Theorem s1len 14402

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14392	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6822	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5403	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14176	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2764	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  {csn 4572  ⟨cop 4578   I cid 5511  ‘cfv 6473  0cc0 10964  1c1 10965  ♯chash 14137  ⟨“cs1 14391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333  df-hash 14138  df-s1 14392

This theorem is referenced by:  s1dm  14404  lsws1  14407  eqs1  14408  wrdl1s1  14410  ccats1alpha  14415  ccatws1len  14416  ccat2s1len  14419  ccats1val2  14424  ccat2s1p1  14426  ccat2s1p2  14427  ccat2s1p1OLD  14428  ccat2s1p2OLD  14429  cats1un  14524  revs1  14568  cats1fvn  14662  cats1len  14664  s2fv0  14691  s2fv1  14692  s2len  14693  s2prop  14711  s2eq2s1eq  14740  ofs2  14773  psgnpmtr  19206  efgsval2  19426  efgs1  19428  efgsp1  19430  efgsfo  19432  efgredlemc  19438  pgpfaclem1  19771  wwlksnext  28487  wwlksnextbi  28488  clwlkclwwlk2  28596  loopclwwlkn1b  28635  clwwlkn1loopb  28636  clwwlkel  28639  clwwlkwwlksb  28647  clwwlknon1  28690  1ewlk  28708  1pthdlem1  28728  1pthdlem2  28729  1wlkdlem1  28730  1wlkdlem4  28733  1pthond  28737  lp1cycl  28745  cycpmco2lem2  31622  cycpmco2lem5  31625  cycpmco2lem6  31626  signstf0  32788  signstfvn  32789  signstfvp  32791  signsvf1  32801  signsvfn  32802  signshf  32808  loop1cycl  33339  upwordsing  46859