Theorem s1len 14646

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14636	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6886	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5447	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14407	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2786	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {csn 4590  ⟨cop 4596   I cid 5557  ‘cfv 6538  0cc0 11101  1c1 11102  ♯chash 14368  ⟨“cs1 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-hash 14369  df-s1 14636

This theorem is referenced by:  s1dm  14648  lsws1  14651  eqs1  14652  wrdl1s1  14654  ccats1alpha  14659  ccatws1len  14660  ccat2s1len  14663  ccats1val2  14667  ccat2s1p1  14669  ccat2s1p2  14670  cats1un  14760  revs1  14804  cats1fvn  14897  cats1len  14899  s2fv0  14926  s2fv1  14927  s2len  14928  s2prop  14946  s2eq2s1eq  14975  ofs2  15010  psgnpmtr  19581  efgsval2  19804  efgs1  19806  efgsp1  19808  efgsfo  19810  efgredlemc  19816  pgpfaclem1  20154  wwlksnext  30220  wwlksnextbi  30221  clwlkclwwlk2  30332  loopclwwlkn1b  30371  clwwlkn1loopb  30372  clwwlkel  30375  clwwlkwwlksb  30383  clwwlknon1  30426  1ewlk  30444  1pthdlem1  30464  1pthdlem2  30465  1wlkdlem1  30466  1wlkdlem4  30469  1pthond  30473  lp1cycl  30481  ccatws1f1o  33249  cycpmco2lem2  33425  cycpmco2lem5  33428  cycpmco2lem6  33429  1arithidomlem2  33804  signstf0  34933  signstfvn  34934  signstfvp  34936  signsvf1  34946  signsvfn  34947  signshf  34953  loop1cycl  35607