Theorem mplascl1 41582

Description: The one scalar as a polynomial. (Contributed by SN, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplascl1.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplascl1.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
mplascl1.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝑅)
mplascl1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑊)
mplascl1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplascl1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mplascl1	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 1 )

Proof of Theorem mplascl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplascl1.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (1r‘𝑅)
2		mplascl1.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplascl1.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		mplascl1.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	2, 3, 4	mplsca 21873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
6	5	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
7	1, 6	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
8	7	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = (𝐴‘(1r‘(Scalar‘𝑊))))
9		mplascl1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
10		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11	2, 3, 4	mpllmodd 41571	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
12	2, 3, 4	mplringd 41572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
13	9, 10, 11, 12	ascl1 21739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) = (1r‘𝑊))
14	8, 13	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = (1r‘𝑊))
15		mplascl1.1	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑊)
16	14, 15	eqtr4di 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑂) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Scalarcsca 17196  1_rcur 20071  Ringcrg 20123  algSccascl 21707   mPoly cmpl 21759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-mhm 18700  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-mulg 18983  df-subg 19035  df-ghm 19124  df-cntz 19218  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-subrng 20431  df-subrg 20456  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-ascl 21710  df-psr 21762  df-mpl 21764

This theorem is referenced by:  evlsmaprhm  41597