MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quart1cl 26220
Description: Closure lemmas for quart 26227. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
quart1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
quart1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
quart1.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
quart1.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
quart1.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
quart1.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
Assertion
Ref Expression
quart1cl (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))

Proof of Theorem quart1cl
StepHypRef Expression
1 quart1.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
2 quart1.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 3cn 12241 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„‚
4 8cn 12257 . . . . . 6 8 โˆˆ โ„‚
5 8nn 12255 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„•
65nnne0i 12200 . . . . . 6 8 โ‰  0
73, 4, 6divcli 11904 . . . . 5 (3 / 8) โˆˆ โ„‚
8 quart1.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
98sqcld 14056 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10 mulcl 11142 . . . . 5 (((3 / 8) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
117, 9, 10sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
122, 11subcld 11519 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
131, 12eqeltrd 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
14 quart1.q . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
15 quart1.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
168, 2mulcld 11182 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1716halfcld 12405 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
1815, 17subcld 11519 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) โˆˆ โ„‚)
19 3nn0 12438 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„•0
20 expcl 13992 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
218, 19, 20sylancl 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
224a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
236a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 8 โ‰  0)
2421, 22, 23divcld 11938 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 8) โˆˆ โ„‚)
2518, 24addcld 11181 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)) โˆˆ โ„‚)
2614, 25eqeltrd 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
27 quart1.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
28 quart1.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2915, 8mulcld 11182 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
30 4cn 12245 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„‚
3130a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
32 4ne0 12268 . . . . . . 7 4 โ‰  0
3332a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
3429, 31, 33divcld 11938 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4) โˆˆ โ„‚)
3528, 34subcld 11519 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) โˆˆ โ„‚)
369, 2mulcld 11182 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
37 1nn0 12436 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•0
38 6nn 12249 . . . . . . . . 9 6 โˆˆ โ„•
3937, 38decnncl 12645 . . . . . . . 8 16 โˆˆ โ„•
4039nncni 12170 . . . . . . 7 16 โˆˆ โ„‚
4140a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 16 โˆˆ โ„‚)
4239nnne0i 12200 . . . . . . 7 16 โ‰  0
4342a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 16 โ‰  0)
4436, 41, 43divcld 11938 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆˆ โ„‚)
45 2nn0 12437 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
46 5nn0 12440 . . . . . . . . . 10 5 โˆˆ โ„•0
4745, 46deccl 12640 . . . . . . . . 9 25 โˆˆ โ„•0
4847, 38decnncl 12645 . . . . . . . 8 256 โˆˆ โ„•
4948nncni 12170 . . . . . . 7 256 โˆˆ โ„‚
5048nnne0i 12200 . . . . . . 7 256 โ‰  0
513, 49, 50divcli 11904 . . . . . 6 (3 / 256) โˆˆ โ„‚
52 4nn0 12439 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•0
53 expcl 13992 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
548, 52, 53sylancl 587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
55 mulcl 11142 . . . . . 6 (((3 / 256) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)) โˆˆ โ„‚)
5651, 54, 55sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)) โˆˆ โ„‚)
5744, 56subcld 11519 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4))) โˆˆ โ„‚)
5835, 57addcld 11181 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))) โˆˆ โ„‚)
5927, 58eqeltrd 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
6013, 26, 593jca 1129 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  8c8 12221  โ„•0cn0 12420  cdc 12625  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  quart1  26222  quartlem2  26224  quartlem3  26225  quartlem4  26226  quart  26227
  Copyright terms: Public domain W3C validator