Theorem 3wlkdlem8 30650

Description: Lemma 8 for 3wlkd 30653. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem8	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾 ∧ (𝐹‘2) = 𝐿))

Proof of Theorem 3wlkdlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4		3wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
5		3wlkd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6	1, 2, 3, 4, 5	3wlkdlem7 30649	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V))
7		s3fv0 14965	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽)
8		s3fv1 14966	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾)
9		s3fv2 14967	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿)
10	7, 8, 9	3anim123i 1169	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V) → ((⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿))
11	6, 10	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿))
12	2	fveq1i 6880	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0)
13	12	eqeq1i 2765	. . 3 ⊢ ((𝐹‘0) = 𝐽 ↔ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽)
14	2	fveq1i 6880	. . . 4 ⊢ (𝐹‘1) = (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1)
15	14	eqeq1i 2765	. . 3 ⊢ ((𝐹‘1) = 𝐾 ↔ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾)
16	2	fveq1i 6880	. . . 4 ⊢ (𝐹‘2) = (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2)
17	16	eqeq1i 2765	. . 3 ⊢ ((𝐹‘2) = 𝐿 ↔ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿)
18	13, 15, 17	3anbi123i 1173	. 2 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾 ∧ (𝐹‘2) = 𝐿) ↔ ((⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿))
19	11, 18	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾 ∧ (𝐹‘2) = 𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  {cpr 4586  ‘cfv 6533  0cc0 11127  1c1 11128  2c2 12322  ⟨“cs3 14916  ⟨“cs4 14917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-concat 14639  df-s1 14666  df-s2 14922  df-s3 14923  df-s4 14924

This theorem is used by:  3wlkdlem9  30651