Theorem s1len 14531

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14521	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6829	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5411	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14294	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2752	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  {csn 4579  ⟨cop 4585   I cid 5517  ‘cfv 6486  0cc0 11028  1c1 11029  ♯chash 14255  ⟨“cs1 14520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256  df-s1 14521

This theorem is referenced by:  s1dm  14533  lsws1  14536  eqs1  14537  wrdl1s1  14539  ccats1alpha  14544  ccatws1len  14545  ccat2s1len  14548  ccats1val2  14552  ccat2s1p1  14554  ccat2s1p2  14555  cats1un  14645  revs1  14689  cats1fvn  14783  cats1len  14785  s2fv0  14812  s2fv1  14813  s2len  14814  s2prop  14832  s2eq2s1eq  14861  ofs2  14896  psgnpmtr  19407  efgsval2  19630  efgs1  19632  efgsp1  19634  efgsfo  19636  efgredlemc  19642  pgpfaclem1  19980  wwlksnext  29856  wwlksnextbi  29857  clwlkclwwlk2  29965  loopclwwlkn1b  30004  clwwlkn1loopb  30005  clwwlkel  30008  clwwlkwwlksb  30016  clwwlknon1  30059  1ewlk  30077  1pthdlem1  30097  1pthdlem2  30098  1wlkdlem1  30099  1wlkdlem4  30102  1pthond  30106  lp1cycl  30114  ccatws1f1o  32906  cycpmco2lem2  33082  cycpmco2lem5  33085  cycpmco2lem6  33086  1arithidomlem2  33483  signstf0  34535  signstfvn  34536  signstfvp  34538  signsvf1  34548  signsvfn  34549  signshf  34555  loop1cycl  35109  upwordsing  46866