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Theorem dirkerper 40823
Description: the Dirichlet Kernel has period . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkerper.1 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkerper.2 𝑇 = (2 · π)
Assertion
Ref Expression
dirkerper ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐷𝑁)‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑁   𝑦,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dirkerper
StepHypRef Expression
1 dirkerper.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (2 · π)
21eqcomi 2780 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) = 𝑇
32oveq2i 6802 . . . . . . . . . . 11 (1 · (2 · π)) = (1 · 𝑇)
4 2re 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
5 pire 24424 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
64, 5remulcli 10254 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ∈ ℝ
71, 6eqeltri 2846 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ
87recni 10252 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 ∈ ℂ
98mulid2i 10243 . . . . . . . . . . 11 (1 · 𝑇) = 𝑇
103, 9eqtri 2793 . . . . . . . . . 10 (1 · (2 · π)) = 𝑇
1110oveq2i 6802 . . . . . . . . 9 (𝑥 + (1 · (2 · π))) = (𝑥 + 𝑇)
1211eqcomi 2780 . . . . . . . 8 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · (2 · π)))
1312oveq1i 6801 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π))
1413a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)))
15 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
1615ad2antlr 706 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 2rp 12033 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
18 pirp 24427 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ+
19 rpmulcl 12051 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
2017, 18, 19mp2an 672 . . . . . . . 8 (2 · π) ∈ ℝ+
2120a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
22 1z 11607 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℤ)
24 modcyc 12906 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
2516, 21, 23, 24syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
26 simpr 471 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (𝑥 mod (2 · π)) = 0)
2714, 25, 263eqtrd 2809 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0)
2827iftrued 4233 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
29 iftrue 4231 . . . . 5 ((𝑥 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
3029adantl 467 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
3128, 30eqtr4d 2808 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
32 iffalse 4234 . . . . 5 (¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
3332adantl 467 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
34 nncn 11228 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
35 halfcn 11447 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℂ
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
3734, 36addcld 10259 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
3837adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
39 recn 10226 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4039adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4138, 40mulcld 10260 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℂ)
4241sincld 15059 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
4342adantr 466 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
446recni 10252 . . . . . . . 8 (2 · π) ∈ ℂ
4544a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
4640halfcld 11477 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
4746sincld 15059 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
4845, 47mulcld 10260 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
4948adantr 466 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
50 dirkerdenne0 40820 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ≠ 0)
5150adantll 693 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ≠ 0)
5243, 49, 51div2negd 11016 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
5313a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)))
5420, 22, 24mp3an23 1564 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
5553, 54eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
5655adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
57 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0)
5857neqned 2950 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (𝑥 mod (2 · π)) ≠ 0)
5956, 58eqnetrd 3010 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) ≠ 0)
6059neneqd 2948 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0)
61 iffalse 4234 . . . . . . . 8 (¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0 → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)))))
621oveq2i 6802 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (2 · π))
6362oveq2i 6802 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))
6463fveq2i 6333 . . . . . . . . 9 (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))))
6562oveq1i 6801 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 + 𝑇) / 2) = ((𝑥 + (2 · π)) / 2)
6665fveq2i 6333 . . . . . . . . . 10 (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)) = (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))
6766oveq2i 6802 . . . . . . . . 9 ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))
6864, 67oveq12i 6803 . . . . . . . 8 ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))))
6961, 68syl6eq 2821 . . . . . . 7 (¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0 → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
7060, 69syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
7170adantll 693 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
7244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℂ)
7334, 36, 72adddird 10265 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = ((𝑁 · (2 · π)) + ((1 / 2) · (2 · π))))
74 ax-1cn 10194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
75 2cnne0 11442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
76 2cn 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
77 picn 24425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℂ
7876, 77mulcli 10245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℂ
79 div32 10905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (2 · π)) = (1 · ((2 · π) / 2)))
8074, 75, 78, 79mp3an 1572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2) · (2 · π)) = (1 · ((2 · π) / 2))
81 2ne0 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
8278, 76, 81divcli 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · π) / 2) ∈ ℂ
8382mulid2i 10243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · ((2 · π) / 2)) = ((2 · π) / 2)
8477, 76, 81divcan3i 10971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · π) / 2) = π
8583, 84eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · ((2 · π) / 2)) = π
8680, 85eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 2) · (2 · π)) = π
8786oveq2i 6802 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 · (2 · π)) + ((1 / 2) · (2 · π))) = ((𝑁 · (2 · π)) + π)
8873, 87syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = ((𝑁 · (2 · π)) + π))
8988oveq2d 6807 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
9089adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
9138, 40, 45adddid 10264 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))))
9234, 72mulcld 10260 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (2 · π)) ∈ ℂ)
9392adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 · (2 · π)) ∈ ℂ)
9477a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → π ∈ ℂ)
9541, 93, 94addassd 10262 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
9690, 91, 953eqtr4d 2815 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))) = ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π))
9796fveq2d 6334 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) = (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)))
9841, 93addcld 10259 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) ∈ ℂ)
99 sinppi 24455 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) ∈ ℂ → (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)) = -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))))
10098, 99syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)) = -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))))
101 simpl 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
102101nnzd 11681 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℤ)
103 sinper 24447 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
10441, 102, 103syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
105104negeqd 10475 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = -(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
10697, 100, 1053eqtrd 2809 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) = -(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
10744a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℂ)
10876a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
10981a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
11039, 107, 108, 109divdird 11039 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (2 · π)) / 2) = ((𝑥 / 2) + ((2 · π) / 2)))
11184a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) / 2) = π)
112111oveq2d 6807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 / 2) + ((2 · π) / 2)) = ((𝑥 / 2) + π))
113110, 112eqtrd 2805 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (2 · π)) / 2) = ((𝑥 / 2) + π))
114113fveq2d 6334 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)) = (sin‘((𝑥 / 2) + π)))
11539halfcld 11477 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
116 sinppi 24455 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝑥 / 2) + π)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 / 2) + π)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
118114, 117eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
119118oveq2d 6807 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))) = ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))))
120119adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))) = ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))))
121106, 120oveq12d 6809 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))))
122121adantr 466 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))))
123115sincld 15059 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
124107, 123mulneg2d 10684 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))) = -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))
125124oveq2d 6807 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
126125ad2antlr 706 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
12771, 122, 1263eqtrrd 2810 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
12833, 52, 1273eqtr2rd 2812 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
12931, 128pm2.61dan 814 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
1307a1i 11 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ)
13115, 130readdcld 10269 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
132 dirkerper.1 . . . 4 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
133132dirkerval2 40821 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
134131, 133sylan2 580 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
135132dirkerval2 40821 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑥) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
136129, 134, 1353eqtr4d 2815 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐷𝑁)‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  ifcif 4225  cmpt 4863  cfv 6029  (class class class)co 6791  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141  -cneg 10467   / cdiv 10884  cn 11220  2c2 11270  cz 11577  +crp 12028   mod cmo 12869  sincsin 14993  πcpi 14996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-ioo 12377  df-ioc 12378  df-ico 12379  df-icc 12380  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-fl 12794  df-mod 12870  df-seq 13002  df-exp 13061  df-fac 13258  df-bc 13287  df-hash 13315  df-shft 14008  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-limsup 14403  df-clim 14420  df-rlim 14421  df-sum 14618  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-starv 16157  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-unif 16166  df-hom 16167  df-cco 16168  df-rest 16284  df-topn 16285  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-topgen 16305  df-pt 16306  df-prds 16309  df-xrs 16363  df-qtop 16368  df-imas 16369  df-xps 16371  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23843  df-dv 23844
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