Theorem assa2ass2 22051

Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are not commuted! (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
assa2ass.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
assa2ass.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assa2ass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
assa2ass.m	⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
assa2ass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
assa2ass.t	⊢ × = (.r‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
assa2ass2	⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem assa2ass2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
3	2	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
4		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
5	4	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		assa2ass.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7		assa2ass.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		assa2ass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		assa2ass.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
10		assalmod 22047	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
11	10	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
15	14	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ 𝑉)
16	6, 7, 8, 9, 11, 13, 15	lmodvscld 21037	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
17		assa2ass.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑊)
18	6, 7, 9, 8, 17	assaass 22045	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
19	1, 3, 5, 16, 18	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
20	6, 7, 9, 8, 17	assaassr 22046	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
21	20	eqcomd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))))
22	1, 3, 5, 16, 21	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))))
23		assa2ass.m	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝐹)
24	6, 7, 8, 9, 23	lmodvsass 21045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑌)))
25	24	eqcomd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌))
26	25	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌)))
27	11, 3, 13, 15, 26	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌)))
28	7	assasca 22049	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
29	28	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ Ring)
30	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
31	12	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
32	9, 23, 29, 30, 31	ringcld 20370	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∗ 𝐶) ∈ 𝐵)
33	32	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∗ 𝐶) ∈ 𝐵)
34	6, 7, 9, 8, 17	assaassr 22046	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝐴 ∗ 𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
35	1, 33, 5, 15, 34	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × ((𝐴 ∗ 𝐶) · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
36	27, 35	eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
37	19, 22, 36	3eqtrd 2805	1 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 ∗ 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  Ringcrg 20346  LModclmod 21018  AssAlgcasa 22037

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mgp 20248  df-ring 20348  df-lmod 21020  df-assa 22040

This theorem is used by: (None)