Theorem mplascl0 40465

Description: The zero scalar as a polynomial. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplascl0.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
mplascl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
mplascl0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
mplascl0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
mplascl0	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 0 )

Proof of Theorem mplascl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplascl0.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
2		mplascl0.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplascl0.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		mplascl0.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	2, 3, 4	mplsca 21266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
6	5	fveq2d 6808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	1, 6	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	fveq2d 6808	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝑂) = ((algSc‘𝑊)‘(0g‘(Scalar‘𝑊))))
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (algSc‘𝑊) = (algSc‘𝑊)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11	4	crngringd 19845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	2	mpllmod 21272	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ LMod)
13	3, 11, 12	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
14	2	mplring 21273	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑊 ∈ Ring)
15	3, 11, 14	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
16	9, 10, 13, 15	ascl0 21137	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘𝑊))
17	8, 16	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑊)‘𝑂) = (0g‘𝑊))
18		mplascl0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
19	18	fveq1i 6805	. 2 ⊢ (𝐴‘𝑂) = ((algSc‘𝑊)‘𝑂)
20		mplascl0.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
21	17, 19, 20	3eqtr4g 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Scalarcsca 17014  0_gc0g 17199  Ringcrg 19832  CRingccrg 19833  LModclmod 20172  algSccascl 21108   mPoly cmpl 21158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3331  df-reu 3332  df-rab 3333  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-ofr 7566  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9177  df-oi 9317  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-seq 13772  df-hash 14095  df-struct 16897  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-tset 17030  df-0g 17201  df-gsum 17202  df-mre 17344  df-mrc 17345  df-acs 17347  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-mhm 18479  df-submnd 18480  df-grp 18629  df-minusg 18630  df-sbg 18631  df-mulg 18750  df-subg 18801  df-ghm 18881  df-cntz 18972  df-cmn 19437  df-abl 19438  df-mgp 19770  df-ur 19787  df-ring 19834  df-cring 19835  df-subrg 20071  df-lmod 20174  df-lss 20243  df-ascl 21111  df-psr 21161  df-mpl 21163

This theorem is referenced by:  evl0  40466  mhphf  40480