Theorem axdc4uz 13911

Description: A version of axdc4 10370 that works on an upper set of integers instead of ω. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axdc4uz.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
axdc4uz.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
axdc4uz	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝐴   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹,𝑘   𝑔,𝑀,𝑘   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑔,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem axdc4uz

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝐶 ∈ 𝑓 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
2		xpeq2 5646	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑍 × 𝑓) = (𝑍 × 𝐴))
3		pweq 4569	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝐴)
4	3	difeq1d 4078	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝒫 𝑓 ∖ {∅}) = (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
5	2, 4	feq23d 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
6	1, 5	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝐶 ∈ 𝑓 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}))))
7		feq3 6643	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑔:𝑍⟶𝑓 ↔ 𝑔:𝑍⟶𝐴))
8	7	3anbi1d 1443	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))) ↔ (𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))))
9	8	exbidv 1923	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))) ↔ ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))))
10	6, 9	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (((𝐶 ∈ 𝑓 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))) ↔ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))))
11		axdc4uz.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
12		axdc4uz.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
13		vex 3445	. . . 4 ⊢ 𝑓 ∈ V
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω, 𝑥 ∈ 𝑓 ↦ (((rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)‘𝑛)𝐹𝑥)) = (𝑛 ∈ ω, 𝑥 ∈ 𝑓 ↦ (((rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)‘𝑛)𝐹𝑥))
16	11, 12, 13, 14, 15	axdc4uzlem 13910	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑓 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))
17	10, 16	vtoclg 3512	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))))
18	17	3impib 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4555  {csn 4581   ↦ cmpt 5180   × cxp 5623   ↾ cres 5627  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  ωcom 7810  reccrdg 8342  1c1 11031   + caddc 11033  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-dc 10360  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756

This theorem is referenced by:  bcthlem5  25288  sdclem1  37915