Theorem cats1fv 14908

Description: A symbol other than the last in a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3	⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
cats1fv.4	⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
cats1fv.5	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
cats1fv.6	⊢ 𝑁 < 𝑀

Assertion

Ref	Expression
cats1fv	⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Proof of Theorem cats1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	fveq1i 6921	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝑁) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)
3		cats1cli.2	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
4		s1cli 14653	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
5		cats1fv.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
6		nn0uz 12945	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtri 2842	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)
8		lencl 14581	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
9		nn0z 12664	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
10	3, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℤ
11		cats1fv.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < 𝑀
12		cats1fvn.3	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
13	11, 12	breqtrri 5193	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < (♯‘𝑆)
14		elfzo2 13719	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑆)))
15	7, 10, 13, 14	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))
16		ccatval1 14625	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
17	3, 4, 15, 16	mp3an 1461	. . 3 ⊢ ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁)
18	2, 17	eqtri 2768	. 2 ⊢ (𝑇‘𝑁) = (𝑆‘𝑁)
19		cats1fv.4	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
20	18, 19	eqtrid 2792	1 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184   < clt 11324  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562   ++ cconcat 14618  ⟨“cs1 14643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644

This theorem is referenced by:  s2fv0  14936  s3fv0  14940  s3fv1  14941  s4fv0  14944  s4fv1  14945  s4fv2  14946