MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkcompim Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clwlkcompim 29026
Description: Implications for the properties of the components of a closed walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isclwlke.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
isclwlke.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
clwlkcomp.1 𝐹 = (1st β€˜π‘Š)
clwlkcomp.2 𝑃 = (2nd β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
clwlkcompim (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   𝑃,π‘˜   π‘˜,𝐼   π‘˜,𝑉
Allowed substitution hint:   π‘Š(π‘˜)
Proof of Theorem clwlkcompim
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6926 . . . 4 (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ V)
2 clwlks 29018 . . . . . . 7 (ClWalksβ€˜πΊ) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑔 ∧ (π‘”β€˜0) = (π‘”β€˜(β™―β€˜π‘“)))}
32a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ V β†’ (ClWalksβ€˜πΊ) = {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑔 ∧ (π‘”β€˜0) = (π‘”β€˜(β™―β€˜π‘“)))})
43eleq2d 2819 . . . . 5 (𝐺 ∈ V β†’ (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ↔ π‘Š ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑔 ∧ (π‘”β€˜0) = (π‘”β€˜(β™―β€˜π‘“)))}))
5 elopaelxp 5763 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑔 ∧ (π‘”β€˜0) = (π‘”β€˜(β™―β€˜π‘“)))} β†’ π‘Š ∈ (V Γ— V))
65anim2i 617 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑔 ∧ (π‘”β€˜0) = (π‘”β€˜(β™―β€˜π‘“)))}) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (V Γ— V)))
76ex 413 . . . . 5 (𝐺 ∈ V β†’ (π‘Š ∈ {βŸ¨π‘“, π‘”βŸ© ∣ (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑔 ∧ (π‘”β€˜0) = (π‘”β€˜(β™―β€˜π‘“)))} β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (V Γ— V))))
84, 7sylbid 239 . . . 4 (𝐺 ∈ V β†’ (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (V Γ— V))))
91, 8mpcom 38 . . 3 (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (V Γ— V)))
10 isclwlke.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
11 isclwlke.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
12 clwlkcomp.1 . . . 4 𝐹 = (1st β€˜π‘Š)
13 clwlkcomp.2 . . . 4 𝑃 = (2nd β€˜π‘Š)
1410, 11, 12, 13clwlkcomp 29025 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (V Γ— V)) β†’ (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))))
159, 14syl 17 . 2 (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))))
1615ibi 266 1 (π‘Š ∈ (ClWalksβ€˜πΊ) β†’ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  if-wif 1061   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  {copab 5209   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460  Vtxcvtx 28245  iEdgciedg 28246  Walkscwlks 28842  ClWalkscclwlks 29016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-wlks 28845  df-clwlks 29017
This theorem is referenced by:  upgrclwlkcompim  29027
  Copyright terms: Public domain W3C validator