MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isercoll2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isercoll2 15702
Description: Generalize isercoll 15701 so that both sequences have arbitrary starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isercoll2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
isercoll2.w 𝑊 = (ℤ𝑁)
isercoll2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isercoll2.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
isercoll2.g (𝜑𝐺:𝑍𝑊)
isercoll2.i ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
isercoll2.0 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
isercoll2.f ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
isercoll2.h ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
isercoll2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐻,𝑛   𝑛,𝑁   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑛,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem isercoll2
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isercoll2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isercoll2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 1z 12645 . . . 4 1 ∈ ℤ
4 zsubcl 12657 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
53, 2, 4sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
6 seqex 14041 . . . 4 seq𝑀( + , 𝐻) ∈ V
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐻) ∈ V)
8 seqex 14041 . . . 4 seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ∈ V
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ∈ V)
10 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
1110, 1eleqtrdi 2849 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
125adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (1 − 𝑀) ∈ ℤ)
13 simpl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝜑)
14 elfzuz 13557 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
1514, 1eleqtrrdi 2850 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑗𝑍)
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1716, 1eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
18 eluzelz 12886 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ ℤ)
2019zcnd 12721 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ ℂ)
212zcnd 12721 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2221adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑀 ∈ ℂ)
23 1cnd 11254 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → 1 ∈ ℂ)
2420, 22, 23subadd23d 11640 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗𝑀) + 1) = (𝑗 + (1 − 𝑀)))
25 uznn0sub 12915 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑗𝑀) ∈ ℕ0)
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗𝑀) ∈ ℕ0)
27 nn0p1nn 12563 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑗𝑀) + 1) ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗𝑀) + 1) ∈ ℕ)
2924, 28eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗 + (1 − 𝑀)) ∈ ℕ)
30 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑗 + (1 − 𝑀)) → (𝑥 − 1) = ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))
3130oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑗 + (1 − 𝑀)) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) = (𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1)))
3231fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑗 + (1 − 𝑀)) → (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))))
33 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
34 fvex 6920 . . . . . . . . 9 (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))) ∈ V
3532, 33, 34fvmpt 7016 . . . . . . . 8 ((𝑗 + (1 − 𝑀)) ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + (1 − 𝑀))) = (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))))
3629, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + (1 − 𝑀))) = (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))))
3724oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑗𝑀) + 1) − 1) = ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))
3826nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑗𝑀) ∈ ℂ)
39 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
40 pncan 11512 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑗𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑗𝑀) + 1) − 1) = (𝑗𝑀))
4138, 39, 40sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (((𝑗𝑀) + 1) − 1) = (𝑗𝑀))
4237, 41eqtr3d 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1) = (𝑗𝑀))
4342oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1)) = (𝑀 + (𝑗𝑀)))
4422, 20pncan3d 11621 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀 + (𝑗𝑀)) = 𝑗)
4543, 44eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1)) = 𝑗)
4645fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻‘(𝑀 + ((𝑗 + (1 − 𝑀)) − 1))) = (𝐻𝑗))
4736, 46eqtr2d 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐻𝑗) = ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + (1 − 𝑀))))
4813, 15, 47syl2an 596 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝐻𝑗) = ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + (1 − 𝑀))))
4911, 12, 48seqshft2 14066 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑘) = (seq(𝑀 + (1 − 𝑀))( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))‘(𝑘 + (1 − 𝑀))))
5021adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑀 ∈ ℂ)
51 pncan3 11514 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
5250, 39, 51sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀 + (1 − 𝑀)) = 1)
5352seqeq1d 14045 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → seq(𝑀 + (1 − 𝑀))( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) = seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))))
5453fveq1d 6909 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (seq(𝑀 + (1 − 𝑀))( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))‘(𝑘 + (1 − 𝑀))) = (seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))‘(𝑘 + (1 − 𝑀))))
5549, 54eqtr2d 2776 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))‘(𝑘 + (1 − 𝑀))) = (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑘))
561, 2, 5, 7, 9, 55climshft2 15615 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ⇝ 𝐴))
57 isercoll2.w . . 3 𝑊 = (ℤ𝑁)
58 isercoll2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
59 isercoll2.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑍𝑊)
6059adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → 𝐺:𝑍𝑊)
61 uzid 12891 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
622, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
63 nnm1nn0 12565 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 − 1) ∈ ℕ0)
64 uzaddcl 12944 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) ∈ (ℤ𝑀))
6562, 63, 64syl2an 596 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) ∈ (ℤ𝑀))
6665, 1eleqtrrdi 2850 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) ∈ 𝑍)
6760, 66ffvelcdmd 7105 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) ∈ 𝑊)
6867fmpttd 7135 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))):ℕ⟶𝑊)
69 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
70 fvoveq1 7454 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = (𝐺‘((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1)))
7169, 70breq12d 5161 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → ((𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) < (𝐺‘((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1))))
72 isercoll2.i . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
7372ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
7473adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑍 (𝐺𝑘) < (𝐺‘(𝑘 + 1)))
75 nnm1nn0 12565 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
76 uzaddcl 12944 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑗 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 + (𝑗 − 1)) ∈ (ℤ𝑀))
7762, 75, 76syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝑗 − 1)) ∈ (ℤ𝑀))
7877, 1eleqtrrdi 2850 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑀 + (𝑗 − 1)) ∈ 𝑍)
7971, 74, 78rspcdva 3623 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) < (𝐺‘((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1)))
80 nncn 12272 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
8180adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
82 1cnd 11254 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
8381, 82, 82addsubd 11639 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑗 + 1) − 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
8483oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1)) = (𝑀 + ((𝑗 − 1) + 1)))
8521adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
8675adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
8786nn0cnd 12587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
8885, 87, 82addassd 11281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1) = (𝑀 + ((𝑗 − 1) + 1)))
8984, 88eqtr4d 2778 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1)) = ((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1))
9089fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))) = (𝐺‘((𝑀 + (𝑗 − 1)) + 1)))
9179, 90breqtrrd 5176 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) < (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))))
92 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑗 → (𝑥 − 1) = (𝑗 − 1))
9392oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑗 → (𝑀 + (𝑥 − 1)) = (𝑀 + (𝑗 − 1)))
9493fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
95 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
96 fvex 6920 . . . . . 6 (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) ∈ V
9794, 95, 96fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
9897adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
99 peano2nn 12276 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
10099adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
101 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑗 + 1) − 1))
102101oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) = (𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1)))
103102fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))))
104 fvex 6920 . . . . . 6 (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))) ∈ V
105103, 95, 104fvmpt 7016 . . . . 5 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))))
106100, 105syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(𝑀 + ((𝑗 + 1) − 1))))
10791, 98, 1063brtr4d 5180 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) < ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘(𝑗 + 1)))
10859ffnd 6738 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Fn 𝑍)
109 uznn0sub 12915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘𝑀) ∈ ℕ0)
11011, 109syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘𝑀) ∈ ℕ0)
111 nn0p1nn 12563 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
113110nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘𝑀) ∈ ℂ)
114 pncan 11512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑘𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑘𝑀) + 1) − 1) = (𝑘𝑀))
115113, 39, 114sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑘𝑀) + 1) − 1) = (𝑘𝑀))
116115oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1)) = (𝑀 + (𝑘𝑀)))
117 eluzelz 12886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
118117, 1eleq2s 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
119118zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
120 pncan3 11514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝑀 + (𝑘𝑀)) = 𝑘)
12121, 119, 120syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀 + (𝑘𝑀)) = 𝑘)
122116, 121eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 = (𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1)))
123122fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1))))
124 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑘𝑀) + 1) → (𝑥 − 1) = (((𝑘𝑀) + 1) − 1))
125124oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑘𝑀) + 1) → (𝑀 + (𝑥 − 1)) = (𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1)))
126125fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑘𝑀) + 1) → (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐺‘(𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1))))
127126rspceeqv 3645 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑘𝑀) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (((𝑘𝑀) + 1) − 1)))) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
128112, 123, 127syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
129 fvex 6920 . . . . . . . . . . 11 (𝐺𝑘) ∈ V
13095elrnmpt 5972 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝑘) ∈ V → ((𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
131129, 130ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))
132128, 131sylibr 234 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
133132ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
134 ffnfv 7139 . . . . . . . 8 (𝐺:𝑍⟶ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))) ↔ (𝐺 Fn 𝑍 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝐺𝑘) ∈ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))))
135108, 133, 134sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑍⟶ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
136135frnd 6745 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))
137136sscond 4156 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 ∖ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ⊆ (𝑊 ∖ ran 𝐺))
138137sselda 3995 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))) → 𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran 𝐺))
139 isercoll2.0 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran 𝐺)) → (𝐹𝑛) = 0)
140138, 139syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑊 ∖ ran (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1)))))) → (𝐹𝑛) = 0)
141 isercoll2.f . . 3 ((𝜑𝑛𝑊) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
142 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → (𝐻𝑘) = (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
14369fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → (𝐹‘(𝐺𝑘)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1)))))
144142, 143eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑘 = (𝑀 + (𝑗 − 1)) → ((𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)) ↔ (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))))
145 isercoll2.h . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
146145ralrimiva 3144 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
147146adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ∀𝑘𝑍 (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
148144, 147, 78rspcdva 3623 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1)))))
14993fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))) = (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
150 fvex 6920 . . . . . 6 (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))) ∈ V
151149, 33, 150fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
152151adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐻‘(𝑀 + (𝑗 − 1))))
15398fveq2d 6911 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑀 + (𝑗 − 1)))))
154148, 152, 1533eqtr4d 2785 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗) = (𝐹‘((𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐺‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))‘𝑗)))
15557, 58, 68, 107, 140, 141, 154isercoll 15701 . 2 (𝜑 → (seq1( + , (𝑥 ∈ ℕ ↦ (𝐻‘(𝑀 + (𝑥 − 1))))) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
15656, 155bitrd 279 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻) ⇝ 𝐴 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  seqcseq 14039  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-hash 14367  df-shft 15103  df-clim 15521
This theorem is referenced by:  iserodd  16869  stirlinglem5  46034
  Copyright terms: Public domain W3C validator