Theorem quart1cl 27212

Description: Closure lemmas for quart 27219. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
quart1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))

Assertion

Ref	Expression
quart1cl	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quart1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quart1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
2		quart1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		3cn 12451	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
4		8cn 12467	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
5		8nn 12465	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ
6	5	nnne0i 12405	. . . . . 6 ⊢ 8 ≠ 0
7	3, 4, 6	divcli 12086	. . . . 5 ⊢ (3 / 8) ∈ ℂ
8		quart1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10		mulcl 11311	. . . . 5 ⊢ (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
11	7, 9, 10	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	2, 11	subcld 11696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
13	1, 12	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
14		quart1.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
15		quart1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
16	8, 2	mulcld 11356	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
17	16	halfcld 12618	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
18	15, 17	subcld 11696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
19		3nn0 12651	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
20		expcl 14249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
21	8, 19, 20	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
22	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
23	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 8 ≠ 0)
24	21, 22, 23	divcld 12120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
25	18, 24	addcld 11355	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) ∈ ℂ)
26	14, 25	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
27		quart1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
28		quart1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
29	15, 8	mulcld 11356	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
30		4cn 12455	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
32		4ne0 12481	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
34	29, 31, 33	divcld 12120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
35	28, 34	subcld 11696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) ∈ ℂ)
36	9, 2	mulcld 11356	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
37		1nn0 12649	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
38		6nn 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
39	37, 38	decnncl 12865	. . . . . . . 8 ⊢ ;16 ∈ ℕ
40	39	nncni 12372	. . . . . . 7 ⊢ ;16 ∈ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℂ)
42	39	nnne0i 12405	. . . . . . 7 ⊢ ;16 ≠ 0
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ;16 ≠ 0)
44	36, 41, 43	divcld 12120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) ∈ ℂ)
45		25nn0 12860	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
46	45, 38	decnncl 12865	. . . . . . . 8 ⊢ ;;256 ∈ ℕ
47	46	nncni 12372	. . . . . . 7 ⊢ ;;256 ∈ ℂ
48	46	nnne0i 12405	. . . . . . 7 ⊢ ;;256 ≠ 0
49	3, 47, 48	divcli 12086	. . . . . 6 ⊢ (3 / ;;256) ∈ ℂ
50		4nn0 12652	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
51		expcl 14249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
52	8, 50, 51	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
53		mulcl 11311	. . . . . 6 ⊢ (((3 / ;;256) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑4) ∈ ℂ) → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
54	49, 52, 53	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
55	44, 54	subcld 11696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
56	35, 55	addcld 11355	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) ∈ ℂ)
57	27, 56	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
58	13, 26, 57	3jca 1146	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   − cmin 11568   / cdiv 12000  2c2 12424  3c3 12425  4c4 12426  5c5 12427  6c6 12428  8c8 12430  ℕ₀cn0 12633  ;cdc 12841  ↑cexp 14231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-seq 14172  df-exp 14232

This theorem is used by:  quart1  27214  quartlem2  27216  quartlem3  27217  quartlem4  27218  quart  27219