Theorem bhmafibid1 15350

Description: The Brahmagupta-Fibonacci identity. Express the product of two sums of two squares as a sum of two squares. First result. Remark: The proof uses a different approach than the proof of bhmafibid1cn 15348, and is a little bit shorter. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bhmafibid1	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))

Proof of Theorem bhmafibid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		ax-icn 11110	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → i ∈ ℂ)
5		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
8	2, 7	addcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
9		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	4, 12	mulcld 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
14	10, 13	addcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 + (i · 𝐷)) ∈ ℂ)
15	8, 14	mulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
16	15	replimd 15082	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) = ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) + (i · (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))))
17	8, 14	remuld 15103	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) − ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))))
18	1, 5	crred 15116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
19	9, 11	crred 15116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐶)
20	18, 19	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐴 · 𝐶))
21	1, 5	crimd 15117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
22	9, 11	crimd 15117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))) = 𝐷)
23	21, 22	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐵 · 𝐷))
24	20, 23	oveq12d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) − ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)))
25	17, 24	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)))
26	8, 14	immuld 15104	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))))
27	18, 22	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐴 · 𝐷))
28	21, 19	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) = (𝐵 · 𝐶))
29	27, 28	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℑ‘(𝐶 + (i · 𝐷)))) + ((ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (ℜ‘(𝐶 + (i · 𝐷))))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
30	26, 29	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))
31	30	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (i · (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))) = (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))))
32	25, 31	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) + (i · (ℑ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))))) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) + (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))))
33	16, 32	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) + (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))))
34	33	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = (abs‘(((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) + (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))))))
35	34	oveq1d 7372	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = ((abs‘(((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) + (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))))↑2))
36	8, 14	absmuld 15339	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷)))) = ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))))
37	36	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2))
38	8	abscld 15321	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11183	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
40	14	abscld 15321	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11183	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))) ∈ ℂ)
42	39, 41	sqmuld 14063	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵))) · (abs‘(𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)))
43		absreimsq 15177	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
44		absreimsq 15177	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2) = ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)))
45	43, 44	oveqan12d 7376	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) · ((abs‘(𝐶 + (i · 𝐷)))↑2)) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
46	37, 42, 45	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((abs‘((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐶 + (i · 𝐷))))↑2) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
47	1, 9	remulcld 11185	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
48	5, 11	remulcld 11185	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
49	47, 48	resubcld 11583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ)
50	1, 11	remulcld 11185	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
51	5, 9	remulcld 11185	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
52	50, 51	readdcld 11184	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ)
53		absreimsq 15177	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℝ) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) + (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
54	49, 52, 53	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷)) + (i · ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)))))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))
55	35, 46, 54	3eqtr3d 2784	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385  2c2 12208  ↑cexp 13967  ℜcre 14982  ℑcim 14983  abscabs 15119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121

This theorem is referenced by:  bhmafibid2  15351  2sqmod  26784