Theorem ballotlemfrci 35153

Description: Reverse counting preserves a tie at the first tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀
ballotth.i	⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s	⊢ 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼‘𝑐), (((𝐼‘𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r	⊢ 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐))
ballotlemg	⊢ ↑ = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣 ∩ 𝑢)) − (♯‘(𝑣 ∖ 𝑢))))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfrci	⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘(𝑅‘𝐶))‘(𝐼‘𝐶)) = 0)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖   𝑣,𝑢,𝐶   𝑢,𝐼,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣   𝑢,𝑆,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑐)   𝑃(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑖, 𝑘, 𝑐)   𝑅(𝑥, 𝑘, 𝑐)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥, 𝑣, 𝑢)   ↑ (𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑖, 𝑘, 𝑐)   𝐹(𝑥, 𝑣, 𝑢)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥, 𝑣, 𝑢)   𝑁(𝑥, 𝑣, 𝑢)   𝑂(𝑥, 𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem ballotlemfrci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		ballotth.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
7		ballotth.mgtn	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < 𝑀
8		ballotth.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ballotlemiex 35127	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0))
10	9	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
11		elfzuz 13645	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼‘𝐶) ∈ (ℤ≥‘1))
12		eluzfz2 13658	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐶) ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝐼‘𝐶)))
13	10, 11, 12	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝐼‘𝐶)))
14		ballotth.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼‘𝑐), (((𝐼‘𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
15		ballotth.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐))
16		ballotlemg	. . . . 5 ⊢ ↑ = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣 ∩ 𝑢)) − (♯‘(𝑣 ∖ 𝑢))))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16	ballotlemfrc 35152	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ (𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝐼‘𝐶))) → ((𝐹‘(𝑅‘𝐶))‘(𝐼‘𝐶)) = (𝐶 ↑ (((𝑆‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶))...(𝐼‘𝐶))))
18	13, 17	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘(𝑅‘𝐶))‘(𝐼‘𝐶)) = (𝐶 ↑ (((𝑆‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶))...(𝐼‘𝐶))))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14	ballotlemsi 35140	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝑆‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 1)
20	19	oveq1d 7433	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (((𝑆‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶))...(𝐼‘𝐶)) = (1...(𝐼‘𝐶)))
21	20	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐶 ↑ (((𝑆‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶))...(𝐼‘𝐶))) = (𝐶 ↑ (1...(𝐼‘𝐶))))
22	18, 21	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘(𝑅‘𝐶))‘(𝐼‘𝐶)) = (𝐶 ↑ (1...(𝐼‘𝐶))))
23		fz1ssfz0 13750	. . . 4 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁))
24	23, 10	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16	ballotlemfg 35151	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ (𝐼‘𝐶) ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = (𝐶 ↑ (1...(𝐼‘𝐶))))
26	24, 25	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = (𝐶 ↑ (1...(𝐼‘𝐶))))
27	9	simprd 501	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0)
28	22, 26, 27	3eqtr2d 2802	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘(𝑅‘𝐶))‘(𝐼‘𝐶)) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898  ifcif 4482  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   “ cima 5654  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420  Fincfn 8966  infcinf 9426  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534   / cdiv 11966  ℕcn 12328  ℤcz 12686  ℤ_≥cuz 12958  ...cfz 13632  ♯chash 14467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-hash 14468

This theorem is used by:  ballotlemrc  35156  ballotlemirc  35157