MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1scl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1scl0 19981
Description: The zero scalar is zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scl.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1scl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scl0.z 0 = (0g𝑅)
ply1scl0.y 𝑌 = (0g𝑃)
Assertion
Ref Expression
ply1scl0 (𝑅 ∈ Ring → (𝐴0 ) = 𝑌)

Proof of Theorem ply1scl0
StepHypRef Expression
1 eqid 2800 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 ply1scl0.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
31, 2ring0cl 18884 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4 ply1scl.a . . . 4 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5 ply1scl.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
65ply1sca2 19945 . . . 4 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
7 df-base 16189 . . . . 5 Base = Slot 1
87, 1strfvi 16237 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
9 eqid 2800 . . . 4 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
10 eqid 2800 . . . 4 (1r𝑃) = (1r𝑃)
114, 6, 8, 9, 10asclval 19657 . . 3 ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐴0 ) = ( 0 ( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
123, 11syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝐴0 ) = ( 0 ( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
13 fvi 6481 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
1413fveq2d 6416 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (0g‘( I ‘𝑅)) = (0g𝑅))
1514, 2syl6reqr 2853 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 0 = (0g‘( I ‘𝑅)))
1615oveq1d 6894 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 ( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)) = ((0g‘( I ‘𝑅))( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)))
175ply1lmod 19943 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
185ply1ring 19939 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19 eqid 2800 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2019, 10ringidcl 18883 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
2118, 20syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
22 eqid 2800 . . . 4 (0g‘( I ‘𝑅)) = (0g‘( I ‘𝑅))
23 ply1scl0.y . . . 4 𝑌 = (0g𝑃)
2419, 6, 9, 22, 23lmod0vs 19213 . . 3 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (1r𝑃) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g‘( I ‘𝑅))( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)) = 𝑌)
2517, 21, 24syl2anc 580 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘( I ‘𝑅))( ·𝑠𝑃)(1r𝑃)) = 𝑌)
2612, 16, 253eqtrd 2838 1 (𝑅 ∈ Ring → (𝐴0 ) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157   I cid 5220  cfv 6102  (class class class)co 6879  1c1 10226  Basecbs 16183   ·𝑠 cvsca 16270  0gc0g 16414  1rcur 18816  Ringcrg 18862  LModclmod 19180  algSccascl 19633  Poly1cpl1 19868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-ofr 7133  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-oi 8658  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-seq 13055  df-hash 13370  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-tset 16285  df-ple 16286  df-0g 16416  df-gsum 16417  df-mre 16560  df-mrc 16561  df-acs 16563  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-mhm 17649  df-submnd 17650  df-grp 17740  df-minusg 17741  df-sbg 17742  df-mulg 17856  df-subg 17903  df-ghm 17970  df-cntz 18061  df-cmn 18509  df-abl 18510  df-mgp 18805  df-ur 18817  df-ring 18864  df-subrg 19095  df-lmod 19182  df-lss 19250  df-ascl 19636  df-psr 19678  df-mpl 19680  df-opsr 19682  df-psr1 19871  df-ply1 19873
This theorem is referenced by:  ply1scln0  19982  evl1gsumd  20042  pmat0opsc  20830  pmat1opsc  20831  pmat1ovscd  20832  mat2pmat1  20864  chpdmatlem2  20971  chp0mat  20978  facth1  24264  fta1g  24267  evl1at0  42973
  Copyright terms: Public domain W3C validator