MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cats1fv 13981
Description: A symbol other than the last in a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3 (♯‘𝑆) = 𝑀
cats1fv.4 (𝑌𝑉 → (𝑆𝑁) = 𝑌)
cats1fv.5 𝑁 ∈ ℕ0
cats1fv.6 𝑁 < 𝑀
Assertion
Ref Expression
cats1fv (𝑌𝑉 → (𝑇𝑁) = 𝑌)

Proof of Theorem cats1fv
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . . 4 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
21fveq1i 6435 . . 3 (𝑇𝑁) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)
3 cats1cli.2 . . . 4 𝑆 ∈ Word V
4 s1cli 13666 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
5 cats1fv.5 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ0
6 nn0uz 12005 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
75, 6eleqtri 2905 . . . . 5 𝑁 ∈ (ℤ‘0)
8 lencl 13594 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
9 nn0z 11729 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
103, 8, 9mp2b 10 . . . . 5 (♯‘𝑆) ∈ ℤ
11 cats1fv.6 . . . . . 6 𝑁 < 𝑀
12 cats1fvn.3 . . . . . 6 (♯‘𝑆) = 𝑀
1311, 12breqtrri 4901 . . . . 5 𝑁 < (♯‘𝑆)
14 elfzo2 12769 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑆)))
157, 10, 13, 14mpbir3an 1447 . . . 4 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))
16 ccatval1 13638 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆𝑁))
173, 4, 15, 16mp3an 1591 . . 3 ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆𝑁)
182, 17eqtri 2850 . 2 (𝑇𝑁) = (𝑆𝑁)
19 cats1fv.4 . 2 (𝑌𝑉 → (𝑆𝑁) = 𝑌)
2018, 19syl5eq 2874 1 (𝑌𝑉 → (𝑇𝑁) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3415   class class class wbr 4874  cfv 6124  (class class class)co 6906  0cc0 10253   < clt 10392  0cn0 11619  cz 11705  cuz 11969  ..^cfzo 12761  chash 13411  Word cword 13575   ++ cconcat 13631  ⟨“cs1 13656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-concat 13632  df-s1 13657
This theorem is referenced by:  s2fv0  14009  s3fv0  14013  s3fv1  14014  s4fv0  14017  s4fv1  14018  s4fv2  14019
  Copyright terms: Public domain W3C validator