Theorem mplascl1 22242

Description: The one scalar as a polynomial. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplascl1.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplascl1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
mplascl1.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝑅)
mplascl1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
mplascl1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplascl1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mplascl1	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 1 )

Proof of Theorem mplascl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplascl1.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (1r‘𝑅)
2		mplascl1.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplascl1.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		mplascl1.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	2, 3, 4	mplsca 22228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
6	5	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
7	1, 6	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = (𝐴‘(1r‘(Scalar‘𝑊))))
9		mplascl1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11	2, 3, 4	mpllmodd 22240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
12	2, 3, 4	mplringd 22238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
13	9, 10, 11, 12	ascl1 22101	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) = (1r‘𝑊))
14	8, 13	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = (1r‘𝑊))
15		mplascl1.1	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
16	14, 15	eqtr4di 2813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Scalarcsca 17346  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  algSccascl 22068   mPoly cmpl 22122

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mpl 22127

This theorem is used by:  evlsmaprhm  22348  0mplrim  34025  selvply1rhmlem2  34032  vietalem  34090