Theorem clwlkcompim 30038

Description: Implications for the properties of the components of a closed walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isclwlke.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwlke.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
clwlkcomp.1	⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
clwlkcomp.2	⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clwlkcompim	⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem clwlkcompim

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6906	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
2		clwlks 30030	. . . . . . 7 ⊢ (ClWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))}
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (ClWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))})
4	3	eleq2d 2851	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))}))
5		elopaelxp 5742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))} → 𝑊 ∈ (V × V))
6	5	anim2i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))}) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)))
7	6	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))} → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V))))
8	4, 7	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V))))
9	1, 8	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)))
10		isclwlke.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		isclwlke.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
12		clwlkcomp.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
13		clwlkcomp.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)
14	10, 11, 12, 13	clwlkcomp 30037	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))
15	9, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))
16	15	ibi 270	1 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  if-wif 1076   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5105  {copab 5167   × cxp 5650  dom cdm 5652  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1^st c1st 7972  2^nd c2nd 7973  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091  ...cfz 13526  ..^cfzo 13673  ♯chash 14357  Word cword 14540  Vtxcvtx 29255  iEdgciedg 29256  Walkscwlks 29855  ClWalkscclwlks 30028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-wlks 29858  df-clwlks 30029

This theorem is referenced by:  upgrclwlkcompim  30039