Theorem s1len 14592

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14582	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6899	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5466	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14364	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2753	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461  {csn 4630  ⟨cop 4636   I cid 5575  ‘cfv 6549  0cc0 11140  1c1 11141  ♯chash 14325  ⟨“cs1 14581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-hash 14326  df-s1 14582

This theorem is referenced by:  s1dm  14594  lsws1  14597  eqs1  14598  wrdl1s1  14600  ccats1alpha  14605  ccatws1len  14606  ccat2s1len  14609  ccats1val2  14613  ccat2s1p1  14615  ccat2s1p2  14616  cats1un  14707  revs1  14751  cats1fvn  14845  cats1len  14847  s2fv0  14874  s2fv1  14875  s2len  14876  s2prop  14894  s2eq2s1eq  14923  ofs2  14954  psgnpmtr  19477  efgsval2  19700  efgs1  19702  efgsp1  19704  efgsfo  19706  efgredlemc  19712  pgpfaclem1  20050  wwlksnext  29776  wwlksnextbi  29777  clwlkclwwlk2  29885  loopclwwlkn1b  29924  clwwlkn1loopb  29925  clwwlkel  29928  clwwlkwwlksb  29936  clwwlknon1  29979  1ewlk  29997  1pthdlem1  30017  1pthdlem2  30018  1wlkdlem1  30019  1wlkdlem4  30022  1pthond  30026  lp1cycl  30034  ccatws1f1o  32761  cycpmco2lem2  32940  cycpmco2lem5  32943  cycpmco2lem6  32944  1arithidomlem2  33348  signstf0  34331  signstfvn  34332  signstfvp  34334  signsvf1  34344  signsvfn  34345  signshf  34351  loop1cycl  34878  upwordsing  46408