Theorem ply1scl1 21167

Description: The one scalar is the unit polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1scl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1scl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1scl1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ply1scl1.n	⊢ 𝑁 = (1r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1scl1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 1 ) = 𝑁)

Proof of Theorem ply1scl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		ply1scl1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 19540	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
4		ply1scl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
5		ply1scl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1sca2 21129	. . . 4 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
7		df-base 16672	. . . . 5 ⊢ Base = Slot 1
8	7, 1	strfvi 16718	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10		ply1scl1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (1r‘𝑃)
11	4, 6, 8, 9, 10	asclval 20793	. . 3 ⊢ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐴‘ 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)𝑁))
12	3, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 1 ) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)𝑁))
13		fvi 6765	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
14	13	fveq2d 6699	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘( I ‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
15	14, 2	eqtr4di 2789	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘( I ‘𝑅)) = 1 )
16	15	oveq1d 7206	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑁) = ( 1 ( ·𝑠 ‘𝑃)𝑁))
17	5	ply1lmod 21127	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
18	5	ply1ring 21123	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
20	19, 10	ringidcl 19540	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ (Base‘𝑃))
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑁 ∈ (Base‘𝑃))
22		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1r‘( I ‘𝑅)) = (1r‘( I ‘𝑅))
23	19, 6, 9, 22	lmodvs1 19881	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑁) = 𝑁)
24	17, 21, 23	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘( I ‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝑃)𝑁) = 𝑁)
25	12, 16, 24	3eqtr2d 2777	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐴‘ 1 ) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   I cid 5439  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  1c1 10695  Basecbs 16666   ·_𝑠 cvsca 16753  1_rcur 19470  Ringcrg 19516  LModclmod 19853  algSccascl 20768  Poly₁cpl1 21052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-ofr 7448  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-hash 13862  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-tset 16768  df-ple 16769  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-mhm 18172  df-submnd 18173  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-sbg 18324  df-mulg 18443  df-subg 18494  df-ghm 18574  df-cntz 18665  df-cmn 19126  df-abl 19127  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-subrg 19752  df-lmod 19855  df-lss 19923  df-ascl 20771  df-psr 20822  df-mpl 20824  df-opsr 20826  df-psr1 21055  df-ply1 21057

This theorem is referenced by:  ply1idvr1  21168  pmat1opsc  21550  pmat1ovscd  21551  mat2pmat1  21583  chpidmat  21698  lgsqrlem1  26181  lgsqrlem4  26184  ply1chr  31337  mon1pid  40674  coe1id  45341  evl1at1  45349