Theorem s1len 14542

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14532	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6845	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5419	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14304	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2760	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  {csn 4582  ⟨cop 4588   I cid 5526  ‘cfv 6500  0cc0 11038  1c1 11039  ♯chash 14265  ⟨“cs1 14531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266  df-s1 14532

This theorem is referenced by:  s1dm  14544  lsws1  14547  eqs1  14548  wrdl1s1  14550  ccats1alpha  14555  ccatws1len  14556  ccat2s1len  14559  ccats1val2  14563  ccat2s1p1  14565  ccat2s1p2  14566  cats1un  14656  revs1  14700  cats1fvn  14793  cats1len  14795  s2fv0  14822  s2fv1  14823  s2len  14824  s2prop  14842  s2eq2s1eq  14871  ofs2  14906  psgnpmtr  19451  efgsval2  19674  efgs1  19676  efgsp1  19678  efgsfo  19680  efgredlemc  19686  pgpfaclem1  20024  wwlksnext  29978  wwlksnextbi  29979  clwlkclwwlk2  30090  loopclwwlkn1b  30129  clwwlkn1loopb  30130  clwwlkel  30133  clwwlkwwlksb  30141  clwwlknon1  30184  1ewlk  30202  1pthdlem1  30222  1pthdlem2  30223  1wlkdlem1  30224  1wlkdlem4  30227  1pthond  30231  lp1cycl  30239  ccatws1f1o  33043  cycpmco2lem2  33220  cycpmco2lem5  33223  cycpmco2lem6  33224  1arithidomlem2  33628  signstf0  34745  signstfvn  34746  signstfvp  34748  signsvf1  34758  signsvfn  34759  signshf  34765  loop1cycl  35350