Theorem cats1fv 14850

Description: A symbol other than the last in a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3	⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
cats1fv.4	⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
cats1fv.5	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
cats1fv.6	⊢ 𝑁 < 𝑀

Assertion

Ref	Expression
cats1fv	⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Proof of Theorem cats1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2	1	fveq1i 6903	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝑁) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)
3		cats1cli.2	. . . 4 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
4		s1cli 14595	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
5		cats1fv.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
6		nn0uz 12902	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	eleqtri 2827	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0)
8		lencl 14523	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
9		nn0z 12621	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
10	3, 8, 9	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℤ
11		cats1fv.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < 𝑀
12		cats1fvn.3	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
13	11, 12	breqtrri 5179	. . . . 5 ⊢ 𝑁 < (♯‘𝑆)
14		elfzo2 13675	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑆)))
15	7, 10, 13, 14	mpbir3an 1338	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))
16		ccatval1 14567	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁))
17	3, 4, 15, 16	mp3an 1457	. . 3 ⊢ ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆‘𝑁)
18	2, 17	eqtri 2756	. 2 ⊢ (𝑇‘𝑁) = (𝑆‘𝑁)
19		cats1fv.4	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑆‘𝑁) = 𝑌)
20	18, 19	eqtrid 2780	1 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑁) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146   < clt 11286  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ..^cfzo 13667  ♯chash 14329  Word cword 14504   ++ cconcat 14560  ⟨“cs1 14585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586

This theorem is referenced by:  s2fv0  14878  s3fv0  14882  s3fv1  14883  s4fv0  14886  s4fv1  14887  s4fv2  14888