Theorem clwlkcompim 29919

Description: Implications for the properties of the components of a closed walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Revised by AV, 17-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
isclwlke.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isclwlke.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
clwlkcomp.1	⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
clwlkcomp.2	⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clwlkcompim	⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem clwlkcompim

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6891	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
2		clwlks 29911	. . . . . . 7 ⊢ (ClWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))}
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (ClWalks‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))})
4	3	eleq2d 2842	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))}))
5		elopaelxp 5730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))} → 𝑊 ∈ (V × V))
6	5	anim2i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))}) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)))
7	6	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑊 ∈ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑔 ∧ (𝑔‘0) = (𝑔‘(♯‘𝑓)))} → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V))))
8	4, 7	sylbid 242	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V))))
9	1, 8	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)))
10		isclwlke.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11		isclwlke.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
12		clwlkcomp.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
13		clwlkcomp.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)
14	10, 11, 12, 13	clwlkcomp 29918	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))
15	9, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))))
16	15	ibi 269	1 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWalks‘𝐺) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  if-wif 1071   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∀wral 3070  Vcvv 3448   ⊆ wss 3899  {csn 4576  {cpr 4578   class class class wbr 5094  {copab 5156   × cxp 5638  dom cdm 5640  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  1^st c1st 7957  2^nd c2nd 7958  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066  ...cfz 13502  ..^cfzo 13649  ♯chash 14333  Word cword 14516  Vtxcvtx 29136  iEdgciedg 29137  Walkscwlks 29736  ClWalkscclwlks 29909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-ifp 1072  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-hash 14334  df-word 14517  df-wlks 29739  df-clwlks 29910

This theorem is referenced by:  upgrclwlkcompim  29920