MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bhmafibid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bhmafibid1 14825
Description: The Brahmagupta-Fibonacci identity. Express the product of two sums of two squares as a sum of two squares. First result. Remark: The proof uses a different approach than the proof of bhmafibid1cn 14823, and is a little bit shorter. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bhmafibid1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))

Proof of Theorem bhmafibid1
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 10667 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 ax-icn 10594 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → i ∈ ℂ)
5 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
65recnd 10667 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
74, 6mulcld 10659 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
82, 7addcld 10658 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
9 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
109recnd 10667 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
1211recnd 10667 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
134, 12mulcld 10659 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
1410, 13addcld 10658 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
158, 14mulcld 10659 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
1615replimd 14556 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) = ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) + (i · (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))))
178, 14remuld 14577 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) − ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))))
181, 5crred 14590 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
199, 11crred 14590 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐶)
2018, 19oveq12d 7167 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐴 · 𝐶))
211, 5crimd 14591 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
229, 11crimd 14591 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐷)
2321, 22oveq12d 7167 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐵 · 𝐷))
2420, 23oveq12d 7167 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) − ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)))
2517, 24eqtrd 2859 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)))
268, 14immuld 14578 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))))
2718, 22oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐴 · 𝐷))
2821, 19oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐵 · 𝐶))
2927, 28oveq12d 7167 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
3026, 29eqtrd 2859 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
3130oveq2d 7165 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))) = (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))))
3225, 31oveq12d 7167 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) + (i · (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) + (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))))
3316, 32eqtrd 2859 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) + (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))))
3433fveq2d 6665 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = (abs‘(((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) + (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))))))
3534oveq1d 7164 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = ((abs‘(((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) + (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))))↑2))
368, 14absmuld 14814 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))))
3736oveq1d 7164 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
388abscld 14796 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
3938recnd 10667 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
4014abscld 14796 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℝ)
4140recnd 10667 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
4239, 41sqmuld 13527 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
43 absreimsq 14652 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
44 absreimsq 14652 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
4543, 44oveqan12d 7168 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
4637, 42, 453eqtrd 2863 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
471, 9remulcld 10669 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
485, 11remulcld 10669 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
4947, 48resubcld 11066 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ)
501, 11remulcld 10669 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
515, 9remulcld 10669 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
5250, 51readdcld 10668 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
53 absreimsq 14652 . . 3 ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) + (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
5449, 52, 53syl2anc 587 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) + (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
5535, 46, 543eqtr3d 2867 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534  ici 10537   + caddc 10538   · cmul 10540  cmin 10868  2c2 11689  cexp 13434  cre 14456  cim 14457  abscabs 14593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595
This theorem is referenced by:  bhmafibid2  14826  2sqmod  26027
  Copyright terms: Public domain W3C validator