Theorem s1len 14655

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14645	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5448	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14416	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2789	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  {csn 4592  ⟨cop 4598   I cid 5558  ‘cfv 6540  0cc0 11110  1c1 11111  ♯chash 14377  ⟨“cs1 14644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-fz 13546  df-hash 14378  df-s1 14645

This theorem is used by:  s1dm  14657  lsws1  14660  eqs1  14661  wrdl1s1  14663  ccats1alpha  14668  ccatws1len  14669  ccat2s1len  14672  ccats1val2  14676  ccat2s1p1  14678  ccat2s1p2  14679  cats1un  14769  revs1  14813  cats1fvn  14906  cats1len  14908  s2fv0  14935  s2fv1  14936  s2len  14937  s2prop  14955  s2eq2s1eq  14984  ofs2  15019  psgnpmtr  19590  efgsval2  19813  efgs1  19815  efgsp1  19817  efgsfo  19819  efgredlemc  19825  pgpfaclem1  20163  wwlksnext  30257  wwlksnextbi  30258  clwlkclwwlk2  30369  loopclwwlkn1b  30408  clwwlkn1loopb  30409  clwwlkel  30412  clwwlkwwlksb  30420  clwwlknon1  30463  1ewlk  30481  1pthdlem1  30501  1pthdlem2  30502  1wlkdlem1  30503  1wlkdlem4  30506  1pthond  30510  lp1cycl  30518  ccatws1f1o  33284  cycpmco2lem2  33460  cycpmco2lem5  33463  cycpmco2lem6  33464  1arithidomlem2  33839  signstf0  34968  signstfvn  34969  signstfvp  34971  signsvf1  34981  signsvfn  34982  signshf  34988  loop1cycl  35641