MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercoll2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isercoll2 15552
Description: Generalize isercoll 15551 so that both sequences have arbitrary starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
isercoll2.w 𝑊 = (ℤ𝑁)
isercoll2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isercoll2.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
isercoll2.g (𝜑𝐺:𝑍𝑊)
isercoll2.i ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
isercoll2.0 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
isercoll2.f ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
isercoll2.h ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
isercoll2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐻,𝑛   𝑛,𝑁   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑛,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem isercoll2
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isercoll2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 1z 12532 . . . 4 1 ∈ ℤ
4 zsubcl 12544 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
53, 2, 4sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
6 seqex 13907 . . . 4 seq𝑀( + , 𝐻) ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐻) ∈ V)
8 seqex 13907 . . . 4 seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ∈ V
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ∈ V)
10 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
1110, 1eleqtrdi 2848 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
125adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
13 simpl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝜑)
14 elfzuz 13436 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
1514, 1eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑗𝑍)
16 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1716, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
18 eluzelz 12772 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ ℤ)
2019zcnd 12607 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ ℂ)
212zcnd 12607 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2221adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑀 ∈ ℂ)
23 1cnd 11149 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 1 ∈ ℂ)
2420, 22, 23subadd23d 11533 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗𝑀) + 1) = (𝑗 + (1 − 𝑀)))
25 uznn0sub 12801 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑗𝑀) ∈ ℕ0)
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗𝑀) ∈ ℕ0)
27 nn0p1nn 12451 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑗𝑀) + 1) ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗𝑀) + 1) ∈ ℕ)
2924, 28eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + (1 − 𝑀)) ∈ ℕ)
30 oveq1 7363 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑗 + (1 − 𝑀)) → (𝑥 − 1) = ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))
3130oveq2d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑗 + (1 − 𝑀)) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) = (𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1)))
3231fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑗 + (1 − 𝑀)) → (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))))
33 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
34 fvex 6855 . . . . . . . . 9 (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))) ∈ V
3532, 33, 34fvmpt 6948 . . . . . . . 8 ((𝑗 + (1 − 𝑀)) ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + (1 − 𝑀))) = (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))))
3629, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + (1 − 𝑀))) = (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))))
3724oveq1d 7371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑗𝑀) + 1) − 1) = ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))
3826nn0cnd 12474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗𝑀) ∈ ℂ)
39 ax-1cn 11108 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
40 pncan 11406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑗𝑀) + 1) − 1) = (𝑗𝑀))
4138, 39, 40sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑗𝑀) + 1) − 1) = (𝑗𝑀))
4237, 41eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1) = (𝑗𝑀))
4342oveq2d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1)) = (𝑀 + (𝑗𝑀)))
4422, 20pncan3d 11514 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀 + (𝑗𝑀)) = 𝑗)
4543, 44eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1)) = 𝑗)
4645fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))) = (𝐻𝑗))
4736, 46eqtr2d 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + (1 − 𝑀))))
4813, 15, 47syl2an 596 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝐻𝑗) = ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + (1 − 𝑀))))
4911, 12, 48seqshft2 13933 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑘) = (seq(𝑀 + (1 − 𝑀))( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))‘(𝑘 + (1 − 𝑀))))
5021adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀 ∈ ℂ)
51 pncan3 11408 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
5250, 39, 51sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
5352seqeq1d 13911 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → seq(𝑀 + (1 − 𝑀))( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) = seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))))
5453fveq1d 6844 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (seq(𝑀 + (1 − 𝑀))( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))‘(𝑘 + (1 − 𝑀))) = (seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))‘(𝑘 + (1 − 𝑀))))
5549, 54eqtr2d 2777 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))‘(𝑘 + (1 − 𝑀))) = (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑘))
561, 2, 5, 7, 9, 55climshft2 15463 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ⇝ 𝐴))
57 isercoll2.w . . 3 𝑊 = (ℤ𝑁)
58 isercoll2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
59 isercoll2.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑍𝑊)
6059adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝐺:𝑍𝑊)
61 uzid 12777 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
622, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
63 nnm1nn0 12453 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 − 1) ∈ ℕ0)
64 uzaddcl 12828 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) ∈ (ℤ𝑀))
6562, 63, 64syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) ∈ (ℤ𝑀))
6665, 1eleqtrrdi 2849 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) ∈ 𝑍)
6760, 66ffvelcdmd 7035 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) ∈ 𝑊)
6867fmpttd 7062 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))):ℕ⟶𝑊)
69 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
70 fvoveq1 7379 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = (𝐺‘((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1)))
7169, 70breq12d 5118 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → ((𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) < (𝐺‘((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1))))
72 isercoll2.i . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
7372ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
7473adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑍 (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
75 nnm1nn0 12453 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
76 uzaddcl 12828 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 + (𝑗 − 1)) ∈ (ℤ𝑀))
7762, 75, 76syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝑗 − 1)) ∈ (ℤ𝑀))
7877, 1eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝑗 − 1)) ∈ 𝑍)
7971, 74, 78rspcdva 3582 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) < (𝐺‘((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1)))
80 nncn 12160 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
8180adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
82 1cnd 11149 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
8381, 82, 82addsubd 11532 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑗 + 1) − 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
8483oveq2d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1)) = (𝑀 + ((𝑗 − 1) + 1)))
8521adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
8675adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
8786nn0cnd 12474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
8885, 87, 82addassd 11176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1) = (𝑀 + ((𝑗 − 1) + 1)))
8984, 88eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1)) = ((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1))
9089fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))) = (𝐺‘((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1)))
9179, 90breqtrrd 5133 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) < (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))))
92 oveq1 7363 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 − 1) = (𝑗 − 1))
9392oveq2d 7372 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑗 → (𝑀 + (𝑥 − 1)) = (𝑀 + (𝑗 − 1)))
9493fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
95 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
96 fvex 6855 . . . . . 6 (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) ∈ V
9794, 95, 96fvmpt 6948 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
9897adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
99 peano2nn 12164 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
10099adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
101 oveq1 7363 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑗 + 1) − 1))
102101oveq2d 7372 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) = (𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1)))
103102fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))))
104 fvex 6855 . . . . . 6 (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))) ∈ V
105103, 95, 104fvmpt 6948 . . . . 5 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))))
106100, 105syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))))
10791, 98, 1063brtr4d 5137 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) < ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + 1)))
10859ffnd 6669 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Fn 𝑍)
109 uznn0sub 12801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘𝑀) ∈ ℕ0)
11011, 109syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘𝑀) ∈ ℕ0)
111 nn0p1nn 12451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
113110nn0cnd 12474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘𝑀) ∈ ℂ)
114 pncan 11406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑘𝑀) + 1) − 1) = (𝑘𝑀))
115113, 39, 114sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘𝑀) + 1) − 1) = (𝑘𝑀))
116115oveq2d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1)) = (𝑀 + (𝑘𝑀)))
117 eluzelz 12772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
118117, 1eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
119118zcnd 12607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
120 pncan3 11408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 + (𝑘𝑀)) = 𝑘)
12121, 119, 120syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀 + (𝑘𝑀)) = 𝑘)
122116, 121eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 = (𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1)))
123122fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1))))
124 oveq1 7363 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑘𝑀) + 1) → (𝑥 − 1) = (((𝑘𝑀) + 1) − 1))
125124oveq2d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑘𝑀) + 1) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) = (𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1)))
126125fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑘𝑀) + 1) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐺‘(𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1))))
127126rspceeqv 3595 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑘𝑀) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
128112, 123, 127syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
129 fvex 6855 . . . . . . . . . . 11 (𝐺𝑘) ∈ V
13095elrnmpt 5911 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑘) ∈ V → ((𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
131129, 130ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
132128, 131sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
133132ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
134 ffnfv 7065 . . . . . . . 8 (𝐺:𝑍⟶ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) ↔ (𝐺 Fn 𝑍 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))))
135108, 133, 134sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑍⟶ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
136135frnd 6676 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
137136sscond 4101 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 ∖ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ⊆ (𝑊 ∖ ran 𝐺))
138137sselda 3944 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))) → 𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran 𝐺))
139 isercoll2.0 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
140138, 139syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))) → (𝐹𝑛) = 0)
141 isercoll2.f . . 3 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
142 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → (𝐻𝑘) = (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
14369fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → (𝐹‘(𝐺𝑘)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1)))))
144142, 143eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → ((𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)) ↔ (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))))
145 isercoll2.h . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
146145ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
147146adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑍 (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
148144, 147, 78rspcdva 3582 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1)))))
14993fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
150 fvex 6855 . . . . . 6 (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) ∈ V
151149, 33, 150fvmpt 6948 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
152151adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
15398fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1)))))
154148, 152, 1533eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐹‘((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗)))
15557, 58, 68, 107, 140, 141, 154isercoll 15551 . 2 (𝜑 → (seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
15656, 155bitrd 278 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cdif 3907   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7356  cc 11048  0cc0 11050  1c1 11051   + caddc 11053   < clt 11188  cmin 11384  cn 12152  0cn0 12412  cz 12498  cuz 12762  ...cfz 13423  seqcseq 13905  cli 15365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9377  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-n0 12413  df-xnn0 12485  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-seq 13906  df-hash 14230  df-shft 14951  df-clim 15369
This theorem is referenced by:  iserodd  16706  stirlinglem5  44290
  Copyright terms: Public domain W3C validator