Theorem 139prmALT 46264

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17057, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16276 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16276 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17057), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17057). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12488	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12490	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12692	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12310	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12697	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12495	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12491	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12496	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12410	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12814	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12808	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12710	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12291	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12816	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12715	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12380	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12282	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 16996	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 46263	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16275	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12293	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11168	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12357	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11406	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5157	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 275	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 323	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16276	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7419	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12312	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12297	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12766	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11406	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5157	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 275	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12295	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12389	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12370	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 16998	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12304	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12692	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12301	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12487	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12493	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12699	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12494	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12306	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11218	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12303	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11402	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7421	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12755	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12804	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11223	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12372	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11406	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12737	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12730	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12398	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16355	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12223	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12489	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12692	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12699	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12692	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12287	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11402	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7420	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12222	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11218	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12355	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12737	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11219	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11389	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7421	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11401	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7419	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12373	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11406	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12699	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12729	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12730	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12810	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12715	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16355	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12692	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12484	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11218	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7421	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11401	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11404	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11402	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12730	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12715	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16355	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12699	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12492	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12309	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11219	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12300	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11402	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7421	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12760	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12797	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11223	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12737	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12729	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12715	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16355	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11219	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7421	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12737	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12729	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12811	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12715	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16355	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12354	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12781	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11223	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12708	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12362	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12782	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11223	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12708	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12735	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12285	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12715	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16355	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17053	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  ;cdc 12677   ∥ cdvds 16197  ℙcprime 16608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-prm 16609

This theorem is referenced by: (None)