Theorem idcncfg 45527

Description: The identity function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idcncfg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
idcncfg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
idcncfg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (𝐴–cn→𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem idcncfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idcncfg.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		idcncfg.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		cncfmptid 24918	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (𝐴–cn→𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (𝐴–cn→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3946   ↦ cmpt 5226  (class class class)co 7413  ℂcc 11144  –cn→ccncf 24881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12516  df-z 12602  df-dec 12721  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-fz 13530  df-seq 14013  df-exp 14073  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233  df-struct 17141  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-rest 17429  df-topn 17430  df-topgen 17450  df-psmet 21328  df-xmet 21329  df-met 21330  df-bl 21331  df-mopn 21332  df-cnfld 21337  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22934  df-cn 23216  df-cnp 23217  df-xms 24311  df-ms 24312  df-cncf 24883

This theorem is referenced by:  itgcoscmulx  45623  itgsincmulx  45628  dirkeritg  45756  dirkercncflem2  45758  dirkercncflem4  45760  fourierdlem18  45779  fourierdlem21  45782  fourierdlem39  45800  fourierdlem58  45818  fourierdlem62  45822  fourierdlem68  45828  fourierdlem73  45833  fourierdlem76  45836  fourierdlem78  45838  fourierdlem83  45843  sqwvfoura  45882  sqwvfourb  45883  etransclem18  45906  etransclem22  45910  etransclem46  45934