Theorem dp3mul10 32818

Description: Multiply by 10 a decimal expansion with 3 digits. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp3mul10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dp3mul10	⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = (;𝐴𝐵.𝐶)

Proof of Theorem dp3mul10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp3mul10.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dp3mul10.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12453	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		dp3mul10.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
5		dp2cl 32800	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → _𝐵𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℝ
7	1, 6	dpmul10 32815	. 2 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ;𝐴_𝐵𝐶
8		dfdec10 12652	. 2 ⊢ ;𝐴_𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
9		10nn 12665	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
10	9	nncni 12196	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
11	1	nn0cni 12454	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
12	10, 11	mulcli 11181	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
13	3	recni 11188	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
14	4	recni 11188	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
15	9	nnne0i 12226	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ 0
16	14, 10, 15	divcli 11924	. . . . 5 ⊢ (𝐶 / ;10) ∈ ℂ
17	12, 13, 16	addassi 11184	. . . 4 ⊢ (((;10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / ;10)) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / ;10)))
18		dfdec10 12652	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
19	18	oveq1i 7397	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10)) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / ;10))
20		df-dp2 32792	. . . . 5 ⊢ _𝐵𝐶 = (𝐵 + (𝐶 / ;10))
21	20	oveq2i 7398	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / ;10)))
22	17, 19, 21	3eqtr4ri 2763	. . 3 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10))
23	1, 2	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
24	23, 4	dpval2 32813	. . 3 ⊢ (;𝐴𝐵.𝐶) = (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10))
25	22, 24	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = (;𝐴𝐵.𝐶)
26	7, 8, 25	3eqtri 2756	1 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = (;𝐴𝐵.𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   / cdiv 11835  ℕ₀cn0 12442  ;cdc 12649  _cdp2 32791  .cdp 32808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-dec 12650  df-dp2 32792  df-dp 32809

This theorem is referenced by:  dpmul4  32834