MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quart1cl 26359
Description: Closure lemmas for quart 26366. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
quart1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
quart1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
quart1.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
quart1.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
quart1.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
quart1.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
Assertion
Ref Expression
quart1cl (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))

Proof of Theorem quart1cl
StepHypRef Expression
1 quart1.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ = (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))))
2 quart1.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 3cn 12293 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„‚
4 8cn 12309 . . . . . 6 8 โˆˆ โ„‚
5 8nn 12307 . . . . . . 7 8 โˆˆ โ„•
65nnne0i 12252 . . . . . 6 8 โ‰  0
73, 4, 6divcli 11956 . . . . 5 (3 / 8) โˆˆ โ„‚
8 quart1.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
98sqcld 14109 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10 mulcl 11194 . . . . 5 (((3 / 8) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
117, 9, 10sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
122, 11subcld 11571 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ((3 / 8) ยท (๐ดโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
131, 12eqeltrd 2834 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
14 quart1.q . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ = ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)))
15 quart1.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
168, 2mulcld 11234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1716halfcld 12457 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2) โˆˆ โ„‚)
1815, 17subcld 11571 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) โˆˆ โ„‚)
19 3nn0 12490 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„•0
20 expcl 14045 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
218, 19, 20sylancl 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘3) โˆˆ โ„‚)
224a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 8 โˆˆ โ„‚)
236a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 8 โ‰  0)
2421, 22, 23divcld 11990 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘3) / 8) โˆˆ โ„‚)
2518, 24addcld 11233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ†‘3) / 8)) โˆˆ โ„‚)
2614, 25eqeltrd 2834 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
27 quart1.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))))
28 quart1.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2915, 8mulcld 11234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
30 4cn 12297 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„‚
3130a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
32 4ne0 12320 . . . . . . 7 4 โ‰  0
3332a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
3429, 31, 33divcld 11990 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4) โˆˆ โ„‚)
3528, 34subcld 11571 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) โˆˆ โ„‚)
369, 2mulcld 11234 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
37 1nn0 12488 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•0
38 6nn 12301 . . . . . . . . 9 6 โˆˆ โ„•
3937, 38decnncl 12697 . . . . . . . 8 16 โˆˆ โ„•
4039nncni 12222 . . . . . . 7 16 โˆˆ โ„‚
4140a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 16 โˆˆ โ„‚)
4239nnne0i 12252 . . . . . . 7 16 โ‰  0
4342a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 16 โ‰  0)
4436, 41, 43divcld 11990 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆˆ โ„‚)
45 2nn0 12489 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•0
46 5nn0 12492 . . . . . . . . . 10 5 โˆˆ โ„•0
4745, 46deccl 12692 . . . . . . . . 9 25 โˆˆ โ„•0
4847, 38decnncl 12697 . . . . . . . 8 256 โˆˆ โ„•
4948nncni 12222 . . . . . . 7 256 โˆˆ โ„‚
5048nnne0i 12252 . . . . . . 7 256 โ‰  0
513, 49, 50divcli 11956 . . . . . 6 (3 / 256) โˆˆ โ„‚
52 4nn0 12491 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•0
53 expcl 14045 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
548, 52, 53sylancl 587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
55 mulcl 11194 . . . . . 6 (((3 / 256) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘4) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)) โˆˆ โ„‚)
5651, 54, 55sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)) โˆˆ โ„‚)
5744, 56subcld 11571 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4))) โˆˆ โ„‚)
5835, 57addcld 11233 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท โˆ’ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) / 16) โˆ’ ((3 / 256) ยท (๐ดโ†‘4)))) โˆˆ โ„‚)
5927, 58eqeltrd 2834 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
6013, 26, 593jca 1129 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  8c8 12273  โ„•0cn0 12472  cdc 12677  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  quart1  26361  quartlem2  26363  quartlem3  26364  quartlem4  26365  quart  26366
  Copyright terms: Public domain W3C validator