MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quart1cl 24802
Description: Closure lemmas for quart 24809. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
Assertion
Ref Expression
quart1cl (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quart1cl
StepHypRef Expression
1 quart1.p . . 3 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
2 quart1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 3cn 11297 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
4 8cn 11308 . . . . . 6 8 ∈ ℂ
5 8nn 11393 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ
65nnne0i 11257 . . . . . 6 8 ≠ 0
73, 4, 6divcli 10969 . . . . 5 (3 / 8) ∈ ℂ
8 quart1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
98sqcld 13213 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10 mulcl 10222 . . . . 5 (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
117, 9, 10sylancr 575 . . . 4 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
122, 11subcld 10594 . . 3 (𝜑 → (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
131, 12eqeltrd 2850 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
14 quart1.q . . 3 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
15 quart1.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
168, 2mulcld 10262 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
1716halfcld 11479 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
1815, 17subcld 10594 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
19 3nn0 11512 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
20 expcl 13085 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
218, 19, 20sylancl 574 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
224a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
236a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 8 ≠ 0)
2421, 22, 23divcld 11003 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
2518, 24addcld 10261 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) ∈ ℂ)
2614, 25eqeltrd 2850 . 2 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
27 quart1.r . . 3 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
28 quart1.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2915, 8mulcld 10262 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
30 4cn 11300 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
32 4ne0 11319 . . . . . . 7 4 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ≠ 0)
3429, 31, 33divcld 11003 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
3528, 34subcld 10594 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) ∈ ℂ)
369, 2mulcld 10262 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
37 1nn0 11510 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
38 6nn 11391 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
3937, 38decnncl 11720 . . . . . . . 8 16 ∈ ℕ
4039nncni 11232 . . . . . . 7 16 ∈ ℂ
4140a1i 11 . . . . . 6 (𝜑16 ∈ ℂ)
4239nnne0i 11257 . . . . . . 7 16 ≠ 0
4342a1i 11 . . . . . 6 (𝜑16 ≠ 0)
4436, 41, 43divcld 11003 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) ∈ ℂ)
45 2nn0 11511 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
46 5nn0 11514 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
4745, 46deccl 11714 . . . . . . . . 9 25 ∈ ℕ0
4847, 38decnncl 11720 . . . . . . . 8 256 ∈ ℕ
4948nncni 11232 . . . . . . 7 256 ∈ ℂ
5048nnne0i 11257 . . . . . . 7 256 ≠ 0
513, 49, 50divcli 10969 . . . . . 6 (3 / 256) ∈ ℂ
52 4nn0 11513 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
53 expcl 13085 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
548, 52, 53sylancl 574 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
55 mulcl 10222 . . . . . 6 (((3 / 256) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑4) ∈ ℂ) → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
5651, 54, 55sylancr 575 . . . . 5 (𝜑 → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
5744, 56subcld 10594 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
5835, 57addcld 10261 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) ∈ ℂ)
5927, 58eqeltrd 2850 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
6013, 26, 593jca 1122 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cmin 10468   / cdiv 10886  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  8c8 11278  0cn0 11494  cdc 11695  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by:  quart1  24804  quartlem2  24806  quartlem3  24807  quartlem4  24808  quart  24809
  Copyright terms: Public domain W3C validator