Theorem resincncf 45298

Description: sin restricted to reals is continuous from reals to reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
resincncf	⊢ (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Proof of Theorem resincncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinf 16098	. . . . 5 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
2		ffn 6715	. . . . 5 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → sin Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ sin Fn ℂ
4		ax-resscn 11193	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		fnssres 6671	. . . 4 ⊢ ((sin Fn ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (sin ↾ ℝ) Fn ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . 3 ⊢ (sin ↾ ℝ) Fn ℝ
7		fvres 6909	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((sin ↾ ℝ)‘𝑥) = (sin‘𝑥))
8		resincl 16114	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
9	7, 8	eqeltrd 2825	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((sin ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ)
10	9	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ((sin ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ
11		ffnfv 7122	. . 3 ⊢ ((sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ↔ ((sin ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((sin ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ))
12	6, 10, 11	mpbir2an 709	. 2 ⊢ (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
13		sincn 26397	. . . 4 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
14		rescncf 24833	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → (sin ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
15	4, 13, 14	mp2 9	. . 3 ⊢ (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
16		cncfcdm 24834	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)) → ((sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
17	4, 15, 16	mp2an 690	. 2 ⊢ ((sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
18	12, 17	mpbir 230	1 ⊢ (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   ⊆ wss 3939   ↾ cres 5672   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  ℂcc 11134  ℝcr 11135  sincsin 16037  –cn→ccncf 24812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812

This theorem is referenced by:  fourierdlem18  45548  fourierdlem76  45605