Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  631prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 631prm 16511
 Description: 631 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
631prm 631 ∈ ℙ

Proof of Theorem 631prm
StepHypRef Expression
1 6nn0 11948 . . . 4 6 ∈ ℕ0
2 3nn0 11945 . . . 4 3 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12145 . . 3 63 ∈ ℕ0
4 1nn 11678 . . 3 1 ∈ ℕ
53, 4decnncl 12150 . 2 631 ∈ ℕ
6 8nn0 11950 . . 3 8 ∈ ℕ0
7 4nn0 11946 . . 3 4 ∈ ℕ0
8 1nn0 11943 . . 3 1 ∈ ℕ0
9 6lt8 11860 . . 3 6 < 8
10 3lt10 12267 . . 3 3 < 10
11 1lt10 12269 . . 3 1 < 10
121, 6, 2, 7, 8, 8, 9, 10, 113decltc 12163 . 2 631 < 841
13 3nn 11746 . . . 4 3 ∈ ℕ
141, 13decnncl 12150 . . 3 63 ∈ ℕ
1514, 8, 8, 11declti 12168 . 2 1 < 631
16 0nn0 11942 . . 3 0 ∈ ℕ0
17 2cn 11742 . . . 4 2 ∈ ℂ
1817mul02i 10860 . . 3 (0 · 2) = 0
19 1e0p1 12172 . . 3 1 = (0 + 1)
203, 16, 18, 19dec2dvds 16447 . 2 ¬ 2 ∥ 631
21 2nn0 11944 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
2221, 8deccl 12145 . . . 4 21 ∈ ℕ0
2322, 16deccl 12145 . . 3 210 ∈ ℕ0
24 eqid 2759 . . . 4 210 = 210
258dec0h 12152 . . . 4 1 = 01
26 eqid 2759 . . . . 5 21 = 21
27 00id 10846 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
2816dec0h 12152 . . . . . 6 0 = 00
2927, 28eqtri 2782 . . . . 5 (0 + 0) = 00
30 3t2e6 11833 . . . . . . 7 (3 · 2) = 6
3130, 27oveq12i 7163 . . . . . 6 ((3 · 2) + (0 + 0)) = (6 + 0)
32 6cn 11758 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
3332addid1i 10858 . . . . . 6 (6 + 0) = 6
3431, 33eqtri 2782 . . . . 5 ((3 · 2) + (0 + 0)) = 6
35 3t1e3 11832 . . . . . . 7 (3 · 1) = 3
3635oveq1i 7161 . . . . . 6 ((3 · 1) + 0) = (3 + 0)
37 3cn 11748 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
3837addid1i 10858 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
392dec0h 12152 . . . . . 6 3 = 03
4036, 38, 393eqtri 2786 . . . . 5 ((3 · 1) + 0) = 03
4121, 8, 16, 16, 26, 29, 2, 2, 16, 34, 40decma2c 12183 . . . 4 ((3 · 21) + (0 + 0)) = 63
4237mul01i 10861 . . . . . 6 (3 · 0) = 0
4342oveq1i 7161 . . . . 5 ((3 · 0) + 1) = (0 + 1)
44 0p1e1 11789 . . . . 5 (0 + 1) = 1
4543, 44, 253eqtri 2786 . . . 4 ((3 · 0) + 1) = 01
4622, 16, 16, 8, 24, 25, 2, 8, 16, 41, 45decma2c 12183 . . 3 ((3 · 210) + 1) = 631
47 1lt3 11840 . . 3 1 < 3
4813, 23, 4, 46, 47ndvdsi 15806 . 2 ¬ 3 ∥ 631
49 1lt5 11847 . . 3 1 < 5
503, 4, 49dec5dvds 16448 . 2 ¬ 5 ∥ 631
51 7nn 11759 . . 3 7 ∈ ℕ
52 9nn0 11951 . . . 4 9 ∈ ℕ0
5352, 16deccl 12145 . . 3 90 ∈ ℕ0
54 eqid 2759 . . . 4 90 = 90
55 7nn0 11949 . . . 4 7 ∈ ℕ0
5627oveq2i 7162 . . . . 5 ((7 · 9) + (0 + 0)) = ((7 · 9) + 0)
57 9cn 11767 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
58 7cn 11761 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
59 9t7e63 12257 . . . . . . 7 (9 · 7) = 63
6057, 58, 59mulcomli 10681 . . . . . 6 (7 · 9) = 63
6160oveq1i 7161 . . . . 5 ((7 · 9) + 0) = (63 + 0)
623nn0cni 11939 . . . . . 6 63 ∈ ℂ
6362addid1i 10858 . . . . 5 (63 + 0) = 63
6456, 61, 633eqtri 2786 . . . 4 ((7 · 9) + (0 + 0)) = 63
6558mul01i 10861 . . . . . 6 (7 · 0) = 0
6665oveq1i 7161 . . . . 5 ((7 · 0) + 1) = (0 + 1)
6766, 44, 253eqtri 2786 . . . 4 ((7 · 0) + 1) = 01
6852, 16, 16, 8, 54, 25, 55, 8, 16, 64, 67decma2c 12183 . . 3 ((7 · 90) + 1) = 631
69 1lt7 11858 . . 3 1 < 7
7051, 53, 4, 68, 69ndvdsi 15806 . 2 ¬ 7 ∥ 631
718, 4decnncl 12150 . . 3 11 ∈ ℕ
72 5nn0 11947 . . . 4 5 ∈ ℕ0
7372, 55deccl 12145 . . 3 57 ∈ ℕ0
74 4nn 11750 . . 3 4 ∈ ℕ
75 eqid 2759 . . . 4 57 = 57
767dec0h 12152 . . . 4 4 = 04
778, 8deccl 12145 . . . 4 11 ∈ ℕ0
78 eqid 2759 . . . . 5 11 = 11
79 8cn 11764 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
8079addid2i 10859 . . . . . 6 (0 + 8) = 8
816dec0h 12152 . . . . . 6 8 = 08
8280, 81eqtri 2782 . . . . 5 (0 + 8) = 08
83 5cn 11755 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
8483mulid2i 10677 . . . . . . 7 (1 · 5) = 5
8584, 44oveq12i 7163 . . . . . 6 ((1 · 5) + (0 + 1)) = (5 + 1)
86 5p1e6 11814 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
8785, 86eqtri 2782 . . . . 5 ((1 · 5) + (0 + 1)) = 6
8884oveq1i 7161 . . . . . 6 ((1 · 5) + 8) = (5 + 8)
89 8p5e13 12213 . . . . . . 7 (8 + 5) = 13
9079, 83, 89addcomli 10863 . . . . . 6 (5 + 8) = 13
9188, 90eqtri 2782 . . . . 5 ((1 · 5) + 8) = 13
928, 8, 16, 6, 78, 82, 72, 2, 8, 87, 91decmac 12182 . . . 4 ((11 · 5) + (0 + 8)) = 63
9358mulid2i 10677 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
9493, 44oveq12i 7163 . . . . . 6 ((1 · 7) + (0 + 1)) = (7 + 1)
95 7p1e8 11816 . . . . . 6 (7 + 1) = 8
9694, 95eqtri 2782 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 1)) = 8
9793oveq1i 7161 . . . . . 6 ((1 · 7) + 4) = (7 + 4)
98 7p4e11 12206 . . . . . 6 (7 + 4) = 11
9997, 98eqtri 2782 . . . . 5 ((1 · 7) + 4) = 11
1008, 8, 16, 7, 78, 76, 55, 8, 8, 96, 99decmac 12182 . . . 4 ((11 · 7) + 4) = 81
10172, 55, 16, 7, 75, 76, 77, 8, 6, 92, 100decma2c 12183 . . 3 ((11 · 57) + 4) = 631
102 4lt10 12266 . . . 4 4 < 10
1034, 8, 7, 102declti 12168 . . 3 4 < 11
10471, 73, 74, 101, 103ndvdsi 15806 . 2 ¬ 11 ∥ 631
1058, 13decnncl 12150 . . 3 13 ∈ ℕ
1067, 6deccl 12145 . . 3 48 ∈ ℕ0
107 eqid 2759 . . . 4 48 = 48
10855dec0h 12152 . . . 4 7 = 07
1098, 2deccl 12145 . . . 4 13 ∈ ℕ0
110 eqid 2759 . . . . 5 13 = 13
11177nn0cni 11939 . . . . . 6 11 ∈ ℂ
112111addid2i 10859 . . . . 5 (0 + 11) = 11
113 4cn 11752 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
114113mulid2i 10677 . . . . . . 7 (1 · 4) = 4
115 1p1e2 11792 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
116114, 115oveq12i 7163 . . . . . 6 ((1 · 4) + (1 + 1)) = (4 + 2)
117 4p2e6 11820 . . . . . 6 (4 + 2) = 6
118116, 117eqtri 2782 . . . . 5 ((1 · 4) + (1 + 1)) = 6
119 4t3e12 12228 . . . . . . 7 (4 · 3) = 12
120113, 37, 119mulcomli 10681 . . . . . 6 (3 · 4) = 12
121 2p1e3 11809 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
1228, 21, 8, 120, 121decaddi 12190 . . . . 5 ((3 · 4) + 1) = 13
1238, 2, 8, 8, 110, 112, 7, 2, 8, 118, 122decmac 12182 . . . 4 ((13 · 4) + (0 + 11)) = 63
12479mulid2i 10677 . . . . . . 7 (1 · 8) = 8
12537addid2i 10859 . . . . . . 7 (0 + 3) = 3
126124, 125oveq12i 7163 . . . . . 6 ((1 · 8) + (0 + 3)) = (8 + 3)
127 8p3e11 12211 . . . . . 6 (8 + 3) = 11
128126, 127eqtri 2782 . . . . 5 ((1 · 8) + (0 + 3)) = 11
129 8t3e24 12246 . . . . . . 7 (8 · 3) = 24
13079, 37, 129mulcomli 10681 . . . . . 6 (3 · 8) = 24
13158, 113, 98addcomli 10863 . . . . . 6 (4 + 7) = 11
13221, 7, 55, 130, 121, 8, 131decaddci 12191 . . . . 5 ((3 · 8) + 7) = 31
1338, 2, 16, 55, 110, 108, 6, 8, 2, 128, 132decmac 12182 . . . 4 ((13 · 8) + 7) = 111
1347, 6, 16, 55, 107, 108, 109, 8, 77, 123, 133decma2c 12183 . . 3 ((13 · 48) + 7) = 631
135 7lt10 12263 . . . 4 7 < 10
1364, 2, 55, 135declti 12168 . . 3 7 < 13
137105, 106, 51, 134, 136ndvdsi 15806 . 2 ¬ 13 ∥ 631
1388, 51decnncl 12150 . . 3 17 ∈ ℕ
1392, 55deccl 12145 . . 3 37 ∈ ℕ0
140 2nn 11740 . . 3 2 ∈ ℕ
141 eqid 2759 . . . 4 37 = 37
14221dec0h 12152 . . . 4 2 = 02
1438, 55deccl 12145 . . . 4 17 ∈ ℕ0
1448, 21deccl 12145 . . . 4 12 ∈ ℕ0
145 eqid 2759 . . . . 5 17 = 17
146144nn0cni 11939 . . . . . 6 12 ∈ ℂ
147146addid2i 10859 . . . . 5 (0 + 12) = 12
14837mulid2i 10677 . . . . . . 7 (1 · 3) = 3
149 1p2e3 11810 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
150148, 149oveq12i 7163 . . . . . 6 ((1 · 3) + (1 + 2)) = (3 + 3)
151 3p3e6 11819 . . . . . 6 (3 + 3) = 6
152150, 151eqtri 2782 . . . . 5 ((1 · 3) + (1 + 2)) = 6
153 7t3e21 12240 . . . . . 6 (7 · 3) = 21
15421, 8, 21, 153, 149decaddi 12190 . . . . 5 ((7 · 3) + 2) = 23
1558, 55, 8, 21, 145, 147, 2, 2, 21, 152, 154decmac 12182 . . . 4 ((17 · 3) + (0 + 12)) = 63
15683addid2i 10859 . . . . . . 7 (0 + 5) = 5
15793, 156oveq12i 7163 . . . . . 6 ((1 · 7) + (0 + 5)) = (7 + 5)
158 7p5e12 12207 . . . . . 6 (7 + 5) = 12
159157, 158eqtri 2782 . . . . 5 ((1 · 7) + (0 + 5)) = 12
160 7t7e49 12244 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
161 4p1e5 11813 . . . . . 6 (4 + 1) = 5
162 9p2e11 12217 . . . . . 6 (9 + 2) = 11
1637, 52, 21, 160, 161, 8, 162decaddci 12191 . . . . 5 ((7 · 7) + 2) = 51
1648, 55, 16, 21, 145, 142, 55, 8, 72, 159, 163decmac 12182 . . . 4 ((17 · 7) + 2) = 121
1652, 55, 16, 21, 141, 142, 143, 8, 144, 155, 164decma2c 12183 . . 3 ((17 · 37) + 2) = 631
166 2lt10 12268 . . . 4 2 < 10
1674, 55, 21, 166declti 12168 . . 3 2 < 17
168138, 139, 140, 165, 167ndvdsi 15806 . 2 ¬ 17 ∥ 631
169 9nn 11765 . . . 4 9 ∈ ℕ
1708, 169decnncl 12150 . . 3 19 ∈ ℕ
1712, 2deccl 12145 . . 3 33 ∈ ℕ0
172 eqid 2759 . . . 4 33 = 33
1738, 52deccl 12145 . . . 4 19 ∈ ℕ0
174 eqid 2759 . . . . 5 19 = 19
17532addid2i 10859 . . . . . 6 (0 + 6) = 6
1761dec0h 12152 . . . . . 6 6 = 06
177175, 176eqtri 2782 . . . . 5 (0 + 6) = 06
178148, 125oveq12i 7163 . . . . . 6 ((1 · 3) + (0 + 3)) = (3 + 3)
179178, 151eqtri 2782 . . . . 5 ((1 · 3) + (0 + 3)) = 6
180 9t3e27 12253 . . . . . 6 (9 · 3) = 27
181 7p6e13 12208 . . . . . 6 (7 + 6) = 13
18221, 55, 1, 180, 121, 2, 181decaddci 12191 . . . . 5 ((9 · 3) + 6) = 33
1838, 52, 16, 1, 174, 177, 2, 2, 2, 179, 182decmac 12182 . . . 4 ((19 · 3) + (0 + 6)) = 63
18421, 55, 7, 180, 121, 8, 98decaddci 12191 . . . . 5 ((9 · 3) + 4) = 31
1858, 52, 16, 7, 174, 76, 2, 8, 2, 179, 184decmac 12182 . . . 4 ((19 · 3) + 4) = 61
1862, 2, 16, 7, 172, 76, 173, 8, 1, 183, 185decma2c 12183 . . 3 ((19 · 33) + 4) = 631
1874, 52, 7, 102declti 12168 . . 3 4 < 19
188170, 171, 74, 186, 187ndvdsi 15806 . 2 ¬ 19 ∥ 631
18921, 13decnncl 12150 . . 3 23 ∈ ℕ
19021, 55deccl 12145 . . 3 27 ∈ ℕ0
191 10nn 12146 . . 3 10 ∈ ℕ
192 eqid 2759 . . . 4 27 = 27
193 eqid 2759 . . . 4 10 = 10
19421, 2deccl 12145 . . . 4 23 ∈ ℕ0
1958, 1deccl 12145 . . . 4 16 ∈ ℕ0
196 eqid 2759 . . . . 5 23 = 23
197 eqid 2759 . . . . . 6 16 = 16
198 ax-1cn 10626 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
199 6p1e7 11815 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
20032, 198, 199addcomli 10863 . . . . . 6 (1 + 6) = 7
20116, 8, 8, 1, 25, 197, 44, 200decadd 12184 . . . . 5 (1 + 16) = 17
202 2t2e4 11831 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
203202, 115oveq12i 7163 . . . . . 6 ((2 · 2) + (1 + 1)) = (4 + 2)
204203, 117eqtri 2782 . . . . 5 ((2 · 2) + (1 + 1)) = 6
20530oveq1i 7161 . . . . . 6 ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
20658, 32, 181addcomli 10863 . . . . . 6 (6 + 7) = 13
207205, 206eqtri 2782 . . . . 5 ((3 · 2) + 7) = 13
20821, 2, 8, 55, 196, 201, 21, 2, 8, 204, 207decmac 12182 . . . 4 ((23 · 2) + (1 + 16)) = 63
209 7t2e14 12239 . . . . . . . . 9 (7 · 2) = 14
21058, 17, 209mulcomli 10681 . . . . . . . 8 (2 · 7) = 14
2118, 7, 21, 210, 117decaddi 12190 . . . . . . 7 ((2 · 7) + 2) = 16
21258, 37, 153mulcomli 10681 . . . . . . 7 (3 · 7) = 21
21355, 21, 2, 196, 8, 21, 211, 212decmul1c 12195 . . . . . 6 (23 · 7) = 161
214213oveq1i 7161 . . . . 5 ((23 · 7) + 0) = (161 + 0)
215195, 8deccl 12145 . . . . . . 7 161 ∈ ℕ0
216215nn0cni 11939 . . . . . 6 161 ∈ ℂ
217216addid1i 10858 . . . . 5 (161 + 0) = 161
218214, 217eqtri 2782 . . . 4 ((23 · 7) + 0) = 161
21921, 55, 8, 16, 192, 193, 194, 8, 195, 208, 218decma2c 12183 . . 3 ((23 · 27) + 10) = 631
220 10pos 12147 . . . 4 0 < 10
221 1lt2 11838 . . . 4 1 < 2
2228, 21, 16, 2, 220, 221decltc 12159 . . 3 10 < 23
223189, 190, 191, 219, 222ndvdsi 15806 . 2 ¬ 23 ∥ 631
2245, 12, 15, 20, 48, 50, 70, 104, 137, 168, 188, 223prmlem2 16504 1 631 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7151  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571   · cmul 10573  2c2 11722  3c3 11723  4c4 11724  5c5 11725  6c6 11726  7c7 11727  8c8 11728  9c9 11729  ;cdc 12130  ℙcprime 16060 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8932  df-inf 8933  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-rp 12424  df-fz 12933  df-seq 13412  df-exp 13473  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-dvds 15649  df-prm 16061 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator