Theorem quart1cl 26997

Description: Closure lemmas for quart 27004. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
quart1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))

Assertion

Ref	Expression
quart1cl	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quart1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quart1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
2		quart1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		3cn 12323	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
4		8cn 12339	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
5		8nn 12337	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ
6	5	nnne0i 12277	. . . . . 6 ⊢ 8 ≠ 0
7	3, 4, 6	divcli 11958	. . . . 5 ⊢ (3 / 8) ∈ ℂ
8		quart1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10		mulcl 11185	. . . . 5 ⊢ (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
11	7, 9, 10	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	2, 11	subcld 11570	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
13	1, 12	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
14		quart1.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
15		quart1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
16	8, 2	mulcld 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
17	16	halfcld 12490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
18	15, 17	subcld 11570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
19		3nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
20		expcl 14117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
21	8, 19, 20	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
22	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
23	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 8 ≠ 0)
24	21, 22, 23	divcld 11992	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
25	18, 24	addcld 11229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) ∈ ℂ)
26	14, 25	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
27		quart1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
28		quart1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
29	15, 8	mulcld 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
30		4cn 12327	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
32		4ne0 12353	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
34	29, 31, 33	divcld 11992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
35	28, 34	subcld 11570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) ∈ ℂ)
36	9, 2	mulcld 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
37		1nn0 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
38		6nn 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
39	37, 38	decnncl 12736	. . . . . . . 8 ⊢ ;16 ∈ ℕ
40	39	nncni 12244	. . . . . . 7 ⊢ ;16 ∈ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℂ)
42	39	nnne0i 12277	. . . . . . 7 ⊢ ;16 ≠ 0
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ;16 ≠ 0)
44	36, 41, 43	divcld 11992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) ∈ ℂ)
45		25nn0 12731	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
46	45, 38	decnncl 12736	. . . . . . . 8 ⊢ ;;256 ∈ ℕ
47	46	nncni 12244	. . . . . . 7 ⊢ ;;256 ∈ ℂ
48	46	nnne0i 12277	. . . . . . 7 ⊢ ;;256 ≠ 0
49	3, 47, 48	divcli 11958	. . . . . 6 ⊢ (3 / ;;256) ∈ ℂ
50		4nn0 12524	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
51		expcl 14117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
52	8, 50, 51	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
53		mulcl 11185	. . . . . 6 ⊢ (((3 / ;;256) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑4) ∈ ℂ) → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
54	49, 52, 53	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
55	44, 54	subcld 11570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
56	35, 55	addcld 11229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) ∈ ℂ)
57	27, 56	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
58	13, 26, 57	3jca 1146	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   − cmin 11442   / cdiv 11872  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  8c8 12302  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12712  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  quart1  26999  quartlem2  27001  quartlem3  27002  quartlem4  27003  quart  27004