Theorem 139prmALT 47470

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17171, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16381 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16381 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17171), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17171). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12569	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12571	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12391	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12778	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12576	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12572	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12577	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12491	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12895	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12889	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12791	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12372	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12897	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12796	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12461	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12363	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17110	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 47469	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16380	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12374	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11242	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12438	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11482	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5174	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16381	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7458	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12393	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12378	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12847	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11482	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5174	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12376	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12470	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12451	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17112	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12385	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12382	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12568	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12574	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12780	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12575	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12387	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11294	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12384	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11478	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12836	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12885	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11299	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12453	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11482	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12818	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12811	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12479	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12304	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12570	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12780	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12368	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11478	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7459	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12303	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11294	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12436	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12818	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11295	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11465	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7460	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11477	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7458	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12454	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11482	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12780	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2772	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12810	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12811	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12891	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12796	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12773	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12565	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11294	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11477	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11480	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7458	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11478	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2772	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12811	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12796	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12780	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12573	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12390	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11295	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12381	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11478	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12841	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12878	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11299	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12818	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12810	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12796	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11295	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7460	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12818	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12810	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12892	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12796	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12778	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12435	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12862	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11299	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12789	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12443	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12863	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11299	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12789	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12816	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12366	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12796	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16460	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17167	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  7c7 12353  8c8 12354  9c9 12355  ;cdc 12758   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719

This theorem is referenced by: (None)