MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cats1fv 14572
Description: A symbol other than the last in a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3 (♯‘𝑆) = 𝑀
cats1fv.4 (𝑌𝑉 → (𝑆𝑁) = 𝑌)
cats1fv.5 𝑁 ∈ ℕ0
cats1fv.6 𝑁 < 𝑀
Assertion
Ref Expression
cats1fv (𝑌𝑉 → (𝑇𝑁) = 𝑌)

Proof of Theorem cats1fv
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . . 4 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
21fveq1i 6775 . . 3 (𝑇𝑁) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁)
3 cats1cli.2 . . . 4 𝑆 ∈ Word V
4 s1cli 14310 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
5 cats1fv.5 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ0
6 nn0uz 12620 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
75, 6eleqtri 2837 . . . . 5 𝑁 ∈ (ℤ‘0)
8 lencl 14236 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
9 nn0z 12343 . . . . . 6 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
103, 8, 9mp2b 10 . . . . 5 (♯‘𝑆) ∈ ℤ
11 cats1fv.6 . . . . . 6 𝑁 < 𝑀
12 cats1fvn.3 . . . . . 6 (♯‘𝑆) = 𝑀
1311, 12breqtrri 5101 . . . . 5 𝑁 < (♯‘𝑆)
14 elfzo2 13390 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (♯‘𝑆)))
157, 10, 13, 14mpbir3an 1340 . . . 4 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))
16 ccatval1 14281 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆𝑁))
173, 4, 15, 16mp3an 1460 . . 3 ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = (𝑆𝑁)
182, 17eqtri 2766 . 2 (𝑇𝑁) = (𝑆𝑁)
19 cats1fv.4 . 2 (𝑌𝑉 → (𝑆𝑁) = 𝑌)
2018, 19eqtrid 2790 1 (𝑌𝑉 → (𝑇𝑁) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   < clt 11009  0cn0 12233  cz 12319  cuz 12582  ..^cfzo 13382  chash 14044  Word cword 14217   ++ cconcat 14273  ⟨“cs1 14300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301
This theorem is referenced by:  s2fv0  14600  s3fv0  14604  s3fv1  14605  s4fv0  14608  s4fv1  14609  s4fv2  14610
  Copyright terms: Public domain W3C validator