Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfrci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfrci 34142
Description: Reverse counting preserves a tie at the first tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
ballotlemg = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
Assertion
Ref Expression
ballotlemfrci (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹‘(𝑅𝐶))‘(𝐼𝐶)) = 0)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖   𝑣,𝑢,𝐶   𝑢,𝐼,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣   𝑢,𝑆,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢)   (𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑂(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem ballotlemfrci
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . . . . . 7 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 ballotth.e . . . . . . 7 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
7 ballotth.mgtn . . . . . . 7 𝑁 < 𝑀
8 ballotth.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 34116 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
109simpld 494 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
11 elfzuz 13524 . . . . 5 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘1))
12 eluzfz2 13536 . . . . 5 ((𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘1) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝐼𝐶)))
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝐼𝐶)))
14 ballotth.s . . . . 5 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
15 ballotth.r . . . . 5 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
16 ballotlemg . . . . 5 = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16ballotlemfrc 34141 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝐼𝐶))) → ((𝐹‘(𝑅𝐶))‘(𝐼𝐶)) = (𝐶 (((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶))...(𝐼𝐶))))
1813, 17mpdan 686 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹‘(𝑅𝐶))‘(𝐼𝐶)) = (𝐶 (((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶))...(𝐼𝐶))))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14ballotlemsi 34129 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 1)
2019oveq1d 7430 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶))...(𝐼𝐶)) = (1...(𝐼𝐶)))
2120oveq2d 7431 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐶 (((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶))...(𝐼𝐶))) = (𝐶 (1...(𝐼𝐶))))
2218, 21eqtrd 2768 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹‘(𝑅𝐶))‘(𝐼𝐶)) = (𝐶 (1...(𝐼𝐶))))
23 fz1ssfz0 13624 . . . 4 (1...(𝑀 + 𝑁)) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁))
2423, 10sselid 3977 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16ballotlemfg 34140 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (𝐶 (1...(𝐼𝐶))))
2624, 25mpdan 686 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (𝐶 (1...(𝐼𝐶))))
279simprd 495 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
2822, 26, 273eqtr2d 2774 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹‘(𝑅𝐶))‘(𝐼𝐶)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  {crab 3428  cdif 3942  cin 3944  ifcif 4525  𝒫 cpw 4599   class class class wbr 5143  cmpt 5226  cima 5676  cfv 6543  (class class class)co 7415  cmpo 7417  Fincfn 8958  infcinf 9459  cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   < clt 11273  cle 11274  cmin 11469   / cdiv 11896  cn 12237  cz 12583  cuz 12847  ...cfz 13511  chash 14316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-inf 9461  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-hash 14317
This theorem is referenced by:  ballotlemrc  34145  ballotlemirc  34146
  Copyright terms: Public domain W3C validator