Theorem assa2ass2 22085

Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are not commuted! (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assa2ass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assa2ass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assa2ass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assa2ass.m	⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
assa2ass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assa2ass.t	⊢ × = (.r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
assa2ass2	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem assa2ass2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
4		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5	4	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		assa2ass.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		assa2ass.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		assa2ass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		assa2ass.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
10		assalmod 22081	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
11	10	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15	14	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
16	6, 7, 8, 9, 11, 13, 15	lmodvscld 21069	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
17		assa2ass.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑊)
18	6, 7, 9, 8, 17	assaass 22079	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
19	1, 3, 5, 16, 18	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
20	6, 7, 9, 8, 17	assaassr 22080	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
21	20	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))))
22	1, 3, 5, 16, 21	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))))
23		assa2ass.m	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
24	6, 7, 8, 9, 23	lmodvsass 21077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑌)))
25	24	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌))
26	25	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌)))
27	11, 3, 13, 15, 26	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌)))
28	7	assasca 22083	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ Ring)
30	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
31	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
32	9, 23, 29, 30, 31	ringcld 20402	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∗ 𝐶) ∈ 𝐵)
33	32	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∗ 𝐶) ∈ 𝐵)
34	6, 7, 9, 8, 17	assaassr 22080	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝐴 ∗ 𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
35	1, 33, 5, 15, 34	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
36	27, 35	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
37	19, 22, 36	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  Ringcrg 20378  LModclmod 21050  AssAlgcasa 22071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mgp 20280  df-ring 20380  df-lmod 21052  df-assa 22074

This theorem is used by: (None)