MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1scl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1scl1 21679
Description: The one scalar is the unit polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scl.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1scl.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
ply1scl1.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
ply1scl1.n 𝑁 = (1rβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
ply1scl1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π΄β€˜ 1 ) = 𝑁)

Proof of Theorem ply1scl1
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 ply1scl1.o . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘…)
31, 2ringidcl 19994 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4 ply1scl.a . . . 4 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
5 ply1scl.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
65ply1sca2 21641 . . . 4 ( I β€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
7 baseid 17091 . . . . 5 Base = Slot (Baseβ€˜ndx)
87, 1strfvi 17067 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜( I β€˜π‘…))
9 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
10 ply1scl1.n . . . 4 𝑁 = (1rβ€˜π‘ƒ)
114, 6, 8, 9, 10asclval 21299 . . 3 ( 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ (π΄β€˜ 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑁))
123, 11syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π΄β€˜ 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑁))
13 fvi 6918 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ ( I β€˜π‘…) = 𝑅)
1413fveq2d 6847 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜( I β€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘…))
1514, 2eqtr4di 2791 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜( I β€˜π‘…)) = 1 )
1615oveq1d 7373 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((1rβ€˜( I β€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑁) = ( 1 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑁))
175ply1lmod 21639 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
185ply1ring 21635 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
19 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
2019, 10ringidcl 19994 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑁 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2118, 20syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑁 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
22 eqid 2733 . . . 4 (1rβ€˜( I β€˜π‘…)) = (1rβ€˜( I β€˜π‘…))
2319, 6, 9, 22lmodvs1 20365 . . 3 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((1rβ€˜( I β€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑁) = 𝑁)
2417, 21, 23syl2anc 585 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((1rβ€˜( I β€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)𝑁) = 𝑁)
2512, 16, 243eqtr2d 2779 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π΄β€˜ 1 ) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   I cid 5531  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  ndxcnx 17070  Basecbs 17088   ·𝑠 cvsca 17142  1rcur 19918  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  algSccascl 21274  Poly1cpl1 21564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-ply1 21569
This theorem is referenced by:  ply1idvr1  21680  pmat1opsc  22064  pmat1ovscd  22065  mat2pmat1  22097  chpidmat  22212  lgsqrlem1  26710  lgsqrlem4  26713  ply1chr  32331  evls1maprhm  32425  mon1pid  41575  coe1id  46551  evl1at1  46559
  Copyright terms: Public domain W3C validator