Theorem dp3mul10 32876

Description: Multiply by 10 a decimal expansion with 3 digits. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp3mul10.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dp3mul10	⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = (;𝐴𝐵.𝐶)

Proof of Theorem dp3mul10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp3mul10.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		dp3mul10.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12392	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		dp3mul10.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
5		dp2cl 32858	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → _𝐵𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ _𝐵𝐶 ∈ ℝ
7	1, 6	dpmul10 32873	. 2 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = ;𝐴_𝐵𝐶
8		dfdec10 12591	. 2 ⊢ ;𝐴_𝐵𝐶 = ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶)
9		10nn 12604	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℕ
10	9	nncni 12135	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
11	1	nn0cni 12393	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
12	10, 11	mulcli 11119	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
13	3	recni 11126	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
14	4	recni 11126	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
15	9	nnne0i 12165	. . . . . 6 ⊢ ;10 ≠ 0
16	14, 10, 15	divcli 11863	. . . . 5 ⊢ (𝐶 / ;10) ∈ ℂ
17	12, 13, 16	addassi 11122	. . . 4 ⊢ (((;10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / ;10)) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / ;10)))
18		dfdec10 12591	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
19	18	oveq1i 7356	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10)) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / ;10))
20		df-dp2 32850	. . . . 5 ⊢ _𝐵𝐶 = (𝐵 + (𝐶 / ;10))
21	20	oveq2i 7357	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = ((;10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / ;10)))
22	17, 19, 21	3eqtr4ri 2765	. . 3 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10))
23	1, 2	deccl 12603	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
24	23, 4	dpval2 32871	. . 3 ⊢ (;𝐴𝐵.𝐶) = (;𝐴𝐵 + (𝐶 / ;10))
25	22, 24	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + _𝐵𝐶) = (;𝐴𝐵.𝐶)
26	7, 8, 25	3eqtri 2758	1 ⊢ ((𝐴._𝐵𝐶) · ;10) = (;𝐴𝐵.𝐶)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   / cdiv 11774  ℕ₀cn0 12381  ;cdc 12588  _cdp2 32849  .cdp 32866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-dec 12589  df-dp2 32850  df-dp 32867

This theorem is referenced by:  dpmul4  32892