Theorem axdc4uz 13883

Description: A version of axdc4 10339 that works on an upper set of integers instead of ω. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axdc4uz.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
axdc4uz.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
axdc4uz	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝐴   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹,𝑘   𝑔,𝑀,𝑘   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑔,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem axdc4uz

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝐶 ∈ 𝑓 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
2		xpeq2 5635	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑍 × 𝑓) = (𝑍 × 𝐴))
3		pweq 4562	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝐴)
4	3	difeq1d 4073	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝒫 𝑓 ∖ {∅}) = (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
5	2, 4	feq23d 6642	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
6	1, 5	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝐶 ∈ 𝑓 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}))))
7		feq3 6627	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑔:𝑍⟶𝑓 ↔ 𝑔:𝑍⟶𝐴))
8	7	3anbi1d 1442	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))) ↔ (𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))))
9	8	exbidv 1922	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))) ↔ ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))))
10	6, 9	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (((𝐶 ∈ 𝑓 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))) ↔ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))))
11		axdc4uz.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
12		axdc4uz.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
13		vex 3438	. . . 4 ⊢ 𝑓 ∈ V
14		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)
15		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω, 𝑥 ∈ 𝑓 ↦ (((rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)‘𝑛)𝐹𝑥)) = (𝑛 ∈ ω, 𝑥 ∈ 𝑓 ↦ (((rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)‘𝑛)𝐹𝑥))
16	11, 12, 13, 14, 15	axdc4uzlem 13882	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑓 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))
17	10, 16	vtoclg 3507	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))))
18	17	3impib 1116	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  Vcvv 3434   ∖ cdif 3897  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4548  {csn 4574   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612   ↾ cres 5616  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  ωcom 7791  reccrdg 8323  1c1 10999   + caddc 11001  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-dc 10329  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725

This theorem is referenced by:  bcthlem5  25248  sdclem1  37762