Theorem dp3mul10 33537

Description: Multiply by 10 a decimal expansion with 3 digits. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp3mul10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dp3mul10	⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = (;𝐴𝐵.𝐶)

Proof of Theorem dp3mul10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp3mul10.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dp3mul10.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12647	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		dp3mul10.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
5		dp2cl 33519	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → _𝐵𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 705	. . 3 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℝ
7	1, 6	dpmul10 33534	. 2 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ;𝐴_𝐵𝐶
8		dfdec10 12847	. 2 ⊢ ;𝐴_𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
9		10nn 12864	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
10	9	nncni 12375	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
11	1	nn0cni 12648	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
12	10, 11	mulcli 11346	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
13	3	recni 11353	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
14	4	recni 11353	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
15	9	nnne0i 12408	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ 0
16	14, 10, 15	divcli 12089	. . . . 5 ⊢ (𝐶 / ;10) ∈ ℂ
17	12, 13, 16	addassi 11349	. . . 4 ⊢ (((;10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / ;10)) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / ;10)))
18		dfdec10 12847	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
19	18	oveq1i 7456	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10)) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / ;10))
20		df-dp2 33511	. . . . 5 ⊢ _𝐵𝐶 = (𝐵 + (𝐶 / ;10))
21	20	oveq2i 7457	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / ;10)))
22	17, 19, 21	3eqtr4ri 2797	. . 3 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10))
23	1, 2	deccl 12859	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
24	23, 4	dpval2 33532	. . 3 ⊢ (;𝐴𝐵.𝐶) = (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10))
25	22, 24	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = (;𝐴𝐵.𝐶)
26	7, 8, 25	3eqtri 2790	1 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = (;𝐴𝐵.𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235   / cdiv 12003  ℕ₀cn0 12636  ;cdc 12844  _cdp2 33510  .cdp 33527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-dec 12845  df-dp2 33511  df-dp 33528

This theorem is used by:  dpmul4  33553