Theorem quart1cl 25909

Description: Closure lemmas for quart 25916. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
quart1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))

Assertion

Ref	Expression
quart1cl	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quart1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quart1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
2		quart1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		3cn 11984	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
4		8cn 12000	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
5		8nn 11998	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ
6	5	nnne0i 11943	. . . . . 6 ⊢ 8 ≠ 0
7	3, 4, 6	divcli 11647	. . . . 5 ⊢ (3 / 8) ∈ ℂ
8		quart1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 13790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10		mulcl 10886	. . . . 5 ⊢ (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
11	7, 9, 10	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	2, 11	subcld 11262	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
13	1, 12	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
14		quart1.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
15		quart1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
16	8, 2	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
17	16	halfcld 12148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
18	15, 17	subcld 11262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
19		3nn0 12181	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
20		expcl 13728	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
21	8, 19, 20	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
22	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
23	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 8 ≠ 0)
24	21, 22, 23	divcld 11681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
25	18, 24	addcld 10925	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) ∈ ℂ)
26	14, 25	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
27		quart1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
28		quart1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
29	15, 8	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
30		4cn 11988	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
32		4ne0 12011	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
34	29, 31, 33	divcld 11681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
35	28, 34	subcld 11262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) ∈ ℂ)
36	9, 2	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
37		1nn0 12179	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
38		6nn 11992	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
39	37, 38	decnncl 12386	. . . . . . . 8 ⊢ ;16 ∈ ℕ
40	39	nncni 11913	. . . . . . 7 ⊢ ;16 ∈ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℂ)
42	39	nnne0i 11943	. . . . . . 7 ⊢ ;16 ≠ 0
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ;16 ≠ 0)
44	36, 41, 43	divcld 11681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) ∈ ℂ)
45		2nn0 12180	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
46		5nn0 12183	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ0
47	45, 46	deccl 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
48	47, 38	decnncl 12386	. . . . . . . 8 ⊢ ;;256 ∈ ℕ
49	48	nncni 11913	. . . . . . 7 ⊢ ;;256 ∈ ℂ
50	48	nnne0i 11943	. . . . . . 7 ⊢ ;;256 ≠ 0
51	3, 49, 50	divcli 11647	. . . . . 6 ⊢ (3 / ;;256) ∈ ℂ
52		4nn0 12182	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
53		expcl 13728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
54	8, 52, 53	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
55		mulcl 10886	. . . . . 6 ⊢ (((3 / ;;256) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑4) ∈ ℂ) → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
56	51, 54, 55	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
57	44, 56	subcld 11262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
58	35, 57	addcld 10925	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) ∈ ℂ)
59	27, 58	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
60	13, 26, 59	3jca 1126	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  8c8 11964  ℕ₀cn0 12163  ;cdc 12366  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  quart1  25911  quartlem2  25913  quartlem3  25914  quartlem4  25915  quart  25916