Theorem 139prmALT 48381

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17202, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16409 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16409 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17202), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17202). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12531	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12533	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12738	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12350	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12747	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12538	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12534	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12539	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12452	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12866	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12860	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12761	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12331	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12747	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12868	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12766	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12420	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12321	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17141	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 48380	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16408	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12333	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11169	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12396	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11413	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5119	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 278	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16409	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7426	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12352	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12337	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12817	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11413	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5119	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 278	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12335	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12431	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12409	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17143	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12344	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12738	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12341	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12530	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12536	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12750	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12537	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12346	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11224	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12343	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11409	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7428	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12806	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12855	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11229	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12411	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11413	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12788	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12781	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12440	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16488	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12255	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12747	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12532	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12738	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12750	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12738	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12327	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11409	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7427	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12254	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11224	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12394	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12788	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11225	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11396	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7428	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11408	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7426	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12412	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11413	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12750	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12780	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12781	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12862	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12766	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16488	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12738	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12527	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11224	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7428	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11408	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11411	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11409	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12781	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12766	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16488	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12747	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12750	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12535	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12349	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11225	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12340	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11409	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7428	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12811	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12848	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11229	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12788	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12780	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12766	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16488	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12747	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11225	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7428	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12788	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12780	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12863	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12766	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16488	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12747	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12393	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12832	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11229	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12759	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12401	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12833	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11229	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12759	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12786	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12325	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12766	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16488	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17198	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  2c2 12306  3c3 12307  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  7c7 12311  8c8 12312  9c9 12313  ;cdc 12723   ∥ cdvds 16328  ℙcprime 16747

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-dvds 16329  df-prm 16748

This theorem is used by: (None)