MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  assa2ass2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assa2ass2 21901
Description: Left- and right-associative property of an associative algebra. Notice that the scalars are not commuted! (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
assa2ass.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
assa2ass.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
assa2ass.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
assa2ass.m = (.r𝐹)
assa2ass.s · = ( ·𝑠𝑊)
assa2ass.t × = (.r𝑊)
Assertion
Ref Expression
assa2ass2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem assa2ass2
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ AssAlg)
2 simpl 482 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐴𝐵)
323ad2ant2 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐴𝐵)
4 simpl 482 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
543ad2ant3 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
6 assa2ass.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 assa2ass.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 assa2ass.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
9 assa2ass.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐹)
10 assalmod 21897 . . . . 5 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
11103ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
12 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
13123ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐶𝐵)
14 simpr 484 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
15143ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑌𝑉)
166, 7, 8, 9, 11, 13, 15lmodvscld 20893 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
17 assa2ass.t . . . 4 × = (.r𝑊)
186, 7, 9, 8, 17assaass 21895 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝑋𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
191, 3, 5, 16, 18syl13anc 1371 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
206, 7, 9, 8, 17assaassr 21896 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝑋𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))))
2120eqcomd 2740 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝑋𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))))
221, 3, 5, 16, 21syl13anc 1371 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐴 · (𝑋 × (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))))
23 assa2ass.m . . . . . . 7 = (.r𝐹)
246, 7, 8, 9, 23lmodvsass 20901 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵𝑌𝑉)) → ((𝐴 𝐶) · 𝑌) = (𝐴 · (𝐶 · 𝑌)))
2524eqcomd 2740 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵𝑌𝑉)) → (𝐴 · (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 𝐶) · 𝑌))
2625oveq2d 7446 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵𝑌𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × ((𝐴 𝐶) · 𝑌)))
2711, 3, 13, 15, 26syl13anc 1371 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = (𝑋 × ((𝐴 𝐶) · 𝑌)))
287assasca 21899 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ AssAlg → 𝐹 ∈ Ring)
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ Ring)
302adantl 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → 𝐴𝐵)
3112adantl 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
329, 23, 29, 30, 31ringcld 20276 . . . . 5 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵)) → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐵)
33323adant3 1131 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐴 𝐶) ∈ 𝐵)
346, 7, 9, 8, 17assaassr 21896 . . . 4 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ((𝐴 𝐶) ∈ 𝐵𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋 × ((𝐴 𝐶) · 𝑌)) = ((𝐴 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
351, 33, 5, 15, 34syl13anc 1371 . . 3 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋 × ((𝐴 𝐶) · 𝑌)) = ((𝐴 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
3627, 35eqtrd 2774 . 2 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑋 × (𝐴 · (𝐶 · 𝑌))) = ((𝐴 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
3719, 22, 363eqtrd 2778 1 ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (𝐴𝐵𝐶𝐵) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴 · 𝑋) × (𝐶 · 𝑌)) = ((𝐴 𝐶) · (𝑋 × 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  Ringcrg 20250  LModclmod 20874  AssAlgcasa 21887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mgp 20152  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-assa 21890
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator