Theorem 3wlkdlem8 29208

Description: Lemma 8 for 3wlkd 29211. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Nov-2017.) (Revised by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3wlkd.s	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
3wlkd.n	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
3wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))

Assertion

Ref	Expression
3wlkdlem8	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾 ∧ (𝐹‘2) = 𝐿))

Proof of Theorem 3wlkdlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2		3wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3		3wlkd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)))
4		3wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
5		3wlkd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼‘𝐿)))
6	1, 2, 3, 4, 5	3wlkdlem7 29207	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V))
7		s3fv0 14807	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽)
8		s3fv1 14808	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾)
9		s3fv2 14809	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿)
10	7, 8, 9	3anim123i 1151	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V) → ((⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿))
11	6, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿))
12	2	fveq1i 6863	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0)
13	12	eqeq1i 2736	. . 3 ⊢ ((𝐹‘0) = 𝐽 ↔ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽)
14	2	fveq1i 6863	. . . 4 ⊢ (𝐹‘1) = (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1)
15	14	eqeq1i 2736	. . 3 ⊢ ((𝐹‘1) = 𝐾 ↔ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾)
16	2	fveq1i 6863	. . . 4 ⊢ (𝐹‘2) = (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2)
17	16	eqeq1i 2736	. . 3 ⊢ ((𝐹‘2) = 𝐿 ↔ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿)
18	13, 15, 17	3anbi123i 1155	. 2 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾 ∧ (𝐹‘2) = 𝐿) ↔ ((⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘1) = 𝐾 ∧ (⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩‘2) = 𝐿))
19	11, 18	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾 ∧ (𝐹‘2) = 𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  Vcvv 3459   ⊆ wss 3928  {cpr 4608  ‘cfv 6516  0cc0 11075  1c1 11076  2c2 12232  ⟨“cs3 14758  ⟨“cs4 14759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-hash 14256  df-word 14430  df-concat 14486  df-s1 14511  df-s2 14764  df-s3 14765  df-s4 14766

This theorem is referenced by:  3wlkdlem9  29209