Theorem pfxlen 14709

Description: Length of a prefix. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxlen	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = 𝐿)

Proof of Theorem pfxlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxfn 14707	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
2		hashfn 14399	. . 3 ⊢ ((𝑆 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = (♯‘(0..^𝐿)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = (♯‘(0..^𝐿)))
4		elfznn0 13636	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
5	4	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		hashfzo0 14455	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐿)) = 𝐿)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(0..^𝐿)) = 𝐿)
8	3, 7	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   Fn wfn 6520  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  ℕ₀cn0 12492  ...cfz 13523  ..^cfzo 13670  ♯chash 14354  Word cword 14538   prefix cpfx 14696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355  df-word 14539  df-substr 14667  df-pfx 14697

This theorem is referenced by:  addlenpfx  14716  pfxfvlsw  14720  pfxeq  14721  ccatpfx  14726  lenrevpfxcctswrd  14737  wrdind  14747  wrd2ind  14748  pfxccatin12  14758  spllen  14779  splfv1  14780  splfv2a  14781  splval2  14782  repswpfx  14810  cshwlen  14824  cshwidxmod  14828  pfx2  14972  pfxchn  18654  chnlt  18667  efgsres  19796  efgredleme  19801  efgredlemd  19802  efgredlemc  19803  efgredlem  19805  efgcpbllemb  19813  wlkres  29923  trlreslem  29952  wwlksm1edg  30135  wwlksnred  30146  wwlksnextproplem3  30165  clwlkclwwlk  30258  clwwlkinwwlk  30296  clwwlkf  30303  wwlksubclwwlk  30314  clwlknf1oclwwlknlem1  30337  pfxlsw2ccat  33178  wrdt2ind  33181  splfv3  33186  gsumwrd2dccatlem  33305  cycpmco2lem2  33355  cycpmco2lem3  33356  cycpmco2lem4  33357  cycpmco2lem5  33358  cycpmco2lem6  33359  cycpmco2  33361  1arithidomlem1  33737  signstfveq0  34876  revpfxsfxrev  35473  swrdrevpfx  35474  pfxwlk  35482  swrdwlk  35485  chnerlem2  47458