Theorem degenmgmnfn 19036

Description: The operation of a degenerate magma is not a function on its base set. (Contributed by AV, 21-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
degenmgm.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩}⟩}
degenmgmbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
degenmgmnfn	⊢ ¬ (+g‘𝑀) Fn (𝐵 × 𝐵)

Proof of Theorem degenmgmnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5272	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
2		1oex 8469	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
3		1n0 8478	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ≠ ∅
4	3	necomi 3014	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ≠ 1o
5		prnesn 4827	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 1o ∈ V ∧ ∅ ≠ 1o) → {∅, 1o} ≠ {1o})
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ {∅, 1o} ≠ {1o}
7	6	nesymi 3017	. . . . . 6 ⊢ ¬ {1o} = {∅, 1o}
8	7	intnanr 493	. . . . 5 ⊢ ¬ ({1o} = {∅, 1o} ∧ {∅, 1o, 2o} = {∅, 1o})
9	2	snnz 4744	. . . . . 6 ⊢ {1o} ≠ ∅
10	1	tpnz 4747	. . . . . 6 ⊢ {∅, 1o, 2o} ≠ ∅
11		xp11 6175	. . . . . 6 ⊢ (({1o} ≠ ∅ ∧ {∅, 1o, 2o} ≠ ∅) → (({1o} × {∅, 1o, 2o}) = ({∅, 1o} × {∅, 1o}) ↔ ({1o} = {∅, 1o} ∧ {∅, 1o, 2o} = {∅, 1o})))
12	9, 10, 11	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (({1o} × {∅, 1o, 2o}) = ({∅, 1o} × {∅, 1o}) ↔ ({1o} = {∅, 1o} ∧ {∅, 1o, 2o} = {∅, 1o}))
13	8, 12	mtbir 326	. . . 4 ⊢ ¬ ({1o} × {∅, 1o, 2o}) = ({∅, 1o} × {∅, 1o})
14		degenmgm.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩}⟩}
15	14	degenmgmopdm 19034	. . . . 5 ⊢ dom (+g‘𝑀) = ({1o} × {∅, 1o, 2o})
16		degenmgmbas.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
17	14, 16	degenmgmbas 19035	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {∅, 1o}
18	17, 17	xpeq12i 5691	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) = ({∅, 1o} × {∅, 1o})
19	15, 18	eqeq12i 2783	. . . 4 ⊢ (dom (+g‘𝑀) = (𝐵 × 𝐵) ↔ ({1o} × {∅, 1o, 2o}) = ({∅, 1o} × {∅, 1o}))
20	13, 19	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ dom (+g‘𝑀) = (𝐵 × 𝐵)
21	20	intnan 492	. 2 ⊢ ¬ (Fun (+g‘𝑀) ∧ dom (+g‘𝑀) = (𝐵 × 𝐵))
22		df-fn 6543	. 2 ⊢ ((+g‘𝑀) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (Fun (+g‘𝑀) ∧ dom (+g‘𝑀) = (𝐵 × 𝐵)))
23	21, 22	mtbir 326	1 ⊢ ¬ (+g‘𝑀) Fn (𝐵 × 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  ∅c0 4286  {csn 4591  {cpr 4593  {ctp 4595  ⟨cop 4597   × cxp 5661  dom cdm 5663  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  1_oc1o 8452  2_oc2o 8453  ndxcnx 17275  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345

This theorem is used by: (None)