Theorem clwlkcomp 30245

Description: A closed walk expressed by properties of its components. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isclwlke.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwlke.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
clwlkcomp.1	⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
clwlkcomp.2	⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clwlkcomp	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇)) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem clwlkcomp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwlkcomp.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
2	1	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ (1st ‘𝑊) = 𝐹
3		clwlkcomp.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)
4	3	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ (2nd ‘𝑊) = 𝑃
5	2, 4	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ ((1st ‘𝑊) = 𝐹 ∧ (2nd ‘𝑊) = 𝑃)
6		eqop 8028	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 = ⟨𝐹, 𝑃⟩ ↔ ((1st ‘𝑊) = 𝐹 ∧ (2nd ‘𝑊) = 𝑃)))
7	5, 6	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → 𝑊 = ⟨𝐹, 𝑃⟩)
8	7	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺)))
9		df-br 5104	. . 3 ⊢ (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (ClWalks‘𝐺))
10	8, 9	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ 𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃))
11		isclwlke.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12		isclwlke.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
13	11, 12	isclwlke 30243	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (𝐹(ClWalks‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))
14	10, 13	sylan9bbr 520	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ (𝑆 × 𝑇)) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  if-wif 1078   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   × cxp 5653  dom cdm 5655  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  ...cfz 13561  ..^cfzo 13709  ♯chash 14394  Word cword 14578  Vtxcvtx 29453  iEdgciedg 29454  ClWalkscclwlks 30236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-wlks 30059  df-clwlks 30237

This theorem is used by:  clwlkcompim  30246