Theorem degenmgmnfn 19049

Description: The operation of a degenerate magma is not a function on its base set. (Contributed by AV, 21-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
degenmgm.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩}⟩}
degenmgmbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
degenmgmnfn	⊢ ¬ (+g‘𝑀) Fn (𝐵 × 𝐵)

Proof of Theorem degenmgmnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5264	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
2		1oex 8465	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
3		1n0 8474	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ≠ ∅
4	3	necomi 3009	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ≠ 1o
5		prnesn 4820	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 1o ∈ V ∧ ∅ ≠ 1o) → {∅, 1o} ≠ {1o})
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ {∅, 1o} ≠ {1o}
7	6	nesymi 3012	. . . . . 6 ⊢ ¬ {1o} = {∅, 1o}
8	7	intnanr 493	. . . . 5 ⊢ ¬ ({1o} = {∅, 1o} ∧ {∅, 1o, 2o} = {∅, 1o})
9	2	snnz 4737	. . . . . 6 ⊢ {1o} ≠ ∅
10	1	tpnz 4740	. . . . . 6 ⊢ {∅, 1o, 2o} ≠ ∅
11		xp11 6168	. . . . . 6 ⊢ (({1o} ≠ ∅ ∧ {∅, 1o, 2o} ≠ ∅) → (({1o} × {∅, 1o, 2o}) = ({∅, 1o} × {∅, 1o}) ↔ ({1o} = {∅, 1o} ∧ {∅, 1o, 2o} = {∅, 1o})))
12	9, 10, 11	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (({1o} × {∅, 1o, 2o}) = ({∅, 1o} × {∅, 1o}) ↔ ({1o} = {∅, 1o} ∧ {∅, 1o, 2o} = {∅, 1o}))
13	8, 12	mtbir 326	. . . 4 ⊢ ¬ ({1o} × {∅, 1o, 2o}) = ({∅, 1o} × {∅, 1o})
14		degenmgm.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩}⟩}
15	14	degenmgmopdm 19047	. . . . 5 ⊢ dom (+g‘𝑀) = ({1o} × {∅, 1o, 2o})
16		degenmgmbas.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
17	14, 16	degenmgmbas 19048	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {∅, 1o}
18	17, 17	xpeq12i 5683	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) = ({∅, 1o} × {∅, 1o})
19	15, 18	eqeq12i 2778	. . . 4 ⊢ (dom (+g‘𝑀) = (𝐵 × 𝐵) ↔ ({1o} × {∅, 1o, 2o}) = ({∅, 1o} × {∅, 1o}))
20	13, 19	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ dom (+g‘𝑀) = (𝐵 × 𝐵)
21	20	intnan 492	. 2 ⊢ ¬ (Fun (+g‘𝑀) ∧ dom (+g‘𝑀) = (𝐵 × 𝐵))
22		df-fn 6536	. 2 ⊢ ((+g‘𝑀) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (Fun (+g‘𝑀) ∧ dom (+g‘𝑀) = (𝐵 × 𝐵)))
23	21, 22	mtbir 326	1 ⊢ ¬ (+g‘𝑀) Fn (𝐵 × 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4279  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4590   × cxp 5653  dom cdm 5655  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  1_oc1o 8448  2_oc2o 8449  ndxcnx 17285  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355

This theorem is used by: (None)