Theorem s1len 14530

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14520	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6837	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5412	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14292	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2759	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  {csn 4580  ⟨cop 4586   I cid 5518  ‘cfv 6492  0cc0 11026  1c1 11027  ♯chash 14253  ⟨“cs1 14519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254  df-s1 14520

This theorem is referenced by:  s1dm  14532  lsws1  14535  eqs1  14536  wrdl1s1  14538  ccats1alpha  14543  ccatws1len  14544  ccat2s1len  14547  ccats1val2  14551  ccat2s1p1  14553  ccat2s1p2  14554  cats1un  14644  revs1  14688  cats1fvn  14781  cats1len  14783  s2fv0  14810  s2fv1  14811  s2len  14812  s2prop  14830  s2eq2s1eq  14859  ofs2  14894  psgnpmtr  19439  efgsval2  19662  efgs1  19664  efgsp1  19666  efgsfo  19668  efgredlemc  19674  pgpfaclem1  20012  wwlksnext  29966  wwlksnextbi  29967  clwlkclwwlk2  30078  loopclwwlkn1b  30117  clwwlkn1loopb  30118  clwwlkel  30121  clwwlkwwlksb  30129  clwwlknon1  30172  1ewlk  30190  1pthdlem1  30210  1pthdlem2  30211  1wlkdlem1  30212  1wlkdlem4  30215  1pthond  30219  lp1cycl  30227  ccatws1f1o  33033  cycpmco2lem2  33209  cycpmco2lem5  33212  cycpmco2lem6  33213  1arithidomlem2  33617  signstf0  34725  signstfvn  34726  signstfvp  34728  signsvf1  34738  signsvfn  34739  signshf  34745  loop1cycl  35331