Theorem addlenpfx 14641

Description: The sum of the lengths of two parts of a word is the length of the word. (Contributed by AV, 21-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addlenpfx	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩))) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem addlenpfx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxlen 14633	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
2		swrdrlen 14609	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩)) = ((♯‘𝑊) − 𝑀))
3	1, 2	oveq12d 7427	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩))) = (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀)))
4		elfznn0 13594	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5	4	nn0cnd 12534	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑀 ∈ ℂ)
6		lencl 14483	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12534	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
8		pncan3 11468	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℂ) → (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀)) = (♯‘𝑊))
9	5, 7, 8	syl2anr 598	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑀 + ((♯‘𝑊) − 𝑀)) = (♯‘𝑊))
10	3, 9	eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) + (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, (♯‘𝑊)⟩))) = (♯‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4635  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113   − cmin 11444  ...cfz 13484  ♯chash 14290  Word cword 14464   substr csubstr 14590   prefix cpfx 14620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-substr 14591  df-pfx 14621

This theorem is referenced by: (None)