Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp3mul10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp3mul10 32748
Description: Multiply by 10 a decimal expansion with 3 digits. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp3mul10.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp3mul10.b 𝐵 ∈ ℕ0
dp3mul10.c 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
dp3mul10 ((𝐴.𝐵𝐶) · 10) = (𝐴𝐵.𝐶)

Proof of Theorem dp3mul10
StepHypRef Expression
1 dp3mul10.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
2 dp3mul10.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
32nn0rei 12530 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
4 dp3mul10.c . . . 4 𝐶 ∈ ℝ
5 dp2cl 32730 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵𝐶 ∈ ℝ)
63, 4, 5mp2an 690 . . 3 𝐵𝐶 ∈ ℝ
71, 6dpmul10 32745 . 2 ((𝐴.𝐵𝐶) · 10) = 𝐴𝐵𝐶
8 dfdec10 12727 . 2 𝐴𝐵𝐶 = ((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶)
9 10nn 12740 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ
109nncni 12269 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
111nn0cni 12531 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1210, 11mulcli 11267 . . . . 5 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
133recni 11274 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
144recni 11274 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℂ
159nnne0i 12299 . . . . . 6 10 ≠ 0
1614, 10, 15divcli 12003 . . . . 5 (𝐶 / 10) ∈ ℂ
1712, 13, 16addassi 11270 . . . 4 (((10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / 10)) = ((10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / 10)))
18 dfdec10 12727 . . . . 5 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
1918oveq1i 7433 . . . 4 (𝐴𝐵 + (𝐶 / 10)) = (((10 · 𝐴) + 𝐵) + (𝐶 / 10))
20 df-dp2 32722 . . . . 5 𝐵𝐶 = (𝐵 + (𝐶 / 10))
2120oveq2i 7434 . . . 4 ((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶) = ((10 · 𝐴) + (𝐵 + (𝐶 / 10)))
2217, 19, 213eqtr4ri 2764 . . 3 ((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶) = (𝐴𝐵 + (𝐶 / 10))
231, 2deccl 12739 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℕ0
2423, 4dpval2 32743 . . 3 (𝐴𝐵.𝐶) = (𝐴𝐵 + (𝐶 / 10))
2522, 24eqtr4i 2756 . 2 ((10 · 𝐴) + 𝐵𝐶) = (𝐴𝐵.𝐶)
267, 8, 253eqtri 2757 1 ((𝐴.𝐵𝐶) · 10) = (𝐴𝐵.𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7423  cr 11153  0cc0 11154  1c1 11155   + caddc 11157   · cmul 11159   / cdiv 11917  0cn0 12519  cdc 12724  cdp2 32721  .cdp 32738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-dec 12725  df-dp2 32722  df-dp 32739
This theorem is referenced by:  dpmul4  32764
  Copyright terms: Public domain W3C validator