Theorem ply1scl0 21058

Description: The zero scalar is zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1scl0.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1scl0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = 𝑌)

Proof of Theorem ply1scl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		ply1scl0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 19434	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4		ply1scl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		ply1scl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1sca2 21022	. . . 4 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
7		df-base 16585	. . . . 5 ⊢ Base = Slot 1
8	7, 1	strfvi 16633	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
11	4, 6, 8, 9, 10	asclval 20686	. . 3 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐴‘ 0 ) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
12	3, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
13		fvi 6738	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
14	13	fveq2d 6672	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘( I ‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	2, 14	eqtr4id 2792	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (0g‘( I ‘𝑅)))
16	15	oveq1d 7179	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)) = ((0g‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)))
17	5	ply1lmod 21020	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
18	5	ply1ring 21016	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
20	19, 10	ringidcl 19433	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
22		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘( I ‘𝑅)) = (0g‘( I ‘𝑅))
23		ply1scl0.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝑃)
24	19, 6, 9, 22, 23	lmod0vs 19779	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑌)
25	17, 21, 24	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)(1r‘𝑃)) = 𝑌)
26	12, 16, 25	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 0 ) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   I cid 5424  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  1c1 10609  Basecbs 16579   ·_𝑠 cvsca 16665  0_gc0g 16809  1_rcur 19363  Ringcrg 19409  LModclmod 19746  algSccascl 20661  Poly₁cpl1 20945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-ofr 7420  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-hash 13776  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-tset 16680  df-ple 16681  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-ghm 18467  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-subrg 19645  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-ascl 20664  df-psr 20715  df-mpl 20717  df-opsr 20719  df-psr1 20948  df-ply1 20950

This theorem is referenced by:  ply1scln0  21059  evl1gsumd  21120  pmat0opsc  21442  pmat1opsc  21443  pmat1ovscd  21444  mat2pmat1  21476  chpdmatlem2  21583  chp0mat  21590  facth1  24909  fta1g  24912  ply1chr  31233  evl1at0  45250