Theorem s1len 14780

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14770	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6911	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5436	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14540	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2786	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {csn 4588  ⟨cop 4838   I cid 5549  ‘cfv 6558  0cc0 11227  1c1 11228  ♯chash 14501  ⟨“cs1 14769

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502  df-s1 14770

This theorem is used by:  s1dm  14782  s1mapd  14783  lsws1  14787  eqs1  14788  wrdl1s1  14790  ccats1alpha  14795  ccatws1len  14796  ccat2s1len  14799  ccats1val2  14803  ccat2s1p1  14805  ccat2s1p2  14806  cats1un  14898  revs1  14942  cats1fvn  15037  cats1len  15039  s2fv0  15066  s2fv1  15067  s2len  15068  s2prop  15087  s2eq2s1eq  15116  ofs2  15153  psgnpmtr  19754  efgsval2  19977  efgs1  19979  efgsp1  19981  efgsfo  19983  efgredlemc  19989  pgpfaclem1  20327  wwlksnext  30512  wwlksnextbi  30513  clwlkclwwlk2  30624  loopclwwlkn1b  30663  clwwlkn1loopb  30664  clwwlkel  30667  clwwlkwwlksb  30675  clwwlknon1  30718  1ewlk  30736  1pthdlem1  30756  1pthdlem2  30757  1wlkdlem1  30758  1wlkdlem4  30761  1pthond  30765  lp1cycl  30773  loop1cycl  30774  ccatws1f1o  33584  cycpmco2lem2  33758  cycpmco2lem5  33761  cycpmco2lem6  33762  1arithidomlem2  34138  signstf0  35267  signstfvn  35268  signstfvp  35270  signsvf1  35280  signsvfn  35281  signshf  35287