MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  moddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem moddvds 16212
Description: Two ways to say 𝐴𝐵 (mod 𝑁), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
moddvds ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem moddvds
StepHypRef Expression
1 nnrp 12989 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
21adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
3 0mod 13871 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 mod 𝑁) = 0)
54eqeq2d 2741 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = 0))
6 zre 12566 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
76ad2antrl 724 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 zre 12566 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
98ad2antll 725 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
109renegcld 11645 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → -𝐵 ∈ ℝ)
11 modadd1 13877 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁))
12113expia 1119 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
137, 9, 10, 2, 12syl22anc 835 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
147recnd 11246 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
159recnd 11246 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1614, 15negsubd 11581 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
1716oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴𝐵) mod 𝑁))
1815negidd 11565 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
1918oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
2017, 19eqeq12d 2746 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
2113, 20sylibd 238 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
227, 9resubcld 11646 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
23 0red 11221 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
24 modadd1 13877 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁))
25243expia 1119 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
2622, 23, 9, 2, 25syl22anc 835 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
2714, 15npcand 11579 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
2827oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
2915addlidd 11419 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
3029oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((0 + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
3128, 30eqeq12d 2746 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
3226, 31sylibd 238 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
3321, 32impbid 211 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
34 zsubcl 12608 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
35 dvdsval3 16205 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = 0))
3634, 35sylan2 591 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = 0))
375, 33, 363bitr4d 310 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
38373impb 1113 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  cmin 11448  -cneg 11449  cn 12216  cz 12562  +crp 12978   mod cmo 13838  cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-dvds 16202
This theorem is referenced by:  modm1div  16213  summodnegmod  16234  modmulconst  16235  addmodlteqALT  16272  dvdsmod  16276  sadadd3  16406  sadaddlem  16411  congr  16605  cncongr1  16608  cncongr2  16609  crth  16715  eulerthlem2  16719  prmdiv  16722  prmdiveq  16723  odzcllem  16729  odzdvds  16732  odzphi  16733  pockthlem  16842  4sqlem11  16892  4sqlem12  16893  mndodcong  19451  dfod2  19473  sylow3lem6  19541  znf1o  21326  wilthlem1  26808  wilthlem2  26809  wilthlem3  26810  wilthimp  26812  ppiub  26943  lgslem1  27036  lgsmod  27062  lgsdirprm  27070  lgsqrlem1  27085  lgsqrlem2  27086  lgsqr  27090  lgsqrmod  27091  lgsqrmodndvds  27092  lgsdchrval  27093  lgseisenlem2  27115  lgseisenlem3  27116  lgseisenlem4  27117  m1lgs  27127  sfprmdvdsmersenne  46569  dfwppr  46704  fpprwpprb  46706
  Copyright terms: Public domain W3C validator