Theorem cospi 26525

Description: The cosine of π is -1. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cospi	⊢ (cos‘π) = -1

Proof of Theorem cospi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 26509	. . . 4 ⊢ π ∈ ℂ
2		2cn 12287	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ne0 12318	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
4	1, 2, 3	divcli 11927	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
5		cos2t 16201	. . 3 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (π / 2))) = ((2 · ((cos‘(π / 2))↑2)) − 1))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (cos‘(2 · (π / 2))) = ((2 · ((cos‘(π / 2))↑2)) − 1)
7	1, 2, 3	divcan2i 11928	. . 3 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
8	7	fveq2i 6865	. 2 ⊢ (cos‘(2 · (π / 2))) = (cos‘π)
9		coshalfpi 26522	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
10	9	oveq1i 7401	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
11		sq0 14199	. . . . . . 7 ⊢ (0↑2) = 0
12	10, 11	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
13	12	oveq2i 7402	. . . . 5 ⊢ (2 · ((cos‘(π / 2))↑2)) = (2 · 0)
14		2t0e0 12382	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = 0
15	13, 14	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (2 · ((cos‘(π / 2))↑2)) = 0
16	15	oveq1i 7401	. . 3 ⊢ ((2 · ((cos‘(π / 2))↑2)) − 1) = (0 − 1)
17		df-neg 11411	. . 3 ⊢ -1 = (0 − 1)
18	16, 17	eqtr4i 2787	. 2 ⊢ ((2 · ((cos‘(π / 2))↑2)) − 1) = -1
19	6, 8, 18	3eqtr3i 2792	1 ⊢ (cos‘π) = -1

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067  1c1 11068   · cmul 11072   − cmin 11408  -cneg 11409   / cdiv 11838  2c2 12266  ↑cexp 14068  cosccos 16085  πcpi 16087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-lp 23184  df-perf 23185  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cncf 24928  df-limc 25916  df-dv 25917

This theorem is referenced by:  efipi  26526  sin2pi  26528  cos2pi  26529  sinmpi  26540  cosmpi  26541  sinppi  26542  cosppi  26543  coseq00topi  26555  cos0pilt1  26585  recosf1o  26588  coskpi2  46401  cosnegpi  46402  itgsin0pilem1  46485  dirkertrigeqlem1  46633  dirkertrigeqlem3  46635  goldratmolem2  47441