Theorem pfxlen 14396

Description: Length of a prefix. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxlen	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = 𝐿)

Proof of Theorem pfxlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxfn 14394	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
2		hashfn 14090	. . 3 ⊢ ((𝑆 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = (♯‘(0..^𝐿)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = (♯‘(0..^𝐿)))
4		elfznn0 13349	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
5	4	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		hashfzo0 14145	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐿)) = 𝐿)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(0..^𝐿)) = 𝐿)
8	3, 7	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217   prefix cpfx 14383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-substr 14354  df-pfx 14384

This theorem is referenced by:  addlenrevpfx  14403  addlenpfx  14404  pfxfvlsw  14408  pfxeq  14409  ccatpfx  14414  wrdind  14435  wrd2ind  14436  pfxccatin12  14446  spllen  14467  splfv1  14468  splfv2a  14469  splval2  14470  repswpfx  14498  cshwlen  14512  cshwidxmod  14516  pfx2  14660  efgsres  19344  efgredleme  19349  efgredlemd  19350  efgredlemc  19351  efgredlem  19353  efgcpbllemb  19361  wlkres  28038  trlreslem  28067  wwlksm1edg  28246  wwlksnred  28257  wwlksnextproplem3  28276  clwlkclwwlk  28366  clwwlkinwwlk  28404  clwwlkf  28411  wwlksubclwwlk  28422  clwlknf1oclwwlknlem1  28445  pfxlsw2ccat  31224  wrdt2ind  31225  splfv3  31230  cycpmco2lem2  31394  cycpmco2lem3  31395  cycpmco2lem4  31396  cycpmco2lem5  31397  cycpmco2lem6  31398  cycpmco2  31400  signstfveq0  32556  revpfxsfxrev  33077  swrdrevpfx  33078  pfxwlk  33085  swrdwlk  33088