MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quart1cl 26202
Description: Closure lemmas for quart 26209. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
Assertion
Ref Expression
quart1cl (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quart1cl
StepHypRef Expression
1 quart1.p . . 3 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
2 quart1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 3cn 12233 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
4 8cn 12249 . . . . . 6 8 ∈ ℂ
5 8nn 12247 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ
65nnne0i 12192 . . . . . 6 8 ≠ 0
73, 4, 6divcli 11896 . . . . 5 (3 / 8) ∈ ℂ
8 quart1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
98sqcld 14048 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10 mulcl 11134 . . . . 5 (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
117, 9, 10sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
122, 11subcld 11511 . . 3 (𝜑 → (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
131, 12eqeltrd 2838 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
14 quart1.q . . 3 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
15 quart1.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
168, 2mulcld 11174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
1716halfcld 12397 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
1815, 17subcld 11511 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
19 3nn0 12430 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
20 expcl 13984 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
218, 19, 20sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
224a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
236a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 8 ≠ 0)
2421, 22, 23divcld 11930 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
2518, 24addcld 11173 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) ∈ ℂ)
2614, 25eqeltrd 2838 . 2 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
27 quart1.r . . 3 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
28 quart1.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2915, 8mulcld 11174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
30 4cn 12237 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
32 4ne0 12260 . . . . . . 7 4 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ≠ 0)
3429, 31, 33divcld 11930 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
3528, 34subcld 11511 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) ∈ ℂ)
369, 2mulcld 11174 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
37 1nn0 12428 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
38 6nn 12241 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
3937, 38decnncl 12637 . . . . . . . 8 16 ∈ ℕ
4039nncni 12162 . . . . . . 7 16 ∈ ℂ
4140a1i 11 . . . . . 6 (𝜑16 ∈ ℂ)
4239nnne0i 12192 . . . . . . 7 16 ≠ 0
4342a1i 11 . . . . . 6 (𝜑16 ≠ 0)
4436, 41, 43divcld 11930 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) ∈ ℂ)
45 2nn0 12429 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
46 5nn0 12432 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
4745, 46deccl 12632 . . . . . . . . 9 25 ∈ ℕ0
4847, 38decnncl 12637 . . . . . . . 8 256 ∈ ℕ
4948nncni 12162 . . . . . . 7 256 ∈ ℂ
5048nnne0i 12192 . . . . . . 7 256 ≠ 0
513, 49, 50divcli 11896 . . . . . 6 (3 / 256) ∈ ℂ
52 4nn0 12431 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
53 expcl 13984 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
548, 52, 53sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
55 mulcl 11134 . . . . . 6 (((3 / 256) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑4) ∈ ℂ) → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
5651, 54, 55sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
5744, 56subcld 11511 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
5835, 57addcld 11173 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) ∈ ℂ)
5927, 58eqeltrd 2838 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
6013, 26, 593jca 1128 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  (class class class)co 7356  cc 11048  0cc0 11050  1c1 11051   + caddc 11053   · cmul 11055  cmin 11384   / cdiv 11811  2c2 12207  3c3 12208  4c4 12209  5c5 12210  6c6 12211  8c8 12213  0cn0 12412  cdc 12617  cexp 13966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-seq 13906  df-exp 13967
This theorem is referenced by:  quart1  26204  quartlem2  26206  quartlem3  26207  quartlem4  26208  quart  26209
  Copyright terms: Public domain W3C validator