Theorem pfxlen 14044

Description: Length of a prefix. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxlen	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = 𝐿)

Proof of Theorem pfxlen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxfn 14042	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿))
2		hashfn 13735	. . 3 ⊢ ((𝑆 prefix 𝐿) Fn (0..^𝐿) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = (♯‘(0..^𝐿)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = (♯‘(0..^𝐿)))
4		elfznn0 12999	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
5	4	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℕ0)
6		hashfzo0 13790	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝐿)) = 𝐿)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(0..^𝐿)) = 𝐿)
8	3, 7	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐿)) = 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   Fn wfn 6349  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  0cc0 10536  ℕ₀cn0 11896  ...cfz 12891  ..^cfzo 13032  ♯chash 13689  Word cword 13860   prefix cpfx 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-hash 13690  df-word 13861  df-substr 14002  df-pfx 14032

This theorem is referenced by:  addlenrevpfx  14051  addlenpfx  14052  pfxfvlsw  14056  pfxeq  14057  ccatpfx  14062  wrdind  14083  wrd2ind  14084  pfxccatin12  14094  spllen  14115  splfv1  14116  splfv2a  14117  splval2  14118  repswpfx  14146  cshwlen  14160  cshwidxmod  14164  pfx2  14308  efgsres  18863  efgredleme  18868  efgredlemd  18869  efgredlemc  18870  efgredlem  18872  efgcpbllemb  18880  wlkres  27451  trlreslem  27480  wwlksm1edg  27658  wwlksnred  27669  wwlksnextproplem3  27689  clwlkclwwlk  27779  clwwlkinwwlk  27817  clwwlkf  27825  wwlksubclwwlk  27836  clwlknf1oclwwlknlem1  27859  pfxlsw2ccat  30626  wrdt2ind  30627  splfv3  30632  cycpmco2lem2  30769  cycpmco2lem3  30770  cycpmco2lem4  30771  cycpmco2lem5  30772  cycpmco2lem6  30773  cycpmco2  30775  signstfveq0  31847  revpfxsfxrev  32362  swrdrevpfx  32363  pfxwlk  32370  swrdwlk  32373