Theorem ply1scl1 22324

Description: The one scalar is the unit polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.) (Proof shortened by SN, 12-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scl1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ply1scl1.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1scl1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 1 ) = 𝑁)

Proof of Theorem ply1scl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1scl1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		ply1scl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 22283	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	3	fveq2d 6856	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
5	1, 4	eqtrid 2799	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
6	5	fveq2d 6856	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 1 ) = (𝐴‘(1r‘(Scalar‘𝑃))))
7		ply1scl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
8		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
9	2	ply1lmod 22282	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
10	2	ply1ring 22278	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
11	7, 8, 9, 10	ascl1 21906	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘(1r‘(Scalar‘𝑃))) = (1r‘𝑃))
12	6, 11	eqtrd 2787	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 1 ) = (1r‘𝑃))
13		ply1scl1.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑃)
14	12, 13	eqtr4di 2805	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 1 ) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ‘cfv 6506  Scalarcsca 17261  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  algSccascl 21873  Poly₁cpl1 22208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-ofr 7646  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-sup 9374  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-hash 14330  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-prds 17448  df-pws 17450  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-acs 17589  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mhm 18789  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-ghm 19226  df-cntz 19329  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrng 20564  df-subrg 20588  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22211  df-ply1 22213

This theorem is referenced by:  coe1id  22325  ply1idvr1OLD  22327  ply1chr  22338  evls1maprhm  22408  pmat1opsc  22728  pmat1ovscd  22729  mat2pmat1  22761  chpidmat  22876  mon1pid  26183  lgsqrlem1  27376  lgsqrlem4  27379  deg1prod  33723  aks6d1c1p6  42669  evl1gprodd  42672  deg1gprod  42695  deg1pow  42696  evl1at1  48952