Theorem assa2ass2 21907

Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are not commuted! (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assa2ass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assa2ass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assa2ass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assa2ass.m	⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
assa2ass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assa2ass.t	⊢ × = (.r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
assa2ass2	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem assa2ass2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
4		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5	4	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		assa2ass.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		assa2ass.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		assa2ass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		assa2ass.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
10		assalmod 21903	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
11	10	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15	14	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
16	6, 7, 8, 9, 11, 13, 15	lmodvscld 20899	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
17		assa2ass.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑊)
18	6, 7, 9, 8, 17	assaass 21901	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
19	1, 3, 5, 16, 18	syl13anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
20	6, 7, 9, 8, 17	assaassr 21902	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
21	20	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))))
22	1, 3, 5, 16, 21	syl13anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))))
23		assa2ass.m	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
24	6, 7, 8, 9, 23	lmodvsass 20907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑌)))
25	24	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌))
26	25	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌)))
27	11, 3, 13, 15, 26	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌)))
28	7	assasca 21905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
29	28	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ Ring)
30	2	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
31	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
32	9, 23, 29, 30, 31	ringcld 20286	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∗ 𝐶) ∈ 𝐵)
33	32	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∗ 𝐶) ∈ 𝐵)
34	6, 7, 9, 8, 17	assaassr 21902	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝐴 ∗ 𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
35	1, 33, 5, 15, 34	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
36	27, 35	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
37	19, 22, 36	3eqtrd 2784	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  Ringcrg 20260  LModclmod 20880  AssAlgcasa 21893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mgp 20162  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-assa 21896

This theorem is referenced by: (None)