MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercoll2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isercoll2 15612
Description: Generalize isercoll 15611 so that both sequences have arbitrary starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
isercoll2.w π‘Š = (β„€β‰₯β€˜π‘)
isercoll2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
isercoll2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
isercoll2.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆπ‘Š)
isercoll2.i ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) < (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
isercoll2.0 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘Š βˆ– ran 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 0)
isercoll2.f ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
isercoll2.h ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
isercoll2 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐻) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐴   π‘˜,𝐹,𝑛   π‘˜,𝐺,𝑛   π‘˜,𝐻,𝑛   𝑛,𝑁   π‘˜,𝑀,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛   𝑛,π‘Š   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem isercoll2
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll2.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 isercoll2.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 1z 12589 . . . 4 1 ∈ β„€
4 zsubcl 12601 . . . 4 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
53, 2, 4sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
6 seqex 13965 . . . 4 seq𝑀( + , 𝐻) ∈ V
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐻) ∈ V)
8 seqex 13965 . . . 4 seq1( + , (π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))) ∈ V
98a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ seq1( + , (π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))) ∈ V)
10 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1110, 1eleqtrdi 2844 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
125adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (1 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
13 simpl 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ πœ‘)
14 elfzuz 13494 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...π‘˜) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
1514, 1eleqtrrdi 2845 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (𝑀...π‘˜) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
16 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
1716, 1eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
18 eluzelz 12829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
2019zcnd 12664 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
212zcnd 12664 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
2221adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
23 1cnd 11206 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 1 ∈ β„‚)
2420, 22, 23subadd23d 11590 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 1) = (𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)))
25 uznn0sub 12858 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑗 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0)
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝑗 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0)
27 nn0p1nn 12508 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0 β†’ ((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 1) ∈ β„•)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 1) ∈ β„•)
2924, 28eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) ∈ β„•)
30 oveq1 7413 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) = ((𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) βˆ’ 1))
3130oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)) = (𝑀 + ((𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) βˆ’ 1)))
3231fveq2d 6893 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) β†’ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))) = (π»β€˜(𝑀 + ((𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) βˆ’ 1))))
33 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))
34 fvex 6902 . . . . . . . . 9 (π»β€˜(𝑀 + ((𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) βˆ’ 1))) ∈ V
3532, 33, 34fvmpt 6996 . . . . . . . 8 ((𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜(𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀))) = (π»β€˜(𝑀 + ((𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) βˆ’ 1))))
3629, 35syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜(𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀))) = (π»β€˜(𝑀 + ((𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) βˆ’ 1))))
3724oveq1d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 1) βˆ’ 1) = ((𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) βˆ’ 1))
3826nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝑗 βˆ’ 𝑀) ∈ β„‚)
39 ax-1cn 11165 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
40 pncan 11463 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗 βˆ’ 𝑀) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 1) βˆ’ 1) = (𝑗 βˆ’ 𝑀))
4138, 39, 40sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (((𝑗 βˆ’ 𝑀) + 1) βˆ’ 1) = (𝑗 βˆ’ 𝑀))
4237, 41eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) βˆ’ 1) = (𝑗 βˆ’ 𝑀))
4342oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝑀 + ((𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) βˆ’ 1)) = (𝑀 + (𝑗 βˆ’ 𝑀)))
4422, 20pncan3d 11571 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝑀 + (𝑗 βˆ’ 𝑀)) = 𝑗)
4543, 44eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (𝑀 + ((𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) βˆ’ 1)) = 𝑗)
4645fveq2d 6893 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜(𝑀 + ((𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀)) βˆ’ 1))) = (π»β€˜π‘—))
4736, 46eqtr2d 2774 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘—) = ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜(𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀))))
4813, 15, 47syl2an 597 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...π‘˜)) β†’ (π»β€˜π‘—) = ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜(𝑗 + (1 βˆ’ 𝑀))))
4911, 12, 48seqshft2 13991 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( + , 𝐻)β€˜π‘˜) = (seq(𝑀 + (1 βˆ’ 𝑀))( + , (π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))))β€˜(π‘˜ + (1 βˆ’ 𝑀))))
5021adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
51 pncan3 11465 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑀 + (1 βˆ’ 𝑀)) = 1)
5250, 39, 51sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑀 + (1 βˆ’ 𝑀)) = 1)
5352seqeq1d 13969 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ seq(𝑀 + (1 βˆ’ 𝑀))( + , (π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))) = seq1( + , (π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))))
5453fveq1d 6891 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (seq(𝑀 + (1 βˆ’ 𝑀))( + , (π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))))β€˜(π‘˜ + (1 βˆ’ 𝑀))) = (seq1( + , (π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))))β€˜(π‘˜ + (1 βˆ’ 𝑀))))
5549, 54eqtr2d 2774 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (seq1( + , (π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))))β€˜(π‘˜ + (1 βˆ’ 𝑀))) = (seq𝑀( + , 𝐻)β€˜π‘˜))
561, 2, 5, 7, 9, 55climshft2 15523 . 2 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐻) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))) ⇝ 𝐴))
57 isercoll2.w . . 3 π‘Š = (β„€β‰₯β€˜π‘)
58 isercoll2.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
59 isercoll2.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆπ‘Š)
6059adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ 𝐺:π‘βŸΆπ‘Š)
61 uzid 12834 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
622, 61syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
63 nnm1nn0 12510 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„• β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
64 uzaddcl 12885 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (π‘₯ βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6562, 63, 64syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6665, 1eleqtrrdi 2845 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)) ∈ 𝑍)
6760, 66ffvelcdmd 7085 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))) ∈ π‘Š)
6867fmpttd 7112 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))):β„•βŸΆπ‘Š)
69 fveq2 6889 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))))
70 fvoveq1 7429 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) = (πΊβ€˜((𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) + 1)))
7169, 70breq12d 5161 . . . . . 6 (π‘˜ = (𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) < (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ↔ (πΊβ€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))) < (πΊβ€˜((𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) + 1))))
72 isercoll2.i . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) < (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
7372ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘˜) < (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
7473adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘˜) < (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
75 nnm1nn0 12510 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
76 uzaddcl 12885 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7762, 75, 76syl2an 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7877, 1eleqtrrdi 2845 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) ∈ 𝑍)
7971, 74, 78rspcdva 3614 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))) < (πΊβ€˜((𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) + 1)))
80 nncn 12217 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
8180adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„‚)
82 1cnd 11206 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
8381, 82, 82addsubd 11589 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑗 + 1) βˆ’ 1) = ((𝑗 βˆ’ 1) + 1))
8483oveq2d 7422 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑀 + ((𝑗 + 1) βˆ’ 1)) = (𝑀 + ((𝑗 βˆ’ 1) + 1)))
8521adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
8675adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
8786nn0cnd 12531 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
8885, 87, 82addassd 11233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) + 1) = (𝑀 + ((𝑗 βˆ’ 1) + 1)))
8984, 88eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑀 + ((𝑗 + 1) βˆ’ 1)) = ((𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) + 1))
9089fveq2d 6893 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑀 + ((𝑗 + 1) βˆ’ 1))) = (πΊβ€˜((𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) + 1)))
9179, 90breqtrrd 5176 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))) < (πΊβ€˜(𝑀 + ((𝑗 + 1) βˆ’ 1))))
92 oveq1 7413 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) = (𝑗 βˆ’ 1))
9392oveq2d 7422 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)) = (𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)))
9493fveq2d 6893 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))) = (πΊβ€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))))
95 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))
96 fvex 6902 . . . . . 6 (πΊβ€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))) ∈ V
9794, 95, 96fvmpt 6996 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜π‘—) = (πΊβ€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))))
9897adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜π‘—) = (πΊβ€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))))
99 peano2nn 12221 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
10099adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
101 oveq1 7413 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) = ((𝑗 + 1) βˆ’ 1))
102101oveq2d 7422 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ (𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)) = (𝑀 + ((𝑗 + 1) βˆ’ 1)))
103102fveq2d 6893 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑗 + 1) β†’ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))) = (πΊβ€˜(𝑀 + ((𝑗 + 1) βˆ’ 1))))
104 fvex 6902 . . . . . 6 (πΊβ€˜(𝑀 + ((𝑗 + 1) βˆ’ 1))) ∈ V
105103, 95, 104fvmpt 6996 . . . . 5 ((𝑗 + 1) ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜(𝑗 + 1)) = (πΊβ€˜(𝑀 + ((𝑗 + 1) βˆ’ 1))))
106100, 105syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜(𝑗 + 1)) = (πΊβ€˜(𝑀 + ((𝑗 + 1) βˆ’ 1))))
10791, 98, 1063brtr4d 5180 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜π‘—) < ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜(𝑗 + 1)))
10859ffnd 6716 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑍)
109 uznn0sub 12858 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0)
11011, 109syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0)
111 nn0p1nn 12508 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) ∈ β„•)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) ∈ β„•)
113110nn0cnd 12531 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) ∈ β„‚)
114 pncan 11463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘˜ βˆ’ 𝑀) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) βˆ’ 1) = (π‘˜ βˆ’ 𝑀))
115113, 39, 114sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) βˆ’ 1) = (π‘˜ βˆ’ 𝑀))
116115oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑀 + (((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) βˆ’ 1)) = (𝑀 + (π‘˜ βˆ’ 𝑀)))
117 eluzelz 12829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
118117, 1eleq2s 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
119118zcnd 12664 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
120 pncan3 11465 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ (𝑀 + (π‘˜ βˆ’ 𝑀)) = π‘˜)
12121, 119, 120syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑀 + (π‘˜ βˆ’ 𝑀)) = π‘˜)
122116, 121eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ = (𝑀 + (((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) βˆ’ 1)))
123122fveq2d 6893 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(𝑀 + (((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) βˆ’ 1))))
124 oveq1 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = ((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) = (((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) βˆ’ 1))
125124oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = ((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) β†’ (𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)) = (𝑀 + (((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) βˆ’ 1)))
126125fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = ((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) β†’ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))) = (πΊβ€˜(𝑀 + (((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) βˆ’ 1))))
127126rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) ∈ β„• ∧ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(𝑀 + (((π‘˜ βˆ’ 𝑀) + 1) βˆ’ 1)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))
128112, 123, 127syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))
129 fvex 6902 . . . . . . . . . . 11 (πΊβ€˜π‘˜) ∈ V
13095elrnmpt 5954 . . . . . . . . . . 11 ((πΊβ€˜π‘˜) ∈ V β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))))
131129, 130ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((πΊβ€˜π‘˜) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„• (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))
132128, 131sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))))
133132ralrimiva 3147 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))))
134 ffnfv 7115 . . . . . . . 8 (𝐺:π‘βŸΆran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))) ↔ (𝐺 Fn 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))))
135108, 133, 134sylanbrc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘βŸΆran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))))
136135frnd 6723 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))))
137136sscond 4141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Š βˆ– ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))) βŠ† (π‘Š βˆ– ran 𝐺))
138137sselda 3982 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘Š βˆ– ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))))) β†’ 𝑛 ∈ (π‘Š βˆ– ran 𝐺))
139 isercoll2.0 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘Š βˆ– ran 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 0)
140138, 139syldan 592 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘Š βˆ– ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1)))))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = 0)
141 isercoll2.f . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ π‘Š) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
142 fveq2 6889 . . . . . 6 (π‘˜ = (𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = (π»β€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))))
14369fveq2d 6893 . . . . . 6 (π‘˜ = (𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)))))
144142, 143eqeq12d 2749 . . . . 5 (π‘˜ = (𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)) β†’ ((π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ↔ (π»β€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))))))
145 isercoll2.h . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
146145ralrimiva 3147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
147146adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 (π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
148144, 147, 78rspcdva 3614 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π»β€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)))))
14993fveq2d 6893 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑗 β†’ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))) = (π»β€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))))
150 fvex 6902 . . . . . 6 (π»β€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))) ∈ V
151149, 33, 150fvmpt 6996 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜π‘—) = (π»β€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))))
152151adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜π‘—) = (π»β€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1))))
15398fveq2d 6893 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜π‘—)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜(𝑀 + (𝑗 βˆ’ 1)))))
154148, 152, 1533eqtr4d 2783 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜π‘—) = (πΉβ€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (πΊβ€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))β€˜π‘—)))
15557, 58, 68, 107, 140, 141, 154isercoll 15611 . 2 (πœ‘ β†’ (seq1( + , (π‘₯ ∈ β„• ↦ (π»β€˜(𝑀 + (π‘₯ βˆ’ 1))))) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
15656, 155bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐻) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   < clt 11245   βˆ’ cmin 11441  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  ...cfz 13481  seqcseq 13963   ⇝ cli 15425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-oadd 8467  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-seq 13964  df-hash 14288  df-shft 15011  df-clim 15429
This theorem is referenced by:  iserodd  16765  stirlinglem5  44781
  Copyright terms: Public domain W3C validator