Theorem cats1fv 14812

Description: A symbol other than the last in a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3	⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
cats1fv.4	⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
cats1fv.5	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
cats1fv.6	⊢ 𝑁 < 𝑀

Assertion

Ref	Expression
cats1fv	⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Proof of Theorem cats1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	fveq1i 6828	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝑁) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)
3		cats1cli.2	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
4		s1cli 14559	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
5		cats1fv.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
6		nn0uz 12817	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtri 2837	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)
8		lencl 14486	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
9		nn0z 12539	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
10	3, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℤ
11		cats1fv.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < 𝑀
12		cats1fvn.3	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
13	11, 12	breqtrri 5099	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < (♯‘𝑆)
14		elfzo2 13607	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑆)))
15	7, 10, 13, 14	mpbir3an 1348	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))
16		ccatval1 14530	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
17	3, 4, 15, 16	mp3an 1469	. . 3 ⊢ ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁)
18	2, 17	eqtri 2762	. 2 ⊢ (𝑇‘𝑁) = (𝑆‘𝑁)
19		cats1fv.4	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
20	18, 19	eqtrid 2786	1 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029   < clt 11170  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466   ++ cconcat 14523  ⟨“cs1 14549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550

This theorem is referenced by:  s2fv0  14840  s3fv0  14844  s3fv1  14845  s4fv0  14848  s4fv1  14849  s4fv2  14850  gpgprismgr4cycllem6  48591  gpgprismgr4cycllem7  48592  gpgprismgr4cycllem10  48595