Theorem s1len 14544

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14534	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6847	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5421	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14306	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2760	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  {csn 4582  ⟨cop 4588   I cid 5528  ‘cfv 6502  0cc0 11040  1c1 11041  ♯chash 14267  ⟨“cs1 14533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-hash 14268  df-s1 14534

This theorem is referenced by:  s1dm  14546  lsws1  14549  eqs1  14550  wrdl1s1  14552  ccats1alpha  14557  ccatws1len  14558  ccat2s1len  14561  ccats1val2  14565  ccat2s1p1  14567  ccat2s1p2  14568  cats1un  14658  revs1  14702  cats1fvn  14795  cats1len  14797  s2fv0  14824  s2fv1  14825  s2len  14826  s2prop  14844  s2eq2s1eq  14873  ofs2  14908  psgnpmtr  19456  efgsval2  19679  efgs1  19681  efgsp1  19683  efgsfo  19685  efgredlemc  19691  pgpfaclem1  20029  wwlksnext  29984  wwlksnextbi  29985  clwlkclwwlk2  30096  loopclwwlkn1b  30135  clwwlkn1loopb  30136  clwwlkel  30139  clwwlkwwlksb  30147  clwwlknon1  30190  1ewlk  30208  1pthdlem1  30228  1pthdlem2  30229  1wlkdlem1  30230  1wlkdlem4  30233  1pthond  30237  lp1cycl  30245  ccatws1f1o  33050  cycpmco2lem2  33227  cycpmco2lem5  33230  cycpmco2lem6  33231  1arithidomlem2  33635  signstf0  34752  signstfvn  34753  signstfvp  34755  signsvf1  34765  signsvfn  34766  signshf  34772  loop1cycl  35359