Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfg 34068
Description: Express the value of (𝐹𝐶) in terms of . (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
ballotlemg = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
Assertion
Ref Expression
ballotlemfg ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (𝐶 (1...𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑘,𝐽   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖   𝑣,𝑢,𝐶   𝑢,𝐼,𝑣   𝑢,𝐽,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣   𝑢,𝑆,𝑣   𝑖,𝐽
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢)   (𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑂(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem ballotlemfg
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 eldifi 4122 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝐶𝑂)
76adantr 480 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 𝐶𝑂)
8 elfzelz 13519 . . . 4 (𝐽 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
98adantl 481 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 𝐽 ∈ ℤ)
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9ballotlemfval 34032 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
11 fzfi 13955 . . . . 5 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
121, 2, 3ballotlemelo 34030 . . . . . 6 (𝐶𝑂 ↔ (𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ (♯‘𝐶) = 𝑀))
1312simplbi 497 . . . . 5 (𝐶𝑂𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
14 ssfi 9187 . . . . 5 (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝐶 ∈ Fin)
1511, 13, 14sylancr 586 . . . 4 (𝐶𝑂𝐶 ∈ Fin)
167, 15syl 17 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 𝐶 ∈ Fin)
17 fzfid 13956 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (1...𝐽) ∈ Fin)
18 ballotth.e . . . 4 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
19 ballotth.mgtn . . . 4 𝑁 < 𝑀
20 ballotth.i . . . 4 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
21 ballotth.s . . . 4 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
22 ballotth.r . . . 4 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
23 ballotlemg . . . 4 = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
241, 2, 3, 4, 5, 18, 19, 20, 21, 22, 23ballotlemgval 34066 . . 3 ((𝐶 ∈ Fin ∧ (1...𝐽) ∈ Fin) → (𝐶 (1...𝐽)) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
2516, 17, 24syl2anc 583 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (𝐶 (1...𝐽)) = ((♯‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
2610, 25eqtr4d 2770 1 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = (𝐶 (1...𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  {crab 3427  cdif 3941  cin 3943  wss 3944  ifcif 4524  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142  cmpt 5225  cima 5675  cfv 6542  (class class class)co 7414  cmpo 7416  Fincfn 8953  infcinf 9450  cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11264  cle 11265  cmin 11460   / cdiv 11887  cn 12228  cz 12574  ...cfz 13502  chash 14307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503
This theorem is referenced by:  ballotlemfrci  34070  ballotlemfrceq  34071
  Copyright terms: Public domain W3C validator