Theorem ply1ascl0 22480

Description: The zero scalar as a polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ascl0.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
ply1ascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ply1ascl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
ply1ascl0.1	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
ply1ascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ply1ascl0	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 0 )

Proof of Theorem ply1ascl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ascl0.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
2		ply1ascl0.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		ply1ascl0.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
4	3	ply1sca 22478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
5	2, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
6	5	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	1, 6	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝑂) = ((algSc‘𝑊)‘(0g‘(Scalar‘𝑊))))
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
10		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11	3	ply1lmod 22477	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13	3	ply1ring 22473	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
14	2, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
15	9, 10, 12, 14	ascl0 22100	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘𝑊))
16	8, 15	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝑂) = (0g‘𝑊))
17		ply1ascl0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
18	17	fveq1i 6883	. 2 ⊢ (𝐴‘𝑂) = ((algSc‘𝑊)‘𝑂)
19		ply1ascl0.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
20	16, 18, 19	3eqtr4g 2822	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  Scalarcsca 17349  0_gc0g 17528  Ringcrg 20373  LModclmod 21045  algSccascl 22068  Poly₁cpl1 22403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-ply1 22408

This theorem is used by:  ressply10g  33964  deg1le0eq0  33970  aks6d1c1  42969