Theorem bcnp1n 14277

Description: Binomial coefficient: 𝑁 + 1 choose 𝑁. (Contributed by NM, 20-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcnp1n	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C𝑁) = (𝑁 + 1))

Proof of Theorem bcnp1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn0 12513	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2		nn0z 12584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		bccmpl 14272	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)C𝑁) = ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − 𝑁)))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C𝑁) = ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − 𝑁)))
5		nn0cn 12483	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		ax-1cn 11167	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		pncan2 11468	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
8	5, 6, 7	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
9	8	oveq2d 7420	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C((𝑁 + 1) − 𝑁)) = ((𝑁 + 1)C1))
10		bcn1 14276	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C1) = (𝑁 + 1))
11	1, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C1) = (𝑁 + 1))
12	4, 9, 11	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C𝑁) = (𝑁 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   − cmin 11445  ℕ₀cn0 12473  ℤcz 12559  Ccbc 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-fac 14237  df-bc 14266

This theorem is referenced by:  arisum  15810