Theorem 139prmALT 48650

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17295, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16496 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16496 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17295), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17295). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12615	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12617	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12822	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12434	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12831	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12622	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12618	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12623	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12536	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12950	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12944	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12845	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12415	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12952	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12850	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12504	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12405	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17234	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 48649	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16495	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12417	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11251	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12480	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11495	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5111	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 278	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16496	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7428	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12436	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12421	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12901	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11495	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5111	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 278	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12419	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12515	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12493	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17236	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12428	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12822	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12425	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12614	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12620	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12834	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12621	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12430	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11306	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12427	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11491	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7430	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12890	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12939	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11311	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12495	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11495	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12872	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12865	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12524	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12339	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12616	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12822	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12834	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12822	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12411	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11491	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7429	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12338	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11306	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12478	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12872	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11307	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11478	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7430	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11490	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7428	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12496	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11495	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12834	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12864	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12865	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12946	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12850	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12822	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12611	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11306	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7430	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11490	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11493	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7428	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11491	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12865	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12850	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12834	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12619	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12433	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11307	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12424	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11491	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7430	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12895	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12932	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11311	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12872	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12864	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12850	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11307	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7430	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12872	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12864	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12947	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12850	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12831	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12477	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12916	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11311	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12843	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12485	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12917	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11311	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12843	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12870	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12409	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12850	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16575	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17291	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  5c5 12393  6c6 12394  7c7 12395  8c8 12396  9c9 12397  ;cdc 12807   ∥ cdvds 16415  ℙcprime 16839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-prm 16840

This theorem is used by: (None)