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12725	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12343	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12730	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12528	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12524	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12529	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12443	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12847	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12841	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12743	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12324	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12849	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12748	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12413	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12315	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17035	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 47069	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16312	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12326	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11198	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12390	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11438	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5157	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 274	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 322	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16313	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12345	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12330	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12799	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11438	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5157	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 274	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 322	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12328	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12422	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12403	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17037	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12337	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12725	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12334	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12520	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12526	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12732	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12527	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12339	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11250	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12336	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11434	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12788	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12837	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11255	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12405	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11438	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12770	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12763	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12431	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16392	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12256	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12522	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12725	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12732	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12725	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12320	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11434	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12255	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11250	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12388	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12770	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11251	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11421	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11433	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12406	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11438	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12732	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12762	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12763	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12843	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12748	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16392	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12725	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12517	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11250	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11433	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11436	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11434	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12763	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12748	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16392	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12732	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12525	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12342	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11251	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12333	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11434	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12793	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12830	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11255	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12770	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12762	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12748	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16392	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11251	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12770	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12762	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12844	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12748	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16392	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12730	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12387	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12814	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11255	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12741	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12395	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12815	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11255	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12741	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12768	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12318	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12748	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16392	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17092	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  6c6 12304  7c7 12305  8c8 12306  9c9 12307  ;cdc 12710   ∥ cdvds 16234  ℙcprime 16645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-prm 16646

This theorem is referenced by: (None)