Theorem cats1fv 14832

Description: A symbol other than the last in a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3	⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
cats1fv.4	⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
cats1fv.5	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
cats1fv.6	⊢ 𝑁 < 𝑀

Assertion

Ref	Expression
cats1fv	⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Proof of Theorem cats1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	fveq1i 6862	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝑁) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)
3		cats1cli.2	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
4		s1cli 14577	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
5		cats1fv.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
6		nn0uz 12842	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtri 2827	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)
8		lencl 14505	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
9		nn0z 12561	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
10	3, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℤ
11		cats1fv.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < 𝑀
12		cats1fvn.3	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
13	11, 12	breqtrri 5137	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < (♯‘𝑆)
14		elfzo2 13630	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑆)))
15	7, 10, 13, 14	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))
16		ccatval1 14549	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
17	3, 4, 15, 16	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁)
18	2, 17	eqtri 2753	. 2 ⊢ (𝑇‘𝑁) = (𝑆‘𝑁)
19		cats1fv.4	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
20	18, 19	eqtrid 2777	1 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075   < clt 11215  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   ++ cconcat 14542  ⟨“cs1 14567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568

This theorem is referenced by:  s2fv0  14860  s3fv0  14864  s3fv1  14865  s4fv0  14868  s4fv1  14869  s4fv2  14870  gpgprismgr4cycllem6  48094  gpgprismgr4cycllem7  48095  gpgprismgr4cycllem10  48098