Theorem clwlkcomp 29709

Description: A closed walk expressed by properties of its components. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isclwlke.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwlke.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
clwlkcomp.1	⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
clwlkcomp.2	⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clwlkcomp	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇)) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem clwlkcomp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkcomp.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
2	1	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ (1st ‘𝑊) = 𝐹
3		clwlkcomp.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)
4	3	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘𝑊) = 𝑃
5	2, 4	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((1st ‘𝑊) = 𝐹 ∧ (2nd ‘𝑊) = 𝑃)
6		eqop 8010	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 = ⟨𝐹, 𝑃⟩ ↔ ((1st ‘𝑊) = 𝐹 ∧ (2nd ‘𝑊) = 𝑃)))
7	5, 6	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → 𝑊 = ⟨𝐹, 𝑃⟩)
8	7	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺)))
9		df-br 5108	. . 3 ⊢ (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺))
10	8, 9	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃))
11		isclwlke.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12		isclwlke.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
13	11, 12	isclwlke 29707	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))
14	10, 13	sylan9bbr 510	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇)) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1062   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914  {csn 4589  {cpr 4591  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107   × cxp 5636  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1^st c1st 7966  2^nd c2nd 7967  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478  Vtxcvtx 28923  iEdgciedg 28924  ClWalkscclwlks 29700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-wlks 29527  df-clwlks 29701

This theorem is referenced by:  clwlkcompim  29710