Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp3mul10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp3mul10 30323
Description: Multiply by 10 a decimal expansion with 3 digits. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp3mul10.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
dp3mul10 ((𝐴.𝐵𝐶) · 10) = (𝐴𝐵.𝐶)

Proof of Theorem dp3mul10
StepHypRef Expression
1 dp3mul10.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
2 dp3mul10.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
32nn0rei 11722 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
4 dp3mul10.c . . . 4 𝐶 ∈ ℝ
5 dp2cl 30305 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵𝐶 ∈ ℝ)
63, 4, 5mp2an 679 . . 3 𝐵𝐶 ∈ ℝ
71, 6dpmul10 30320 . 2 ((𝐴.𝐵𝐶) · 10) = 𝐴𝐵𝐶
8 dfdec10 11917 . 2 𝐴𝐵𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶)
9 10nn 11930 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ
109nncni 11452 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
111nn0cni 11723 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1210, 11mulcli 10449 . . . . 5 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
133recni 10456 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
144recni 10456 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℂ
159nnne0i 11483 . . . . . 6 10 ≠ 0
1614, 10, 15divcli 11185 . . . . 5 (𝐶 / 10) ∈ ℂ
1712, 13, 16addassi 10452 . . . 4 (((10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / 10)) = ((10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / 10)))
18 dfdec10 11917 . . . . 5 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
1918oveq1i 6988 . . . 4 (𝐴𝐵 + (𝐶 / 10)) = (((10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / 10))
20 df-dp2 30297 . . . . 5 𝐵𝐶 = (𝐵 + (𝐶 / 10))
2120oveq2i 6989 . . . 4 ((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶) = ((10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / 10)))
2217, 19, 213eqtr4ri 2813 . . 3 ((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶) = (𝐴𝐵 + (𝐶 / 10))
231, 2deccl 11929 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
2423, 4dpval2 30318 . . 3 (𝐴𝐵.𝐶) = (𝐴𝐵 + (𝐶 / 10))
2522, 24eqtr4i 2805 . 2 ((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶) = (𝐴𝐵.𝐶)
267, 8, 253eqtri 2806 1 ((𝐴.𝐵𝐶) · 10) = (𝐴𝐵.𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1507  wcel 2050  (class class class)co 6978  cr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   · cmul 10342   / cdiv 11100  0cn0 11710  cdc 11914  cdp2 30296  .cdp 30313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-dec 11915  df-dp2 30297  df-dp 30314
This theorem is referenced by:  dpmul4  30339
  Copyright terms: Public domain W3C validator