Theorem s1len 14311

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14301	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6777	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5379	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14084	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2766	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  {csn 4561  ⟨cop 4567   I cid 5488  ‘cfv 6433  0cc0 10871  1c1 10872  ♯chash 14044  ⟨“cs1 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-s1 14301

This theorem is referenced by:  s1dm  14313  lsws1  14316  eqs1  14317  wrdl1s1  14319  ccats1alpha  14324  ccatws1len  14325  ccat2s1len  14328  ccat2s1lenOLD  14329  ccats1val2  14334  ccat2s1p1  14336  ccat2s1p2  14337  ccat2s1p1OLD  14338  ccat2s1p2OLD  14339  cats1un  14434  revs1  14478  cats1fvn  14571  cats1len  14573  s2fv0  14600  s2fv1  14601  s2len  14602  s2prop  14620  s2eq2s1eq  14649  ofs2  14682  psgnpmtr  19118  efgsval2  19339  efgs1  19341  efgsp1  19343  efgsfo  19345  efgredlemc  19351  pgpfaclem1  19684  wlklenvclwlkOLD  28023  wwlksnext  28258  wwlksnextbi  28259  clwlkclwwlk2  28367  loopclwwlkn1b  28406  clwwlkn1loopb  28407  clwwlkel  28410  clwwlkwwlksb  28418  clwwlknon1  28461  1ewlk  28479  1pthdlem1  28499  1pthdlem2  28500  1wlkdlem1  28501  1wlkdlem4  28504  1pthond  28508  lp1cycl  28516  cycpmco2lem2  31394  cycpmco2lem5  31397  cycpmco2lem6  31398  signstf0  32547  signstfvn  32548  signstfvp  32550  signsvf1  32560  signsvfn  32561  signshf  32567  loop1cycl  33099  upwordsing  46519