Theorem ply1ascl0 22197

Description: The zero scalar as a polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ascl0.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
ply1ascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ply1ascl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
ply1ascl0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
ply1ascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ply1ascl0	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 0 )

Proof of Theorem ply1ascl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ascl0.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
2		ply1ascl0.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ply1ascl0.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1sca 22195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
6	5	fveq2d 6837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	1, 6	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	fveq2d 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝑂) = ((algSc‘𝑊)‘(0g‘(Scalar‘𝑊))))
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11	3	ply1lmod 22194	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
12	2, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13	3	ply1ring 22190	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
15	9, 10, 12, 14	ascl0 21842	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘𝑊))
16	8, 15	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝑂) = (0g‘𝑊))
17		ply1ascl0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
18	17	fveq1i 6834	. 2 ⊢ (𝐴‘𝑂) = ((algSc‘𝑊)‘𝑂)
19		ply1ascl0.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
20	16, 18, 19	3eqtr4g 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6491  Scalarcsca 17182  0_gc0g 17361  Ringcrg 20170  LModclmod 20813  algSccascl 21809  Poly₁cpl1 22119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-ascl 21812  df-psr 21867  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-psr1 22122  df-ply1 22124

This theorem is referenced by:  ressply10g  33627  deg1le0eq0  33633  aks6d1c1  42405