MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercoll2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isercoll2 15705
Description: Generalize isercoll 15704 so that both sequences have arbitrary starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
isercoll2.w 𝑊 = (ℤ𝑁)
isercoll2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isercoll2.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
isercoll2.g (𝜑𝐺:𝑍𝑊)
isercoll2.i ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
isercoll2.0 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
isercoll2.f ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
isercoll2.h ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
isercoll2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐻,𝑛   𝑛,𝑁   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑛,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem isercoll2
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isercoll2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 1z 12647 . . . 4 1 ∈ ℤ
4 zsubcl 12659 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
53, 2, 4sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
6 seqex 14044 . . . 4 seq𝑀( + , 𝐻) ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐻) ∈ V)
8 seqex 14044 . . . 4 seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ∈ V
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ∈ V)
10 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
1110, 1eleqtrdi 2851 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
125adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
13 simpl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝜑)
14 elfzuz 13560 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
1514, 1eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑗𝑍)
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1716, 1eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
18 eluzelz 12888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ ℤ)
2019zcnd 12723 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ ℂ)
212zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2221adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑀 ∈ ℂ)
23 1cnd 11256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 1 ∈ ℂ)
2420, 22, 23subadd23d 11642 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗𝑀) + 1) = (𝑗 + (1 − 𝑀)))
25 uznn0sub 12917 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑗𝑀) ∈ ℕ0)
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗𝑀) ∈ ℕ0)
27 nn0p1nn 12565 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑗𝑀) + 1) ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗𝑀) + 1) ∈ ℕ)
2924, 28eqeltrrd 2842 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + (1 − 𝑀)) ∈ ℕ)
30 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑗 + (1 − 𝑀)) → (𝑥 − 1) = ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))
3130oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑗 + (1 − 𝑀)) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) = (𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1)))
3231fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑗 + (1 − 𝑀)) → (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))))
33 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
34 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))) ∈ V
3532, 33, 34fvmpt 7016 . . . . . . . 8 ((𝑗 + (1 − 𝑀)) ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + (1 − 𝑀))) = (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))))
3629, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + (1 − 𝑀))) = (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))))
3724oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑗𝑀) + 1) − 1) = ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))
3826nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗𝑀) ∈ ℂ)
39 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
40 pncan 11514 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑗𝑀) + 1) − 1) = (𝑗𝑀))
4138, 39, 40sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑗𝑀) + 1) − 1) = (𝑗𝑀))
4237, 41eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1) = (𝑗𝑀))
4342oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1)) = (𝑀 + (𝑗𝑀)))
4422, 20pncan3d 11623 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀 + (𝑗𝑀)) = 𝑗)
4543, 44eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1)) = 𝑗)
4645fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))) = (𝐻𝑗))
4736, 46eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + (1 − 𝑀))))
4813, 15, 47syl2an 596 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝐻𝑗) = ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + (1 − 𝑀))))
4911, 12, 48seqshft2 14069 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑘) = (seq(𝑀 + (1 − 𝑀))( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))‘(𝑘 + (1 − 𝑀))))
5021adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀 ∈ ℂ)
51 pncan3 11516 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
5250, 39, 51sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
5352seqeq1d 14048 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → seq(𝑀 + (1 − 𝑀))( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) = seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))))
5453fveq1d 6908 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (seq(𝑀 + (1 − 𝑀))( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))‘(𝑘 + (1 − 𝑀))) = (seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))‘(𝑘 + (1 − 𝑀))))
5549, 54eqtr2d 2778 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))‘(𝑘 + (1 − 𝑀))) = (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑘))
561, 2, 5, 7, 9, 55climshft2 15618 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ⇝ 𝐴))
57 isercoll2.w . . 3 𝑊 = (ℤ𝑁)
58 isercoll2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
59 isercoll2.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑍𝑊)
6059adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝐺:𝑍𝑊)
61 uzid 12893 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
622, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
63 nnm1nn0 12567 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 − 1) ∈ ℕ0)
64 uzaddcl 12946 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) ∈ (ℤ𝑀))
6562, 63, 64syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) ∈ (ℤ𝑀))
6665, 1eleqtrrdi 2852 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) ∈ 𝑍)
6760, 66ffvelcdmd 7105 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) ∈ 𝑊)
6867fmpttd 7135 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))):ℕ⟶𝑊)
69 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
70 fvoveq1 7454 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = (𝐺‘((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1)))
7169, 70breq12d 5156 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → ((𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) < (𝐺‘((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1))))
72 isercoll2.i . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
7372ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
7473adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑍 (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
75 nnm1nn0 12567 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
76 uzaddcl 12946 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 + (𝑗 − 1)) ∈ (ℤ𝑀))
7762, 75, 76syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝑗 − 1)) ∈ (ℤ𝑀))
7877, 1eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝑗 − 1)) ∈ 𝑍)
7971, 74, 78rspcdva 3623 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) < (𝐺‘((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1)))
80 nncn 12274 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
8180adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
82 1cnd 11256 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
8381, 82, 82addsubd 11641 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑗 + 1) − 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
8483oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1)) = (𝑀 + ((𝑗 − 1) + 1)))
8521adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
8675adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
8786nn0cnd 12589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
8885, 87, 82addassd 11283 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1) = (𝑀 + ((𝑗 − 1) + 1)))
8984, 88eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1)) = ((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1))
9089fveq2d 6910 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))) = (𝐺‘((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1)))
9179, 90breqtrrd 5171 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) < (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))))
92 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 − 1) = (𝑗 − 1))
9392oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑗 → (𝑀 + (𝑥 − 1)) = (𝑀 + (𝑗 − 1)))
9493fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
95 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
96 fvex 6919 . . . . . 6 (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) ∈ V
9794, 95, 96fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
9897adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
99 peano2nn 12278 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
10099adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
101 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑗 + 1) − 1))
102101oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) = (𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1)))
103102fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))))
104 fvex 6919 . . . . . 6 (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))) ∈ V
105103, 95, 104fvmpt 7016 . . . . 5 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))))
106100, 105syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))))
10791, 98, 1063brtr4d 5175 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) < ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + 1)))
10859ffnd 6737 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Fn 𝑍)
109 uznn0sub 12917 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘𝑀) ∈ ℕ0)
11011, 109syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘𝑀) ∈ ℕ0)
111 nn0p1nn 12565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
113110nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘𝑀) ∈ ℂ)
114 pncan 11514 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑘𝑀) + 1) − 1) = (𝑘𝑀))
115113, 39, 114sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘𝑀) + 1) − 1) = (𝑘𝑀))
116115oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1)) = (𝑀 + (𝑘𝑀)))
117 eluzelz 12888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
118117, 1eleq2s 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
119118zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
120 pncan3 11516 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 + (𝑘𝑀)) = 𝑘)
12121, 119, 120syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀 + (𝑘𝑀)) = 𝑘)
122116, 121eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 = (𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1)))
123122fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1))))
124 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑘𝑀) + 1) → (𝑥 − 1) = (((𝑘𝑀) + 1) − 1))
125124oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑘𝑀) + 1) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) = (𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1)))
126125fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑘𝑀) + 1) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐺‘(𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1))))
127126rspceeqv 3645 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑘𝑀) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
128112, 123, 127syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
129 fvex 6919 . . . . . . . . . . 11 (𝐺𝑘) ∈ V
13095elrnmpt 5969 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑘) ∈ V → ((𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
131129, 130ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
132128, 131sylibr 234 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
133132ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
134 ffnfv 7139 . . . . . . . 8 (𝐺:𝑍⟶ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) ↔ (𝐺 Fn 𝑍 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))))
135108, 133, 134sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑍⟶ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
136135frnd 6744 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
137136sscond 4146 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 ∖ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ⊆ (𝑊 ∖ ran 𝐺))
138137sselda 3983 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))) → 𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran 𝐺))
139 isercoll2.0 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
140138, 139syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))) → (𝐹𝑛) = 0)
141 isercoll2.f . . 3 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
142 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → (𝐻𝑘) = (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
14369fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → (𝐹‘(𝐺𝑘)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1)))))
144142, 143eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → ((𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)) ↔ (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))))
145 isercoll2.h . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
146145ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
147146adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑍 (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
148144, 147, 78rspcdva 3623 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1)))))
14993fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
150 fvex 6919 . . . . . 6 (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) ∈ V
151149, 33, 150fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
152151adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
15398fveq2d 6910 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1)))))
154148, 152, 1533eqtr4d 2787 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐹‘((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗)))
15557, 58, 68, 107, 140, 141, 154isercoll 15704 . 2 (𝜑 → (seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
15656, 155bitrd 279 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-hash 14370  df-shft 15106  df-clim 15524
This theorem is referenced by:  iserodd  16873  stirlinglem5  46093
  Copyright terms: Public domain W3C validator