Theorem cats1fv 14825

Description: A symbol other than the last in a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3	⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
cats1fv.4	⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
cats1fv.5	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
cats1fv.6	⊢ 𝑁 < 𝑀

Assertion

Ref	Expression
cats1fv	⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Proof of Theorem cats1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	fveq1i 6859	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝑁) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)
3		cats1cli.2	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
4		s1cli 14570	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
5		cats1fv.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
6		nn0uz 12835	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtri 2826	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)
8		lencl 14498	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
9		nn0z 12554	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
10	3, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℤ
11		cats1fv.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < 𝑀
12		cats1fvn.3	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
13	11, 12	breqtrri 5134	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < (♯‘𝑆)
14		elfzo2 13623	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑆)))
15	7, 10, 13, 14	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))
16		ccatval1 14542	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
17	3, 4, 15, 16	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁)
18	2, 17	eqtri 2752	. 2 ⊢ (𝑇‘𝑁) = (𝑆‘𝑁)
19		cats1fv.4	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
20	18, 19	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068   < clt 11208  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535  ⟨“cs1 14560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561

This theorem is referenced by:  s2fv0  14853  s3fv0  14857  s3fv1  14858  s4fv0  14861  s4fv1  14862  s4fv2  14863  gpgprismgr4cycllem6  48090  gpgprismgr4cycllem7  48091  gpgprismgr4cycllem10  48094