MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1len Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s1len 13951
Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
s1len (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len
StepHypRef Expression
1 df-s1 13941 . . 3 ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
21fveq2i 6655 . 2 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3 opex 5333 . . 3 ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4 hashsng 13726 . . 3 (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
53, 4ax-mp 5 . 2 (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
62, 5eqtri 2845 1 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469  {csn 4539  cop 4545   I cid 5436  cfv 6334  0cc0 10526  1c1 10527  chash 13686  ⟨“cs1 13940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687  df-s1 13941
This theorem is referenced by:  s1dm  13953  lsws1  13956  eqs1  13957  wrdl1s1  13959  ccats1alpha  13964  ccatws1len  13965  ccat2s1len  13968  ccat2s1lenOLD  13969  ccats1val2  13974  ccat2s1p1  13976  ccat2s1p2  13977  ccat2s1p1OLD  13978  ccat2s1p2OLD  13979  cats1un  14074  revs1  14118  cats1fvn  14211  cats1len  14213  s2fv0  14240  s2fv1  14241  s2len  14242  s2prop  14260  s2eq2s1eq  14289  ofs2  14322  psgnpmtr  18629  efgsval2  18850  efgs1  18852  efgsp1  18854  efgsfo  18856  efgredlemc  18862  pgpfaclem1  19194  wlklenvclwlkOLD  27443  wwlksnext  27677  wwlksnextbi  27678  clwlkclwwlk2  27786  loopclwwlkn1b  27825  clwwlkn1loopb  27826  clwwlkel  27829  clwwlkwwlksb  27837  clwwlknon1  27880  1ewlk  27898  1pthdlem1  27918  1pthdlem2  27919  1wlkdlem1  27920  1wlkdlem4  27923  1pthond  27927  lp1cycl  27935  cycpmco2lem2  30800  cycpmco2lem5  30803  cycpmco2lem6  30804  signstf0  31912  signstfvn  31913  signstfvp  31915  signsvf1  31925  signsvfn  31926  signshf  31932  loop1cycl  32458
  Copyright terms: Public domain W3C validator