MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quart1cl 26366
Description: Closure lemmas for quart 26373. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
quart1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
quart1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
quart1.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
quart1.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
quart1.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
quart1.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
Assertion
Ref Expression
quart1cl (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))

Proof of Theorem quart1cl
StepHypRef Expression
1 quart1.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
2 quart1.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 3cn 12295 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„‚
4 8cn 12311 . . . . . 6 8 โˆˆ โ„‚
5 8nn 12309 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„•
65nnne0i 12254 . . . . . 6 8 โ‰  0
73, 4, 6divcli 11958 . . . . 5 (3 / 8) โˆˆ โ„‚
8 quart1.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
98sqcld 14111 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10 mulcl 11196 . . . . 5 (((3 / 8) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
117, 9, 10sylancr 587 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
122, 11subcld 11573 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
131, 12eqeltrd 2833 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
14 quart1.q . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
15 quart1.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
168, 2mulcld 11236 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1716halfcld 12459 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
1815, 17subcld 11573 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) โˆˆ โ„‚)
19 3nn0 12492 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„•0
20 expcl 14047 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
218, 19, 20sylancl 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
224a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
236a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 8 โ‰  0)
2421, 22, 23divcld 11992 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 8) โˆˆ โ„‚)
2518, 24addcld 11235 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)) โˆˆ โ„‚)
2614, 25eqeltrd 2833 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
27 quart1.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
28 quart1.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2915, 8mulcld 11236 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
30 4cn 12299 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„‚
3130a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
32 4ne0 12322 . . . . . . 7 4 โ‰  0
3332a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
3429, 31, 33divcld 11992 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4) โˆˆ โ„‚)
3528, 34subcld 11573 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) โˆˆ โ„‚)
369, 2mulcld 11236 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
37 1nn0 12490 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•0
38 6nn 12303 . . . . . . . . 9 6 โˆˆ โ„•
3937, 38decnncl 12699 . . . . . . . 8 16 โˆˆ โ„•
4039nncni 12224 . . . . . . 7 16 โˆˆ โ„‚
4140a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 16 โˆˆ โ„‚)
4239nnne0i 12254 . . . . . . 7 16 โ‰  0
4342a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 16 โ‰  0)
4436, 41, 43divcld 11992 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆˆ โ„‚)
45 2nn0 12491 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
46 5nn0 12494 . . . . . . . . . 10 5 โˆˆ โ„•0
4745, 46deccl 12694 . . . . . . . . 9 25 โˆˆ โ„•0
4847, 38decnncl 12699 . . . . . . . 8 256 โˆˆ โ„•
4948nncni 12224 . . . . . . 7 256 โˆˆ โ„‚
5048nnne0i 12254 . . . . . . 7 256 โ‰  0
513, 49, 50divcli 11958 . . . . . 6 (3 / 256) โˆˆ โ„‚
52 4nn0 12493 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•0
53 expcl 14047 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
548, 52, 53sylancl 586 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
55 mulcl 11196 . . . . . 6 (((3 / 256) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)) โˆˆ โ„‚)
5651, 54, 55sylancr 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)) โˆˆ โ„‚)
5744, 56subcld 11573 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4))) โˆˆ โ„‚)
5835, 57addcld 11235 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))) โˆˆ โ„‚)
5927, 58eqeltrd 2833 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
6013, 26, 593jca 1128 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  5c5 12272  6c6 12273  8c8 12275  โ„•0cn0 12474  cdc 12679  โ†‘cexp 14029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-seq 13969  df-exp 14030
This theorem is referenced by:  quart1  26368  quartlem2  26370  quartlem3  26371  quartlem4  26372  quart  26373
  Copyright terms: Public domain W3C validator