Theorem clwlkcomp 30169

Description: A closed walk expressed by properties of its components. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isclwlke.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwlke.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
clwlkcomp.1	⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
clwlkcomp.2	⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clwlkcomp	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇)) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem clwlkcomp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkcomp.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
2	1	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ (1st ‘𝑊) = 𝐹
3		clwlkcomp.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)
4	3	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘𝑊) = 𝑃
5	2, 4	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ ((1st ‘𝑊) = 𝐹 ∧ (2nd ‘𝑊) = 𝑃)
6		eqop 8030	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 = ⟨𝐹, 𝑃⟩ ↔ ((1st ‘𝑊) = 𝐹 ∧ (2nd ‘𝑊) = 𝑃)))
7	5, 6	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → 𝑊 = ⟨𝐹, 𝑃⟩)
8	7	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺)))
9		df-br 5112	. . 3 ⊢ (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺))
10	8, 9	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃))
11		isclwlke.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12		isclwlke.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
13	11, 12	isclwlke 30167	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))
14	10, 13	sylan9bbr 520	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇)) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  if-wif 1078   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906  {csn 4591  {cpr 4593  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111   × cxp 5661  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114  ...cfz 13547  ..^cfzo 13695  ♯chash 14380  Word cword 14564  Vtxcvtx 29377  iEdgciedg 29378  ClWalkscclwlks 30160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-hash 14381  df-word 14565  df-wlks 29983  df-clwlks 30161

This theorem is used by:  clwlkcompim  30170