Theorem ply1ascl0 22190

Description: The zero scalar as a polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ascl0.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
ply1ascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ply1ascl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
ply1ascl0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
ply1ascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ply1ascl0	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 0 )

Proof of Theorem ply1ascl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ascl0.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
2		ply1ascl0.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ply1ascl0.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1sca 22188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
6	5	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	1, 6	eqtrid 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝑂) = ((algSc‘𝑊)‘(0g‘(Scalar‘𝑊))))
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11	3	ply1lmod 22187	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
12	2, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13	3	ply1ring 22183	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
14	2, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
15	9, 10, 12, 14	ascl0 21844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘𝑊))
16	8, 15	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝑂) = (0g‘𝑊))
17		ply1ascl0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
18	17	fveq1i 6877	. 2 ⊢ (𝐴‘𝑂) = ((algSc‘𝑊)‘𝑂)
19		ply1ascl0.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
20	16, 18, 19	3eqtr4g 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  Scalarcsca 17274  0_gc0g 17453  Ringcrg 20193  LModclmod 20817  algSccascl 21812  Poly₁cpl1 22112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-ascl 21815  df-psr 21869  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22115  df-ply1 22117

This theorem is referenced by:  ressply10g  33580  deg1le0eq0  33586  aks6d1c1  42129