Theorem degenmgmnfn 19186

Description: The operation of a degenerate magma is not a function on its base set. (Contributed by AV, 21-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
degenmgm.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩}⟩}
degenmgmbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
degenmgmnfn	⊢ ¬ (+g‘𝑀) Fn (𝐵 × 𝐵)

Proof of Theorem degenmgmnfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5267	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
2		1oex 8524	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
3		1n0 8533	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ≠ ∅
4	3	necomi 3013	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ≠ 1o
5		prnesn 4820	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 1o ∈ V ∧ ∅ ≠ 1o) → {∅, 1o} ≠ {1o})
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1491	. . . . . . 7 ⊢ {∅, 1o} ≠ {1o}
7	6	nesymi 3016	. . . . . 6 ⊢ ¬ {1o} = {∅, 1o}
8	7	intnanr 493	. . . . 5 ⊢ ¬ ({1o} = {∅, 1o} ∧ {∅, 1o, 2o} = {∅, 1o})
9	2	snnz 4739	. . . . . 6 ⊢ {1o} ≠ ∅
10	1	tpnz 4742	. . . . . 6 ⊢ {∅, 1o, 2o} ≠ ∅
11		xp11 6185	. . . . . 6 ⊢ (({1o} ≠ ∅ ∧ {∅, 1o, 2o} ≠ ∅) → (({1o} × {∅, 1o, 2o}) = ({∅, 1o} × {∅, 1o}) ↔ ({1o} = {∅, 1o} ∧ {∅, 1o, 2o} = {∅, 1o})))
12	9, 10, 11	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (({1o} × {∅, 1o, 2o}) = ({∅, 1o} × {∅, 1o}) ↔ ({1o} = {∅, 1o} ∧ {∅, 1o, 2o} = {∅, 1o}))
13	8, 12	mtbir 326	. . . 4 ⊢ ¬ ({1o} × {∅, 1o, 2o}) = ({∅, 1o} × {∅, 1o})
14		degenmgm.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {∅, 1o}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨1o, 1o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, 2o⟩, 1o⟩, ⟨⟨1o, ∅⟩, 1o⟩}⟩}
15	14	degenmgmopdm 19184	. . . . 5 ⊢ dom (+g‘𝑀) = ({1o} × {∅, 1o, 2o})
16		degenmgmbas.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
17	14, 16	degenmgmbas 19185	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {∅, 1o}
18	17, 17	xpeq12i 5686	. . . . 5 ⊢ (𝐵 × 𝐵) = ({∅, 1o} × {∅, 1o})
19	15, 18	eqeq12i 2781	. . . 4 ⊢ (dom (+g‘𝑀) = (𝐵 × 𝐵) ↔ ({1o} × {∅, 1o, 2o}) = ({∅, 1o} × {∅, 1o}))
20	13, 19	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ dom (+g‘𝑀) = (𝐵 × 𝐵)
21	20	intnan 492	. 2 ⊢ ¬ (Fun (+g‘𝑀) ∧ dom (+g‘𝑀) = (𝐵 × 𝐵))
22		df-fn 6569	. 2 ⊢ ((+g‘𝑀) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (Fun (+g‘𝑀) ∧ dom (+g‘𝑀) = (𝐵 × 𝐵)))
23	21, 22	mtbir 326	1 ⊢ ¬ (+g‘𝑀) Fn (𝐵 × 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4840   × cxp 5656  dom cdm 5658  Fun wfun 6560   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566  1_oc1o 8507  2_oc2o 8508  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486

This theorem is used by: (None)