Theorem s1len 14239

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14229	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6759	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5373	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14012	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2766	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  {csn 4558  ⟨cop 4564   I cid 5479  ‘cfv 6418  0cc0 10802  1c1 10803  ♯chash 13972  ⟨“cs1 14228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-s1 14229

This theorem is referenced by:  s1dm  14241  lsws1  14244  eqs1  14245  wrdl1s1  14247  ccats1alpha  14252  ccatws1len  14253  ccat2s1len  14256  ccat2s1lenOLD  14257  ccats1val2  14262  ccat2s1p1  14264  ccat2s1p2  14265  ccat2s1p1OLD  14266  ccat2s1p2OLD  14267  cats1un  14362  revs1  14406  cats1fvn  14499  cats1len  14501  s2fv0  14528  s2fv1  14529  s2len  14530  s2prop  14548  s2eq2s1eq  14577  ofs2  14610  psgnpmtr  19033  efgsval2  19254  efgs1  19256  efgsp1  19258  efgsfo  19260  efgredlemc  19266  pgpfaclem1  19599  wlklenvclwlkOLD  27925  wwlksnext  28159  wwlksnextbi  28160  clwlkclwwlk2  28268  loopclwwlkn1b  28307  clwwlkn1loopb  28308  clwwlkel  28311  clwwlkwwlksb  28319  clwwlknon1  28362  1ewlk  28380  1pthdlem1  28400  1pthdlem2  28401  1wlkdlem1  28402  1wlkdlem4  28405  1pthond  28409  lp1cycl  28417  cycpmco2lem2  31296  cycpmco2lem5  31299  cycpmco2lem6  31300  signstf0  32447  signstfvn  32448  signstfvp  32450  signsvf1  32460  signsvfn  32461  signshf  32467  loop1cycl  32999