Theorem s1len 14756

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14746	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5431	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14516	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2783	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4834   I cid 5544  ‘cfv 6538  0cc0 11203  1c1 11204  ♯chash 14477  ⟨“cs1 14745

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-hash 14478  df-s1 14746

This theorem is used by:  s1dm  14758  s1mapd  14759  lsws1  14763  eqs1  14764  wrdl1s1  14766  ccats1alpha  14771  ccatws1len  14772  ccat2s1len  14775  ccats1val2  14779  ccat2s1p1  14781  ccat2s1p2  14782  cats1un  14874  revs1  14918  cats1fvn  15013  cats1len  15015  s2fv0  15042  s2fv1  15043  s2len  15044  s2prop  15063  s2eq2s1eq  15092  ofs2  15129  psgnpmtr  19729  efgsval2  19952  efgs1  19954  efgsp1  19956  efgsfo  19958  efgredlemc  19964  pgpfaclem1  20302  wwlksnext  30487  wwlksnextbi  30488  clwlkclwwlk2  30599  loopclwwlkn1b  30638  clwwlkn1loopb  30639  clwwlkel  30642  clwwlkwwlksb  30650  clwwlknon1  30693  1ewlk  30711  1pthdlem1  30731  1pthdlem2  30732  1wlkdlem1  30733  1wlkdlem4  30736  1pthond  30740  lp1cycl  30748  loop1cycl  30749  ccatws1f1o  33560  cycpmco2lem2  33734  cycpmco2lem5  33737  cycpmco2lem6  33738  1arithidomlem2  34114  signstf0  35243  signstfvn  35244  signstfvp  35246  signsvf1  35256  signsvfn  35257  signshf  35263