Theorem s1len 14624

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 14614	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6879	. 2 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 5439	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 14387	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2758	1 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  {csn 4601  ⟨cop 4607   I cid 5547  ‘cfv 6531  0cc0 11129  1c1 11130  ♯chash 14348  ⟨“cs1 14613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-hash 14349  df-s1 14614

This theorem is referenced by:  s1dm  14626  lsws1  14629  eqs1  14630  wrdl1s1  14632  ccats1alpha  14637  ccatws1len  14638  ccat2s1len  14641  ccats1val2  14645  ccat2s1p1  14647  ccat2s1p2  14648  cats1un  14739  revs1  14783  cats1fvn  14877  cats1len  14879  s2fv0  14906  s2fv1  14907  s2len  14908  s2prop  14926  s2eq2s1eq  14955  ofs2  14990  psgnpmtr  19491  efgsval2  19714  efgs1  19716  efgsp1  19718  efgsfo  19720  efgredlemc  19726  pgpfaclem1  20064  wwlksnext  29875  wwlksnextbi  29876  clwlkclwwlk2  29984  loopclwwlkn1b  30023  clwwlkn1loopb  30024  clwwlkel  30027  clwwlkwwlksb  30035  clwwlknon1  30078  1ewlk  30096  1pthdlem1  30116  1pthdlem2  30117  1wlkdlem1  30118  1wlkdlem4  30121  1pthond  30125  lp1cycl  30133  ccatws1f1o  32927  cycpmco2lem2  33138  cycpmco2lem5  33141  cycpmco2lem6  33142  1arithidomlem2  33551  signstf0  34600  signstfvn  34601  signstfvp  34603  signsvf1  34613  signsvfn  34614  signshf  34620  loop1cycl  35159  upwordsing  46913