Theorem clwlkcompim 30095

Description: Implications for the properties of the components of a closed walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isclwlke.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwlke.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
clwlkcomp.1	⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
clwlkcomp.2	⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clwlkcompim	⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem clwlkcompim

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6916	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
2		clwlks 30087	. . . . . . 7 ⊢ (ClWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))}
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (ClWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))})
4	3	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))}))
5		elopaelxp 5751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))} → 𝑊 ∈ (V × V))
6	5	anim2i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))}) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)))
7	6	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))} → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V))))
8	4, 7	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V))))
9	1, 8	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)))
10		isclwlke.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		isclwlke.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
12		clwlkcomp.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
13		clwlkcomp.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)
14	10, 11, 12, 13	clwlkcomp 30094	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))
15	9, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))
16	15	ibi 270	1 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  if-wif 1076   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5108  {copab 5172   × cxp 5659  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7983  2^nd c2nd 7984  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102  ...cfz 13534  ..^cfzo 13682  ♯chash 14366  Word cword 14550  Vtxcvtx 29312  iEdgciedg 29313  Walkscwlks 29912  ClWalkscclwlks 30085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-wlks 29915  df-clwlks 30086

This theorem is referenced by:  upgrclwlkcompim  30096