Theorem moddvds 16433

Description: Two ways to say 𝐴≡𝐵 (mod 𝑁), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
moddvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem moddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrp 13132	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
3		0mod 14042	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 mod 𝑁) = 0)
5	4	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
6		zre 12697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		zre 12697	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	ad2antll 742	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	9	renegcld 11743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → -𝐵 ∈ ℝ)
11		modadd1 14048	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ( -𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁))
12	11	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ( -𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
13	7, 9, 10, 2, 12	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
14	7	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	9	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	14, 15	negsubd 11675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
17	16	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁))
18	15	negidd 11659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
19	18	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
20	17, 19	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
21	13, 20	sylibd 242	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
22	7, 9	resubcld 11744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
23		0red 11311	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
24		modadd1 14048	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁))
25	24	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
26	22, 23, 9, 2, 25	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
27	14, 15	npcand 11673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
28	27	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
29	15	addlidd 11511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
30	29	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((0 + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
31	28, 30	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
32	26, 31	sylibd 242	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
33	21, 32	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
34		zsubcl 12738	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
35		dvdsval3 16426	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
36	34, 35	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ((𝐴 − 𝐵) mod 𝑁) = 0))
37	5, 33, 36	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
38	37	3impb 1132	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200   + caddc 11203   − cmin 11541   -cneg 11542  ℕcn 12335  ℤcz 12693  ℝ⁺crp 13120   mod cmo 14009   ∥ cdvds 16422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fl 13932  df-mod 14010  df-dvds 16423

This theorem is used by:  modm1div  16434  addmulmodb  16435  summodnegmod  16456  modmulconst  16458  addmodlteqALT  16495  dvdsmod  16499  sadadd3  16631  sadaddlem  16636  congr  16839  cncongr1  16842  cncongr2  16843  crth  16955  eulerthlem2  16959  prmdiv  16962  prmdiveq  16963  odzcllem  16970  odzdvds  16973  odzphi  16974  pockthlem  17083  4sqlem11  17133  4sqlem12  17134  mndodcong  19756  dfod2  19778  sylow3lem6  19846  znf1o  21857  wilthlem1  27395  wilthlem2  27396  wilthlem3  27397  wilthimp  27399  ppiub  27531  lgslem1  27624  lgsmod  27650  lgsdirprm  27658  lgsqrlem1  27673  lgsqrlem2  27674  lgsqr  27678  lgsqrmod  27679  lgsqrmodndvds  27680  lgsdchrval  27681  lgseisenlem2  27703  lgseisenlem3  27704  lgseisenlem4  27705  m1lgs  27715  submodaddmod  48460  difltmodne  48461  sfprmdvdsmersenne  48731  dfwppr  48879  fpprwpprb  48881