MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bhmafibid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bhmafibid1 15442
Description: The Brahmagupta-Fibonacci identity. Express the product of two sums of two squares as a sum of two squares. First result. Remark: The proof uses a different approach than the proof of bhmafibid1cn 15440, and is a little bit shorter. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bhmafibid1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2)))

Proof of Theorem bhmafibid1
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21recnd 11270 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 ax-icn 11195 . . . . . . . . . 10 i โˆˆ โ„‚
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
5 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
65recnd 11270 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
74, 6mulcld 11262 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
82, 7addcld 11261 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
9 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
109recnd 11270 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
11 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
1211recnd 11270 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
134, 12mulcld 11262 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (i ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
1410, 13addcld 11261 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โˆˆ โ„‚)
158, 14mulcld 11262 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
1615replimd 15174 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) = ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) + (i ยท (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))))))
178, 14remuld 15195 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = (((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))))
181, 5crred 15208 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ด)
199, 11crred 15208 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))) = ๐ถ)
2018, 19oveq12d 7433 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = (๐ด ยท ๐ถ))
211, 5crimd 15209 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ต)
229, 11crimd 15209 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))) = ๐ท)
2321, 22oveq12d 7433 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = (๐ต ยท ๐ท))
2420, 23oveq12d 7433 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)))
2517, 24eqtrd 2765 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)))
268, 14immuld 15196 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = (((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) + ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))))
2718, 22oveq12d 7433 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = (๐ด ยท ๐ท))
2821, 19oveq12d 7433 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = (๐ต ยท ๐ถ))
2927, 28oveq12d 7433 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (((โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„‘โ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))) + ((โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (โ„œโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))
3026, 29eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))
3130oveq2d 7431 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))) = (i ยท ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ))))
3225, 31oveq12d 7433 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) + (i ยท (โ„‘โ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))))) = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) + (i ยท ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))))
3316, 32eqtrd 2765 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))) = (((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) + (i ยท ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))))
3433fveq2d 6895 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = (absโ€˜(((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) + (i ยท ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ))))))
3534oveq1d 7430 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = ((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) + (i ยท ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))))โ†‘2))
368, 14absmuld 15431 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท)))) = ((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))))
3736oveq1d 7430 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2))
388abscld 15413 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
3938recnd 11270 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
4014abscld 15413 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„)
4140recnd 11270 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))) โˆˆ โ„‚)
4239, 41sqmuld 14152 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) ยท (absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2)))
43 absreimsq 15269 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
44 absreimsq 15269 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2) = ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2)))
4543, 44oveqan12d 7434 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (((absโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))โ†‘2) ยท ((absโ€˜(๐ถ + (i ยท ๐ท)))โ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
4637, 42, 453eqtrd 2769 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((absโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ถ + (i ยท ๐ท))))โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))))
471, 9remulcld 11272 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
485, 11remulcld 11272 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
4947, 48resubcld 11670 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„)
501, 11remulcld 11272 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
515, 9remulcld 11272 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
5250, 51readdcld 11271 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
53 absreimsq 15269 . . 3 ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) + (i ยท ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))))โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2)))
5449, 52, 53syl2anc 582 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((absโ€˜(((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท)) + (i ยท ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)))))โ†‘2) = ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2)))
5535, 46, 543eqtr3d 2773 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) ยท ((๐ถโ†‘2) + (๐ทโ†‘2))) = ((((๐ด ยท ๐ถ) โˆ’ (๐ต ยท ๐ท))โ†‘2) + (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ))โ†‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  โ„cr 11135  ici 11138   + caddc 11139   ยท cmul 11141   โˆ’ cmin 11472  2c2 12295  โ†‘cexp 14056  โ„œcre 15074  โ„‘cim 15075  abscabs 15211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213
This theorem is referenced by:  bhmafibid2  15443  2sqmod  27385
  Copyright terms: Public domain W3C validator