MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quart1cl 26897
Description: Closure lemmas for quart 26904. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
Assertion
Ref Expression
quart1cl (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quart1cl
StepHypRef Expression
1 quart1.p . . 3 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
2 quart1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 3cn 12347 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
4 8cn 12363 . . . . . 6 8 ∈ ℂ
5 8nn 12361 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ
65nnne0i 12306 . . . . . 6 8 ≠ 0
73, 4, 6divcli 12009 . . . . 5 (3 / 8) ∈ ℂ
8 quart1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
98sqcld 14184 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10 mulcl 11239 . . . . 5 (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
117, 9, 10sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
122, 11subcld 11620 . . 3 (𝜑 → (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
131, 12eqeltrd 2841 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
14 quart1.q . . 3 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
15 quart1.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
168, 2mulcld 11281 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
1716halfcld 12511 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
1815, 17subcld 11620 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
19 3nn0 12544 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
20 expcl 14120 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
218, 19, 20sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
224a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
236a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 8 ≠ 0)
2421, 22, 23divcld 12043 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
2518, 24addcld 11280 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) ∈ ℂ)
2614, 25eqeltrd 2841 . 2 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
27 quart1.r . . 3 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
28 quart1.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2915, 8mulcld 11281 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
30 4cn 12351 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
32 4ne0 12374 . . . . . . 7 4 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ≠ 0)
3429, 31, 33divcld 12043 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
3528, 34subcld 11620 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) ∈ ℂ)
369, 2mulcld 11281 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
37 1nn0 12542 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
38 6nn 12355 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
3937, 38decnncl 12753 . . . . . . . 8 16 ∈ ℕ
4039nncni 12276 . . . . . . 7 16 ∈ ℂ
4140a1i 11 . . . . . 6 (𝜑16 ∈ ℂ)
4239nnne0i 12306 . . . . . . 7 16 ≠ 0
4342a1i 11 . . . . . 6 (𝜑16 ≠ 0)
4436, 41, 43divcld 12043 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) ∈ ℂ)
45 2nn0 12543 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
46 5nn0 12546 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
4745, 46deccl 12748 . . . . . . . . 9 25 ∈ ℕ0
4847, 38decnncl 12753 . . . . . . . 8 256 ∈ ℕ
4948nncni 12276 . . . . . . 7 256 ∈ ℂ
5048nnne0i 12306 . . . . . . 7 256 ≠ 0
513, 49, 50divcli 12009 . . . . . 6 (3 / 256) ∈ ℂ
52 4nn0 12545 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
53 expcl 14120 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
548, 52, 53sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
55 mulcl 11239 . . . . . 6 (((3 / 256) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑4) ∈ ℂ) → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
5651, 54, 55sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
5744, 56subcld 11620 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
5835, 57addcld 11280 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) ∈ ℂ)
5927, 58eqeltrd 2841 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
6013, 26, 593jca 1129 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  8c8 12327  0cn0 12526  cdc 12733  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  quart1  26899  quartlem2  26901  quartlem3  26902  quartlem4  26903  quart  26904
  Copyright terms: Public domain W3C validator