Theorem s1len 14611

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14601	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6875	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5436	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14375	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2757	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3457  {csn 4599  ⟨cop 4605   I cid 5544  ‘cfv 6527  0cc0 11121  1c1 11122  ♯chash 14336  ⟨“cs1 14600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13514  df-hash 14337  df-s1 14601

This theorem is referenced by:  s1dm  14613  lsws1  14616  eqs1  14617  wrdl1s1  14619  ccats1alpha  14624  ccatws1len  14625  ccat2s1len  14628  ccats1val2  14632  ccat2s1p1  14634  ccat2s1p2  14635  cats1un  14726  revs1  14770  cats1fvn  14864  cats1len  14866  s2fv0  14893  s2fv1  14894  s2len  14895  s2prop  14913  s2eq2s1eq  14942  ofs2  14977  psgnpmtr  19476  efgsval2  19699  efgs1  19701  efgsp1  19703  efgsfo  19705  efgredlemc  19711  pgpfaclem1  20049  wwlksnext  29807  wwlksnextbi  29808  clwlkclwwlk2  29916  loopclwwlkn1b  29955  clwwlkn1loopb  29956  clwwlkel  29959  clwwlkwwlksb  29967  clwwlknon1  30010  1ewlk  30028  1pthdlem1  30048  1pthdlem2  30049  1wlkdlem1  30050  1wlkdlem4  30053  1pthond  30057  lp1cycl  30065  ccatws1f1o  32846  cycpmco2lem2  33056  cycpmco2lem5  33059  cycpmco2lem6  33060  1arithidomlem2  33469  signstf0  34521  signstfvn  34522  signstfvp  34524  signsvf1  34534  signsvfn  34535  signshf  34541  loop1cycl  35080  upwordsing  46843