Theorem s1len 14644

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14634	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6909	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5469	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14408	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2765	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  {csn 4626  ⟨cop 4632   I cid 5577  ‘cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156  ♯chash 14369  ⟨“cs1 14633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-s1 14634

This theorem is referenced by:  s1dm  14646  lsws1  14649  eqs1  14650  wrdl1s1  14652  ccats1alpha  14657  ccatws1len  14658  ccat2s1len  14661  ccats1val2  14665  ccat2s1p1  14667  ccat2s1p2  14668  cats1un  14759  revs1  14803  cats1fvn  14897  cats1len  14899  s2fv0  14926  s2fv1  14927  s2len  14928  s2prop  14946  s2eq2s1eq  14975  ofs2  15010  psgnpmtr  19528  efgsval2  19751  efgs1  19753  efgsp1  19755  efgsfo  19757  efgredlemc  19763  pgpfaclem1  20101  wwlksnext  29913  wwlksnextbi  29914  clwlkclwwlk2  30022  loopclwwlkn1b  30061  clwwlkn1loopb  30062  clwwlkel  30065  clwwlkwwlksb  30073  clwwlknon1  30116  1ewlk  30134  1pthdlem1  30154  1pthdlem2  30155  1wlkdlem1  30156  1wlkdlem4  30159  1pthond  30163  lp1cycl  30171  ccatws1f1o  32936  cycpmco2lem2  33147  cycpmco2lem5  33150  cycpmco2lem6  33151  1arithidomlem2  33564  signstf0  34583  signstfvn  34584  signstfvp  34586  signsvf1  34596  signsvfn  34597  signshf  34603  loop1cycl  35142  upwordsing  46899