Theorem quart1cl 26764

Description: Closure lemmas for quart 26771. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
quart1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))

Assertion

Ref	Expression
quart1cl	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quart1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quart1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
2		quart1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		3cn 12267	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
4		8cn 12283	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℂ
5		8nn 12281	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ
6	5	nnne0i 12226	. . . . . 6 ⊢ 8 ≠ 0
7	3, 4, 6	divcli 11924	. . . . 5 ⊢ (3 / 8) ∈ ℂ
8		quart1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10		mulcl 11152	. . . . 5 ⊢ (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
11	7, 9, 10	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	2, 11	subcld 11533	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
13	1, 12	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
14		quart1.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
15		quart1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
16	8, 2	mulcld 11194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
17	16	halfcld 12427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
18	15, 17	subcld 11533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
19		3nn0 12460	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
20		expcl 14044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
21	8, 19, 20	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
22	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
23	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 8 ≠ 0)
24	21, 22, 23	divcld 11958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
25	18, 24	addcld 11193	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) ∈ ℂ)
26	14, 25	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
27		quart1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
28		quart1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
29	15, 8	mulcld 11194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
30		4cn 12271	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
32		4ne0 12294	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
34	29, 31, 33	divcld 11958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
35	28, 34	subcld 11533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) ∈ ℂ)
36	9, 2	mulcld 11194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
37		1nn0 12458	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
38		6nn 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
39	37, 38	decnncl 12669	. . . . . . . 8 ⊢ ;16 ∈ ℕ
40	39	nncni 12196	. . . . . . 7 ⊢ ;16 ∈ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℂ)
42	39	nnne0i 12226	. . . . . . 7 ⊢ ;16 ≠ 0
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ;16 ≠ 0)
44	36, 41, 43	divcld 11958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) ∈ ℂ)
45		2nn0 12459	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
46		5nn0 12462	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ0
47	45, 46	deccl 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
48	47, 38	decnncl 12669	. . . . . . . 8 ⊢ ;;256 ∈ ℕ
49	48	nncni 12196	. . . . . . 7 ⊢ ;;256 ∈ ℂ
50	48	nnne0i 12226	. . . . . . 7 ⊢ ;;256 ≠ 0
51	3, 49, 50	divcli 11924	. . . . . 6 ⊢ (3 / ;;256) ∈ ℂ
52		4nn0 12461	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
53		expcl 14044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
54	8, 52, 53	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
55		mulcl 11152	. . . . . 6 ⊢ (((3 / ;;256) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑4) ∈ ℂ) → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
56	51, 54, 55	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
57	44, 56	subcld 11533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
58	35, 57	addcld 11193	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))) ∈ ℂ)
59	27, 58	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
60	13, 26, 59	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405   / cdiv 11835  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  8c8 12247  ℕ₀cn0 12442  ;cdc 12649  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  quart1  26766  quartlem2  26768  quartlem3  26769  quartlem4  26770  quart  26771