MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkcompim Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clwlkcompim 29633
Description: Implications for the properties of the components of a closed walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isclwlke.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
isclwlke.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
clwlkcomp.1 𝐹 = (1st β€˜π‘Š)
clwlkcomp.2 𝑃 = (2nd β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clwlkcompim (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   𝑃,π‘˜   π‘˜,𝐼   π‘˜,𝑉
Allowed substitution hint:   π‘Š(π‘˜)
Proof of Theorem clwlkcompim
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6928 . . . 4 (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ V)
2 clwlks 29625 . . . . . . 7 (ClWalksβ€˜πΊ) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑔 ∧ (π‘”β€˜0) = (π‘”β€˜(β™―β€˜π‘“)))}
32a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V β†’ (ClWalksβ€˜πΊ) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑔 ∧ (π‘”β€˜0) = (π‘”β€˜(β™―β€˜π‘“)))})
43eleq2d 2811 . . . . 5 (𝐺 ∈ V β†’ (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ↔ π‘Š ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑔 ∧ (π‘”β€˜0) = (π‘”β€˜(β™―β€˜π‘“)))}))
5 elopaelxp 5762 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑔 ∧ (π‘”β€˜0) = (π‘”β€˜(β™―β€˜π‘“)))} β†’ π‘Š ∈ (V Γ— V))
65anim2i 615 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑔 ∧ (π‘”β€˜0) = (π‘”β€˜(β™―β€˜π‘“)))}) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (V Γ— V)))
76ex 411 . . . . 5 (𝐺 ∈ V β†’ (π‘Š ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑔 ∧ (π‘”β€˜0) = (π‘”β€˜(β™―β€˜π‘“)))} β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (V Γ— V))))
84, 7sylbid 239 . . . 4 (𝐺 ∈ V β†’ (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (V Γ— V))))
91, 8mpcom 38 . . 3 (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (V Γ— V)))
10 isclwlke.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
11 isclwlke.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
12 clwlkcomp.1 . . . 4 𝐹 = (1st β€˜π‘Š)
13 clwlkcomp.2 . . . 4 𝑃 = (2nd β€˜π‘Š)
1410, 11, 12, 13clwlkcomp 29632 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (V Γ— V)) β†’ (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))))
159, 14syl 17 . 2 (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))))
1615ibi 266 1 (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  if-wif 1060   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   βŠ† wss 3941  {csn 4625  {cpr 4627   class class class wbr 5144  {copab 5206   Γ— cxp 5671  dom cdm 5673  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  1st c1st 7985  2nd c2nd 7986  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654  β™―chash 14316  Word cword 14491  Vtxcvtx 28848  iEdgciedg 28849  Walkscwlks 29449  ClWalkscclwlks 29623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-wlks 29452  df-clwlks 29624
This theorem is referenced by:  upgrclwlkcompim  29634
  Copyright terms: Public domain W3C validator