Theorem 139prmALT 48775

Description: 139 is a prime number. In contrast to 139prm 17308, the proof of this theorem uses 3dvds2dec 16509 for checking the divisibility by 3. Although the proof using 3dvds2dec 16509 is longer (regarding size: 1849 characters compared with 1809 for 139prm 17308), the number of essential steps is smaller (301 compared with 327 for 139prm 17308). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Revised by AV, 18-Aug-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
139prmALT	⊢ ;;139 ∈ ℙ

Proof of Theorem 139prmALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12626	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		3nn0 12628	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12833	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
4		9nn 12445	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 12842	. 2 ⊢ ;;139 ∈ ℕ
6		8nn0 12633	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 12629	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		9nn0 12634	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
9		1lt8 12547	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		3lt10 12961	. . 3 ⊢ 3 < ;10
11		9lt10 12955	. . 3 ⊢ 9 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 12856	. 2 ⊢ ;;139 < ;;841
13		3nn 12426	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 12842	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
15		1lt10 12963	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 12861	. 2 ⊢ 1 < ;;139
17		4t2e8 12515	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
18		df-9 12416	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
19	3, 7, 17, 18	dec2dvds 17247	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;139
20		3ndvds4 48774	. . . 4 ⊢ ¬ 3 ∥ 4
21	1, 2	3dvdsdec 16508	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ (1 + 3))
22		3cn 12428	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
23		ax-1cn 11262	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		3p1e4 12491	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
25	22, 23, 24	addcomli 11506	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
26	25	breq2i 5110	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 3) ↔ 3 ∥ 4)
27	21, 26	bitri 278	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;13 ↔ 3 ∥ 4)
28	20, 27	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ ;13
29	1, 2, 8	3dvds2dec 16509	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ((1 + 3) + 9))
30	25	oveq1i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 3) + 9) = (4 + 9)
31		9cn 12447	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
32		4cn 12432	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
33		9p4e13 12912	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
34	31, 32, 33	addcomli 11506	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
35	30, 34	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((1 + 3) + 9) = ;13
36	35	breq2i 5110	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((1 + 3) + 9) ↔ 3 ∥ ;13)
37	29, 36	bitri 278	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;139 ↔ 3 ∥ ;13)
38	28, 37	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;139
39		4nn 12430	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
40		4lt5 12526	. . 3 ⊢ 4 < 5
41		5p4e9 12504	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
42	3, 39, 40, 41	dec5dvds2 17249	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;139
43		7nn 12439	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
44	1, 8	deccl 12833	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
45		6nn 12436	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
46		0nn0 12625	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
47		6nn0 12631	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
48		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
49	47	dec0h 12845	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
50		7nn0 12632	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
51		7cn 12441	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
52	51	mulridi 11317	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
53		6cn 12438	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
54	53	addlidi 11502	. . . . . 6 ⊢ (0 + 6) = 6
55	52, 54	oveq12i 7433	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = (7 + 6)
56		7p6e13 12901	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
57	55, 56	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 6)) = ;13
58		9t7e63 12950	. . . . . 6 ⊢ (9 · 7) = ;63
59	31, 51, 58	mulcomli 11322	. . . . 5 ⊢ (7 · 9) = ;63
60		6p3e9 12506	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
61	53, 22, 60	addcomli 11506	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
62	47, 2, 47, 59, 61	decaddi 12883	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 6) = ;69
63	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 57, 62	decma2c 12876	. . 3 ⊢ ((7 · ;19) + 6) = ;;139
64		6lt7 12535	. . 3 ⊢ 6 < 7
65	43, 44, 45, 63, 64	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;139
66		1nn 12350	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
67	1, 66	decnncl 12842	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
68		2nn0 12627	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
69	1, 68	deccl 12833	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
70		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
71	50	dec0h 12845	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
72	1, 1	deccl 12833	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73		2cn 12422	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
74	73	addlidi 11502	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
75	74	oveq2i 7432	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ((;11 · 1) + 2)
76	67	nncni 12349	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
77	76	mulridi 11317	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
78		1p2e3 12489	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
79	1, 1, 68, 77, 78	decaddi 12883	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 2) = ;13
80	75, 79	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 2)) = ;13
81		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
82	73	mullidi 11318	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 2) = 2
83		00id 11489	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
84	82, 83	oveq12i 7433	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
85	73	addridi 11501	. . . . . 6 ⊢ (2 + 0) = 2
86	84, 85	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
87	82	oveq1i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + 7) = (2 + 7)
88		7p2e9 12507	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 2) = 9
89	51, 73, 88	addcomli 11506	. . . . . 6 ⊢ (2 + 7) = 9
90	8	dec0h 12845	. . . . . 6 ⊢ 9 = ;09
91	87, 89, 90	3eqtri 2787	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + 7) = ;09
92	1, 1, 46, 50, 81, 71, 68, 8, 46, 86, 91	decmac 12875	. . . 4 ⊢ ((;11 · 2) + 7) = ;29
93	1, 68, 46, 50, 70, 71, 72, 8, 68, 80, 92	decma2c 12876	. . 3 ⊢ ((;11 · ;12) + 7) = ;;139
94		7lt10 12957	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
95	66, 1, 50, 94	declti 12861	. . 3 ⊢ 7 < ;11
96	67, 69, 43, 93, 95	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;139
97	1, 46	deccl 12833	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
98		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
99	3	nn0cni 12622	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℂ
100	99	mulridi 11317	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 1) = ;13
101	100, 83	oveq12i 7433	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = (;13 + 0)
102	99	addridi 11501	. . . . 5 ⊢ (;13 + 0) = ;13
103	101, 102	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 0)) = ;13
104	99	mul01i 11504	. . . . . 6 ⊢ (;13 · 0) = 0
105	104	oveq1i 7431	. . . . 5 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = (0 + 9)
106	31	addlidi 11502	. . . . 5 ⊢ (0 + 9) = 9
107	105, 106, 90	3eqtri 2787	. . . 4 ⊢ ((;13 · 0) + 9) = ;09
108	1, 46, 46, 8, 98, 90, 3, 8, 46, 103, 107	decma2c 12876	. . 3 ⊢ ((;13 · ;10) + 9) = ;;139
109	66, 2, 8, 11	declti 12861	. . 3 ⊢ 9 < ;13
110	14, 97, 4, 108, 109	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;139
111	1, 43	decnncl 12842	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
112		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
113	2	dec0h 12845	. . . 4 ⊢ 3 = ;03
114		5nn0 12630	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
115		8cn 12444	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
116	115	mullidi 11318	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
117		5cn 12435	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
118	117	addlidi 11502	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
119	116, 118	oveq12i 7433	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = (8 + 5)
120		8p5e13 12906	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
121	119, 120	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (0 + 5)) = ;13
122		8t7e56 12943	. . . . . 6 ⊢ (8 · 7) = ;56
123	115, 51, 122	mulcomli 11322	. . . . 5 ⊢ (7 · 8) = ;56
124	114, 47, 2, 123, 60	decaddi 12883	. . . 4 ⊢ ((7 · 8) + 3) = ;59
125	1, 50, 46, 2, 112, 113, 6, 8, 114, 121, 124	decmac 12875	. . 3 ⊢ ((;17 · 8) + 3) = ;;139
126	66, 50, 2, 10	declti 12861	. . 3 ⊢ 3 < ;17
127	111, 6, 13, 125, 126	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;139
128	1, 4	decnncl 12842	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
129	51	mullidi 11318	. . . . . 6 ⊢ (1 · 7) = 7
130	129, 54	oveq12i 7433	. . . . 5 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = (7 + 6)
131	130, 56	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((1 · 7) + (0 + 6)) = ;13
132	47, 2, 47, 58, 61	decaddi 12883	. . . 4 ⊢ ((9 · 7) + 6) = ;69
133	1, 8, 46, 47, 48, 49, 50, 8, 47, 131, 132	decmac 12875	. . 3 ⊢ ((;19 · 7) + 6) = ;;139
134		6lt10 12958	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
135	66, 8, 47, 134	declti 12861	. . 3 ⊢ 6 < ;19
136	128, 50, 45, 133, 135	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;139
137	68, 13	decnncl 12842	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
138		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
139		2p1e3 12488	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
140		6t2e12 12927	. . . . . 6 ⊢ (6 · 2) = ;12
141	53, 73, 140	mulcomli 11322	. . . . 5 ⊢ (2 · 6) = ;12
142	1, 68, 139, 141	decsuc 12854	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
143		8p1e9 12496	. . . . 5 ⊢ (8 + 1) = 9
144		6t3e18 12928	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
145	53, 22, 144	mulcomli 11322	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
146	1, 6, 143, 145	decsuc 12854	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
147	68, 2, 1, 138, 47, 8, 1, 142, 146	decrmac 12881	. . 3 ⊢ ((;23 · 6) + 1) = ;;139
148		2nn 12420	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
149	148, 2, 1, 15	declti 12861	. . 3 ⊢ 1 < ;23
150	137, 47, 66, 147, 149	ndvdsi 16588	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;139
151	5, 12, 16, 19, 38, 42, 65, 96, 110, 127, 136, 150	prmlem2 17304	1 ⊢ ;;139 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  5c5 12404  6c6 12405  7c7 12406  8c8 12407  9c9 12408  ;cdc 12818   ∥ cdvds 16428  ℙcprime 16852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429  df-prm 16853

This theorem is used by: (None)