Theorem clwlkcomp 30033

Description: A closed walk expressed by properties of its components. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isclwlke.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwlke.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
clwlkcomp.1	⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
clwlkcomp.2	⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clwlkcomp	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇)) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem clwlkcomp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkcomp.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
2	1	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ (1st ‘𝑊) = 𝐹
3		clwlkcomp.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)
4	3	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘𝑊) = 𝑃
5	2, 4	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ ((1st ‘𝑊) = 𝐹 ∧ (2nd ‘𝑊) = 𝑃)
6		eqop 8016	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 = ⟨𝐹, 𝑃⟩ ↔ ((1st ‘𝑊) = 𝐹 ∧ (2nd ‘𝑊) = 𝑃)))
7	5, 6	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → 𝑊 = ⟨𝐹, 𝑃⟩)
8	7	eleq1d 2850	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺)))
9		df-br 5105	. . 3 ⊢ (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺))
10	8, 9	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃))
11		isclwlke.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12		isclwlke.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
13	11, 12	isclwlke 30031	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))
14	10, 13	sylan9bbr 519	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇)) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  if-wif 1076   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ⊆ wss 3907  {csn 4585  {cpr 4587  ⟨cop 4591   class class class wbr 5104   × cxp 5649  dom cdm 5651  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1^st c1st 7972  2^nd c2nd 7973  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091  ...cfz 13523  ..^cfzo 13670  ♯chash 14354  Word cword 14538  Vtxcvtx 29251  iEdgciedg 29252  ClWalkscclwlks 30024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-hash 14355  df-word 14539  df-wlks 29854  df-clwlks 30025

This theorem is referenced by:  clwlkcompim  30034