Theorem clwlkcompim 29801

Description: Implications for the properties of the components of a closed walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isclwlke.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwlke.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
clwlkcomp.1	⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
clwlkcomp.2	⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clwlkcompim	⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem clwlkcompim

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6943	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
2		clwlks 29793	. . . . . . 7 ⊢ (ClWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))}
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (ClWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))})
4	3	eleq2d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))}))
5		elopaelxp 5774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))} → 𝑊 ∈ (V × V))
6	5	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))}) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)))
7	6	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))} → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V))))
8	4, 7	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V))))
9	1, 8	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)))
10		isclwlke.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		isclwlke.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
12		clwlkcomp.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
13		clwlkcomp.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)
14	10, 11, 12, 13	clwlkcomp 29800	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))
15	9, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))
16	15	ibi 267	1 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1062   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  {csn 4625  {cpr 4627   class class class wbr 5142  {copab 5204   × cxp 5682  dom cdm 5684  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  1^st c1st 8013  2^nd c2nd 8014  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  ♯chash 14370  Word cword 14553  Vtxcvtx 29014  iEdgciedg 29015  Walkscwlks 29615  ClWalkscclwlks 29791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-wlks 29618  df-clwlks 29792

This theorem is referenced by:  upgrclwlkcompim  29802