MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkcomp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clwlkcomp 29471
Description: A closed walk expressed by properties of its components. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isclwlke.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
isclwlke.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
clwlkcomp.1 𝐹 = (1st β€˜π‘Š)
clwlkcomp.2 𝑃 = (2nd β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clwlkcomp ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇)) β†’ (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   𝑃,π‘˜   π‘˜,𝐼   π‘˜,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘˜)   𝑇(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)   𝑋(π‘˜)
Proof of Theorem clwlkcomp
StepHypRef Expression
1 clwlkcomp.1 . . . . . . 7 𝐹 = (1st β€˜π‘Š)
21eqcomi 2733 . . . . . 6 (1st β€˜π‘Š) = 𝐹
3 clwlkcomp.2 . . . . . . 7 𝑃 = (2nd β€˜π‘Š)
43eqcomi 2733 . . . . . 6 (2nd β€˜π‘Š) = 𝑃
52, 4pm3.2i 470 . . . . 5 ((1st β€˜π‘Š) = 𝐹 ∧ (2nd β€˜π‘Š) = 𝑃)
6 eqop 8010 . . . . 5 (π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇) β†’ (π‘Š = ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ↔ ((1st β€˜π‘Š) = 𝐹 ∧ (2nd β€˜π‘Š) = 𝑃)))
75, 6mpbiri 258 . . . 4 (π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇) β†’ π‘Š = ⟨𝐹, π‘ƒβŸ©)
87eleq1d 2810 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇) β†’ (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ↔ ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (ClWalksβ€˜πΊ)))
9 df-br 5139 . . 3 (𝐹(ClWalksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (ClWalksβ€˜πΊ))
108, 9bitr4di 289 . 2 (π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇) β†’ (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ↔ 𝐹(ClWalksβ€˜πΊ)𝑃))
11 isclwlke.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
12 isclwlke.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
1311, 12isclwlke 29469 . 2 (𝐺 ∈ 𝑋 β†’ (𝐹(ClWalksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))))
1410, 13sylan9bbr 510 1 ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ (𝑆 Γ— 𝑇)) β†’ (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  if-wif 1059   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   βŠ† wss 3940  {csn 4620  {cpr 4622  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138   Γ— cxp 5664  dom cdm 5666  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  1st c1st 7966  2nd c2nd 7967  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460  Vtxcvtx 28691  iEdgciedg 28692  ClWalkscclwlks 29462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-wlks 29291  df-clwlks 29463
This theorem is referenced by:  clwlkcompim  29472
  Copyright terms: Public domain W3C validator