Theorem s1len 14569

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14559	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6843	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5416	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14331	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2759	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  {csn 4567  ⟨cop 4573   I cid 5525  ‘cfv 6498  0cc0 11038  1c1 11039  ♯chash 14292  ⟨“cs1 14558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293  df-s1 14559

This theorem is referenced by:  s1dm  14571  lsws1  14574  eqs1  14575  wrdl1s1  14577  ccats1alpha  14582  ccatws1len  14583  ccat2s1len  14586  ccats1val2  14590  ccat2s1p1  14592  ccat2s1p2  14593  cats1un  14683  revs1  14727  cats1fvn  14820  cats1len  14822  s2fv0  14849  s2fv1  14850  s2len  14851  s2prop  14869  s2eq2s1eq  14898  ofs2  14933  psgnpmtr  19485  efgsval2  19708  efgs1  19710  efgsp1  19712  efgsfo  19714  efgredlemc  19720  pgpfaclem1  20058  wwlksnext  29961  wwlksnextbi  29962  clwlkclwwlk2  30073  loopclwwlkn1b  30112  clwwlkn1loopb  30113  clwwlkel  30116  clwwlkwwlksb  30124  clwwlknon1  30167  1ewlk  30185  1pthdlem1  30205  1pthdlem2  30206  1wlkdlem1  30207  1wlkdlem4  30210  1pthond  30214  lp1cycl  30222  ccatws1f1o  33011  cycpmco2lem2  33188  cycpmco2lem5  33191  cycpmco2lem6  33192  1arithidomlem2  33596  signstf0  34712  signstfvn  34713  signstfvp  34715  signsvf1  34725  signsvfn  34726  signshf  34732  loop1cycl  35319