Theorem dp3mul10 32972

Description: Multiply by 10 a decimal expansion with 3 digits. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp3mul10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dp3mul10	⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = (;𝐴𝐵.𝐶)

Proof of Theorem dp3mul10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp3mul10.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dp3mul10.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12439	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		dp3mul10.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
5		dp2cl 32954	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → _𝐵𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 693	. . 3 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℝ
7	1, 6	dpmul10 32969	. 2 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ;𝐴_𝐵𝐶
8		dfdec10 12638	. 2 ⊢ ;𝐴_𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
9		10nn 12651	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
10	9	nncni 12175	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
11	1	nn0cni 12440	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
12	10, 11	mulcli 11143	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
13	3	recni 11150	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
14	4	recni 11150	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
15	9	nnne0i 12208	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ 0
16	14, 10, 15	divcli 11888	. . . . 5 ⊢ (𝐶 / ;10) ∈ ℂ
17	12, 13, 16	addassi 11146	. . . 4 ⊢ (((;10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / ;10)) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / ;10)))
18		dfdec10 12638	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
19	18	oveq1i 7370	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10)) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / ;10))
20		df-dp2 32946	. . . . 5 ⊢ _𝐵𝐶 = (𝐵 + (𝐶 / ;10))
21	20	oveq2i 7371	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / ;10)))
22	17, 19, 21	3eqtr4ri 2771	. . 3 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10))
23	1, 2	deccl 12650	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
24	23, 4	dpval2 32967	. . 3 ⊢ (;𝐴𝐵.𝐶) = (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10))
25	22, 24	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = (;𝐴𝐵.𝐶)
26	7, 8, 25	3eqtri 2764	1 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = (;𝐴𝐵.𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   / cdiv 11798  ℕ₀cn0 12428  ;cdc 12635  _cdp2 32945  .cdp 32962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-dec 12636  df-dp2 32946  df-dp 32963

This theorem is referenced by:  dpmul4  32988