MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cats1fv 14213
Description: A symbol other than the last in a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3 (♯‘𝑆) = 𝑀
cats1fv.4 (𝑌𝑉 → (𝑆𝑁) = 𝑌)
cats1fv.5 𝑁 ∈ ℕ0
cats1fv.6 𝑁 < 𝑀
Assertion
Ref Expression
cats1fv (𝑌𝑉 → (𝑇𝑁) = 𝑌)

Proof of Theorem cats1fv
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . . 4 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
21fveq1i 6664 . . 3 (𝑇𝑁) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)
3 cats1cli.2 . . . 4 𝑆 ∈ Word V
4 s1cli 13951 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
5 cats1fv.5 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ0
6 nn0uz 12272 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
75, 6eleqtri 2909 . . . . 5 𝑁 ∈ (ℤ‘0)
8 lencl 13875 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
9 nn0z 11997 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
103, 8, 9mp2b 10 . . . . 5 (♯‘𝑆) ∈ ℤ
11 cats1fv.6 . . . . . 6 𝑁 < 𝑀
12 cats1fvn.3 . . . . . 6 (♯‘𝑆) = 𝑀
1311, 12breqtrri 5084 . . . . 5 𝑁 < (♯‘𝑆)
14 elfzo2 13033 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑆)))
157, 10, 13, 14mpbir3an 1336 . . . 4 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))
16 ccatval1 13922 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆𝑁))
173, 4, 15, 16mp3an 1455 . . 3 ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆𝑁)
182, 17eqtri 2842 . 2 (𝑇𝑁) = (𝑆𝑁)
19 cats1fv.4 . 2 (𝑌𝑉 → (𝑆𝑁) = 𝑌)
2018, 19syl5eq 2866 1 (𝑌𝑉 → (𝑇𝑁) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1531  wcel 2108  Vcvv 3493   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529   < clt 10667  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  ..^cfzo 13025  chash 13682  Word cword 13853   ++ cconcat 13914  ⟨“cs1 13941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854  df-concat 13915  df-s1 13942
This theorem is referenced by:  s2fv0  14241  s3fv0  14245  s3fv1  14246  s4fv0  14249  s4fv1  14250  s4fv2  14251
  Copyright terms: Public domain W3C validator