MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assa2ass2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assa2ass2 21884
Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are not commuted! (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
assa2ass.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
assa2ass.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assa2ass.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
assa2ass.m = (.r𝐹)
assa2ass.s · = ( ·𝑠𝑊)
assa2ass.t × = (.r𝑊)
Assertion
Ref Expression
assa2ass2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem assa2ass2
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2 simpl 482 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐴𝐵)
323ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐴𝐵)
4 simpl 482 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
543ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
6 assa2ass.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 assa2ass.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 assa2ass.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
9 assa2ass.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐹)
10 assalmod 21880 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
11103ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
12 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
13123ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐶𝐵)
14 simpr 484 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
15143ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑌𝑉)
166, 7, 8, 9, 11, 13, 15lmodvscld 20877 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
17 assa2ass.t . . . 4 × = (.r𝑊)
186, 7, 9, 8, 17assaass 21878 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝑋𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
191, 3, 5, 16, 18syl13anc 1374 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
206, 7, 9, 8, 17assaassr 21879 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝑋𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
2120eqcomd 2743 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝑋𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))))
221, 3, 5, 16, 21syl13anc 1374 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))))
23 assa2ass.m . . . . . . 7 = (.r𝐹)
246, 7, 8, 9, 23lmodvsass 20885 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵𝑌𝑉)) → ((𝐴 𝐶) · 𝑌) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑌)))
2524eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵𝑌𝑉)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 𝐶) · 𝑌))
2625oveq2d 7447 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵𝑌𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × ((𝐴 𝐶) · 𝑌)))
2711, 3, 13, 15, 26syl13anc 1374 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × ((𝐴 𝐶) · 𝑌)))
287assasca 21882 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ Ring)
302adantl 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → 𝐴𝐵)
3112adantl 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
329, 23, 29, 30, 31ringcld 20257 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐵)
33323adant3 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐵)
346, 7, 9, 8, 17assaassr 21879 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝐴 𝐶) ∈ 𝐵𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋 × ((𝐴 𝐶) · 𝑌)) = ((𝐴 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
351, 33, 5, 15, 34syl13anc 1374 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋 × ((𝐴 𝐶) · 𝑌)) = ((𝐴 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
3627, 35eqtrd 2777 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = ((𝐴 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
3719, 22, 363eqtrd 2781 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  AssAlgcasa 21870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mgp 20138  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-assa 21873
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator