Theorem dfeven5 44544

Description: Alternate definition for even numbers. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfeven5	⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (2 gcd 𝑧) = 2}

Proof of Theorem dfeven5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseven5 44542	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Even ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑥) = 2))
2		oveq2 7159	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (2 gcd 𝑧) = (2 gcd 𝑥))
3	2	eqeq1d 2761	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((2 gcd 𝑧) = 2 ↔ (2 gcd 𝑥) = 2))
4	3	elrab 3603	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (2 gcd 𝑧) = 2} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑥) = 2))
5	1, 4	bitr4i 281	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ Even ↔ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (2 gcd 𝑧) = 2})
6	5	eqriv 2756	1 ⊢ Even = {𝑧 ∈ ℤ ∣ (2 gcd 𝑧) = 2}

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  {crab 3075  (class class class)co 7151  2c2 11722  ℤcz 12013   gcd cgcd 15886   Even ceven 44502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8932  df-inf 8933  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-rp 12424  df-seq 13412  df-exp 13473  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-dvds 15649  df-gcd 15887  df-even 44504

This theorem is referenced by: (None)