Theorem mplascl0 42527

Description: The zero scalar as a polynomial. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplascl0.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
mplascl0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
mplascl0.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
mplascl0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mplascl0	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 0 )

Proof of Theorem mplascl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplascl0.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑅)
2		mplascl0.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplascl0.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		mplascl0.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	2, 3, 4	mplsca 21938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
6	5	fveq2d 6830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
7	1, 6	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = (𝐴‘(0g‘(Scalar‘𝑊))))
9		mplascl0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11	2, 3, 4	mpllmodd 21949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
12	2, 3, 4	mplringd 21948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
13	9, 10, 11, 12	ascl0 21809	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘𝑊))
14	8, 13	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = (0g‘𝑊))
15		mplascl0.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16	14, 15	eqtr4di 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Scalarcsca 17182  0_gc0g 17361  Ringcrg 20136  algSccascl 21777   mPoly cmpl 21831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-ascl 21780  df-psr 21834  df-mpl 21836

This theorem is referenced by:  evl0  42530  selvvvval  42558