Theorem axdc4uz 14154

Description: A version of axdc4 10561 that works on an upper set of integers instead of ω. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axdc4uz.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
axdc4uz.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
axdc4uz	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝐴   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹,𝑘   𝑔,𝑀,𝑘   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑔, 𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem axdc4uz

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝐶 ∈ 𝑓 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
2		xpeq2 5676	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑍 × 𝑓) = (𝑍 × 𝐴))
3		pweq 4574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝐴)
4	3	difeq1d 4065	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝒫 𝑓 ∖ {∅}) = (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
5	2, 4	feq23d 6726	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
6	1, 5	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝐶 ∈ 𝑓 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}))))
7		feq3 6711	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑔:𝑍⟶𝑓 ↔ 𝑔:𝑍⟶𝐴))
8	7	3anbi1d 1469	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))) ↔ (𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))))
9	8	exbidv 1956	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))) ↔ ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))))
10	6, 9	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (((𝐶 ∈ 𝑓 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))) ↔ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))))
11		axdc4uz.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
12		axdc4uz.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
13		vex 3458	. . . 4 ⊢ 𝑓 ∈ V
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω, 𝑥 ∈ 𝑓 ↦ (((rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)‘𝑛)𝐹𝑥)) = (𝑛 ∈ ω, 𝑥 ∈ 𝑓 ↦ (((rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)‘𝑛)𝐹𝑥))
16	11, 12, 13, 14, 15	axdc4uzlem 14153	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑓 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))
17	10, 16	vtoclg 3521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))))
18	17	3impib 1134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445  ωcom 7901  reccrdg 8445  1c1 11228   + caddc 11230  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-dc 10551  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993

This theorem is used by:  bcthlem5  25679  sdclem1  38869