Theorem idcncfg 45868

Description: The identity function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idcncfg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
idcncfg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
idcncfg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (𝐴–cn→𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem idcncfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idcncfg.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		idcncfg.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
3		cncfmptid 24787	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (𝐴–cn→𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (𝐴–cn→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5169  (class class class)co 7340  ℂcc 10995  –cn→ccncf 24750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fi 9289  df-sup 9320  df-inf 9321  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-xneg 13002  df-xadd 13003  df-xmul 13004  df-fz 13399  df-seq 13897  df-exp 13957  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17045  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-rest 17313  df-topn 17314  df-topgen 17334  df-psmet 21237  df-xmet 21238  df-met 21239  df-bl 21240  df-mopn 21241  df-cnfld 21246  df-top 22763  df-topon 22780  df-topsp 22802  df-bases 22815  df-cn 23096  df-cnp 23097  df-xms 24189  df-ms 24190  df-cncf 24752

This theorem is referenced by:  itgcoscmulx  45964  itgsincmulx  45969  dirkeritg  46097  dirkercncflem2  46099  dirkercncflem4  46101  fourierdlem18  46120  fourierdlem21  46123  fourierdlem39  46141  fourierdlem58  46159  fourierdlem62  46163  fourierdlem68  46169  fourierdlem73  46174  fourierdlem76  46177  fourierdlem78  46179  fourierdlem83  46184  sqwvfoura  46223  sqwvfourb  46224  etransclem18  46247  etransclem22  46251  etransclem46  46275