MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  moddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem moddvds 15200
Description: Two ways to say 𝐴𝐵 (mod 𝑁), see also definition in [ApostolNT] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
moddvds ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem moddvds
StepHypRef Expression
1 nnrp 12045 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
21adantr 466 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
3 0mod 12909 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 mod 𝑁) = 0)
54eqeq2d 2781 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = 0))
6 zre 11583 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
76ad2antrl 707 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 zre 11583 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
98ad2antll 708 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
109renegcld 10659 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → -𝐵 ∈ ℝ)
11 modadd1 12915 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁))
12113expia 1114 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
137, 9, 10, 2, 12syl22anc 1477 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁)))
147recnd 10270 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
159recnd 10270 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1614, 15negsubd 10600 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
1716oveq1d 6808 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐴𝐵) mod 𝑁))
1815negidd 10584 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
1918oveq1d 6808 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
2017, 19eqeq12d 2786 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴 + -𝐵) mod 𝑁) = ((𝐵 + -𝐵) mod 𝑁) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
2113, 20sylibd 229 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) → ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
227, 9resubcld 10660 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
23 0red 10243 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
24 modadd1 12915 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁))
25243expia 1114 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
2622, 23, 9, 2, 25syl22anc 1477 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁)))
2714, 15npcand 10598 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
2827oveq1d 6808 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐴 mod 𝑁))
2915addid2d 10439 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
3029oveq1d 6808 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((0 + 𝐵) mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁))
3128, 30eqeq12d 2786 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((((𝐴𝐵) + 𝐵) mod 𝑁) = ((0 + 𝐵) mod 𝑁) ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
3226, 31sylibd 229 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁)))
3321, 32impbid 202 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = (0 mod 𝑁)))
34 zsubcl 11621 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
35 dvdsval3 15193 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = 0))
3634, 35sylan2 580 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝐴𝐵) ↔ ((𝐴𝐵) mod 𝑁) = 0))
375, 33, 363bitr4d 300 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
38373impb 1107 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141  cmin 10468  -cneg 10469  cn 11222  cz 11579  +crp 12035   mod cmo 12876  cdvds 15189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fl 12801  df-mod 12877  df-dvds 15190
This theorem is referenced by:  summodnegmod  15221  modmulconst  15222  addmodlteqALT  15256  dvdsmod  15259  sadadd3  15391  sadaddlem  15396  congr  15585  cncongr1  15588  cncongr2  15589  crth  15690  eulerthlem2  15694  prmdiv  15697  prmdiveq  15698  odzcllem  15704  odzdvds  15707  odzphi  15708  modprm1div  15709  pockthlem  15816  4sqlem11  15866  4sqlem12  15867  mndodcong  18168  dfod2  18188  sylow3lem6  18254  znf1o  20115  wilthlem1  25015  wilthlem2  25016  wilthlem3  25017  wilthimp  25019  ppiub  25150  lgslem1  25243  lgsmod  25269  lgsdirprm  25277  lgsqrlem1  25292  lgsqrlem2  25293  lgsqr  25297  lgsqrmod  25298  lgsqrmodndvds  25299  lgsdchrval  25300  lgseisenlem2  25322  lgseisenlem3  25323  lgseisenlem4  25324  m1lgs  25334  sfprmdvdsmersenne  42048
  Copyright terms: Public domain W3C validator