Theorem 3wlkdlem8 29687

Description: Lemma 8 for 3wlkd 29690. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem8	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾 ∧ (𝐹‘2) = 𝐿))

Proof of Theorem 3wlkdlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4		3wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
5		3wlkd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6	1, 2, 3, 4, 5	3wlkdlem7 29686	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V))
7		s3fv0 14846	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽)
8		s3fv1 14847	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾)
9		s3fv2 14848	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿)
10	7, 8, 9	3anim123i 1149	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V) → ((⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿))
11	6, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿))
12	2	fveq1i 6891	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0)
13	12	eqeq1i 2735	. . 3 ⊢ ((𝐹‘0) = 𝐽 ↔ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽)
14	2	fveq1i 6891	. . . 4 ⊢ (𝐹‘1) = (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1)
15	14	eqeq1i 2735	. . 3 ⊢ ((𝐹‘1) = 𝐾 ↔ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾)
16	2	fveq1i 6891	. . . 4 ⊢ (𝐹‘2) = (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2)
17	16	eqeq1i 2735	. . 3 ⊢ ((𝐹‘2) = 𝐿 ↔ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿)
18	13, 15, 17	3anbi123i 1153	. 2 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾 ∧ (𝐹‘2) = 𝐿) ↔ ((⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿))
19	11, 18	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾 ∧ (𝐹‘2) = 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  Vcvv 3472   ⊆ wss 3947  {cpr 4629  ‘cfv 6542  0cc0 11112  1c1 11113  2c2 12271  ⟨“cs3 14797  ⟨“cs4 14798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-s4 14805

This theorem is referenced by:  3wlkdlem9  29688