Theorem pfxlen 14704

Description: Length of a prefix. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxlen	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = 𝐿)

Proof of Theorem pfxlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxfn 14702	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
2		hashfn 14397	. . 3 ⊢ ((𝑆 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = (♯‘(0..^𝐿)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = (♯‘(0..^𝐿)))
4		elfznn0 13643	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		hashfzo0 14452	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐿)) = 𝐿)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(0..^𝐿)) = 𝐿)
8	3, 7	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   Fn wfn 6537  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11138  ℕ₀cn0 12510  ...cfz 13530  ..^cfzo 13677  ♯chash 14352  Word cword 14535   prefix cpfx 14691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-hash 14353  df-word 14536  df-substr 14662  df-pfx 14692

This theorem is referenced by:  addlenrevpfx  14711  addlenpfx  14712  pfxfvlsw  14716  pfxeq  14717  ccatpfx  14722  wrdind  14743  wrd2ind  14744  pfxccatin12  14754  spllen  14775  splfv1  14776  splfv2a  14777  splval2  14778  repswpfx  14806  cshwlen  14820  cshwidxmod  14824  pfx2  14969  efgsres  19729  efgredleme  19734  efgredlemd  19735  efgredlemc  19736  efgredlem  19738  efgcpbllemb  19746  wlkres  29635  trlreslem  29664  wwlksm1edg  29848  wwlksnred  29859  wwlksnextproplem3  29878  clwlkclwwlk  29968  clwwlkinwwlk  30006  clwwlkf  30013  wwlksubclwwlk  30024  clwlknf1oclwwlknlem1  30047  pfxlsw2ccat  32882  wrdt2ind  32885  splfv3  32890  pfxchn  32945  chnlt  32949  gsumwrd2dccatlem  33015  cycpmco2lem2  33093  cycpmco2lem3  33094  cycpmco2lem4  33095  cycpmco2lem5  33096  cycpmco2lem6  33097  cycpmco2  33099  1arithidomlem1  33504  signstfveq0  34533  revpfxsfxrev  35062  swrdrevpfx  35063  pfxwlk  35070  swrdwlk  35073