Theorem 139prmALT 45106

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 16870, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16087 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16087 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 16870), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 16870). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12295	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12297	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12498	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12117	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12503	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12302	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12298	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12303	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12217	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12620	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12614	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12516	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12098	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12622	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12521	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12187	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12089	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16809	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 45105	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16086	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12100	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 10975	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12164	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11213	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5089	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16087	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7317	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12119	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12104	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12572	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11213	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5089	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12102	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12196	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12177	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 16811	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12111	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12498	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12108	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12294	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12300	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12505	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12301	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12113	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulid1i 11025	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12110	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addid2i 11209	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7319	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12561	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12610	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11030	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12179	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11213	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12543	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12536	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12205	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12030	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12296	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12498	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12505	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12498	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12094	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addid2i 11209	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7318	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12029	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulid1i 11025	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12162	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12543	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mulid2i 11026	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11196	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7319	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addid1i 11208	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7317	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12180	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11213	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12505	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12535	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12536	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12616	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12521	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12498	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12291	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulid1i 11025	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7319	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addid1i 11208	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11211	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7317	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addid2i 11209	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12536	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12521	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12505	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12299	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12116	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mulid2i 11026	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12107	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addid2i 11209	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7319	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12566	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12603	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11030	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12543	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12535	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12521	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mulid2i 11026	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7319	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12543	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12535	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12617	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12521	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12503	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12161	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12587	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11030	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12514	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12169	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12588	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11030	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12514	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12541	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12092	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12521	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16166	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 16866	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  0cc0 10917  1c1 10918   + caddc 10920   · cmul 10922  2c2 12074  3c3 12075  4c4 12076  5c5 12077  6c6 12078  7c7 12079  8c8 12080  9c9 12081  ;cdc 12483   ∥ cdvds 16008  ℙcprime 16421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fz 13286  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-dvds 16009  df-prm 16422

This theorem is referenced by: (None)