Theorem ply1ascl0 22277

Description: The zero scalar as a polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ascl0.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
ply1ascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ply1ascl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
ply1ascl0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
ply1ascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ply1ascl0	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 0 )

Proof of Theorem ply1ascl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ascl0.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
2		ply1ascl0.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ply1ascl0.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1sca 22275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
6	5	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	1, 6	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝑂) = ((algSc‘𝑊)‘(0g‘(Scalar‘𝑊))))
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11	3	ply1lmod 22274	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
12	2, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13	3	ply1ring 22270	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
15	9, 10, 12, 14	ascl0 21927	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘𝑊))
16	8, 15	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝑂) = (0g‘𝑊))
17		ply1ascl0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
18	17	fveq1i 6921	. 2 ⊢ (𝐴‘𝑂) = ((algSc‘𝑊)‘𝑂)
19		ply1ascl0.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
20	16, 18, 19	3eqtr4g 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  Scalarcsca 17314  0_gc0g 17499  Ringcrg 20260  LModclmod 20880  algSccascl 21895  Poly₁cpl1 22199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-ply1 22204

This theorem is referenced by:  ressply10g  33557  deg1le0eq0  33563  aks6d1c1  42073