Theorem pfxfv0 14596

Description: The first symbol of a prefix is the first symbol of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxfv0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem pfxfv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		fz1ssfz0 13520	. . . 4 ⊢ (1...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
3	2	sseli 3930	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5		elfznn 13450	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ ℕ)
7		lbfzo0 13596	. . 3 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐿 ∈ ℕ)
8	6, 7	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 0 ∈ (0..^𝐿))
9		pfxfv 14587	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘0) = (𝑊‘0))
10	1, 4, 8, 9	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘0) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  1c1 11004  ℕcn 12122  ...cfz 13404  ..^cfzo 13551  ♯chash 14234  Word cword 14417   prefix cpfx 14575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-hash 14235  df-word 14418  df-substr 14546  df-pfx 14576

This theorem is referenced by:  wwlksnredwwlkn0  29872  wwlksnextproplem1  29885  clwwlkinwwlk  30015  clwwlkf  30022  clwwlkvbij  30088  2clwwlklem  30318  clwwlknonclwlknonf1o  30337  numclwlk2lem2f  30352  cycpmco2lem4  33093  cycpmco2lem5  33094