Theorem s1len 14617

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14607	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6866	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5430	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14379	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2784	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  {csn 4581  ⟨cop 4587   I cid 5539  ‘cfv 6517  0cc0 11070  1c1 11071  ♯chash 14340  ⟨“cs1 14606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-hash 14341  df-s1 14607

This theorem is referenced by:  s1dm  14619  lsws1  14622  eqs1  14623  wrdl1s1  14625  ccats1alpha  14630  ccatws1len  14631  ccat2s1len  14634  ccats1val2  14638  ccat2s1p1  14640  ccat2s1p2  14641  cats1un  14731  revs1  14775  cats1fvn  14868  cats1len  14870  s2fv0  14897  s2fv1  14898  s2len  14899  s2prop  14917  s2eq2s1eq  14946  ofs2  14981  psgnpmtr  19533  efgsval2  19756  efgs1  19758  efgsp1  19760  efgsfo  19762  efgredlemc  19768  pgpfaclem1  20106  wwlksnext  30039  wwlksnextbi  30040  clwlkclwwlk2  30151  loopclwwlkn1b  30190  clwwlkn1loopb  30191  clwwlkel  30194  clwwlkwwlksb  30202  clwwlknon1  30245  1ewlk  30263  1pthdlem1  30283  1pthdlem2  30284  1wlkdlem1  30285  1wlkdlem4  30288  1pthond  30292  lp1cycl  30300  ccatws1f1o  33090  cycpmco2lem2  33268  cycpmco2lem5  33271  cycpmco2lem6  33272  1arithidomlem2  33693  signstf0  34826  signstfvn  34827  signstfvp  34829  signsvf1  34839  signsvfn  34840  signshf  34846  loop1cycl  35451