Theorem dirkerper 46634

Description: the Dirichlet kernel has period 2π. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkerper.1	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkerper.2	⊢ 𝑇 = (2 · π)

Assertion

Ref	Expression
dirkerper	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐷‘𝑁)‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑁   𝑦,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dirkerper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkerper.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
2	1	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) = 𝑇
3	2	oveq2i 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (2 · π)) = (1 · 𝑇)
4		2pire 26497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
5	1, 4	eqeltri 2857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
6	5	recni 11193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
7	6	mullidi 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 𝑇) = 𝑇
8	3, 7	eqtri 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (2 · π)) = 𝑇
9	8	oveq2i 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 + (1 · (2 · π))) = (𝑥 + 𝑇)
10	9	eqcomi 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · (2 · π)))
11	10	oveq1i 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)))
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		2rp 12995	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16		pirp 26503	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ+
17		rpmulcl 13015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
18	15, 16, 17	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
20		1z 12598	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℤ)
22		modcyc 13913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
23	14, 19, 21, 22	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
24		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (𝑥 mod (2 · π)) = 0)
25	12, 23, 24	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0)
26	25	iftrued 4487	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
27		iftrue 4485	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
28	27	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
29	26, 28	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
30		iffalse 4488	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
31	30	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
32		nncn 12215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
33		halfcn 12432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
35	32, 34	addcld 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
36	35	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
37		recn 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
38	37	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	36, 38	mulcld 11199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℂ)
40	39	sincld 16145	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
41	40	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
42		2picn 26499	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
44	38	halfcld 12463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
45	44	sincld 16145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
46	43, 45	mulcld 11199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
47	46	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
48		dirkerdenne0 46631	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ≠ 0)
49	48	adantll 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ≠ 0)
50	41, 47, 49	div2negd 11979	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
51	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)))
52	18, 20, 22	mp3an23 1473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
53	51, 52	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
54	53	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
55		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0)
56	55	neqned 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (𝑥 mod (2 · π)) ≠ 0)
57	54, 56	eqnetrd 3023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) ≠ 0)
58	57	neneqd 2961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0)
59		iffalse 4488	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0 → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)))))
60	1	oveq2i 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (2 · π))
61	60	oveq2i 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))
62	61	fveq2i 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))))
63	60	oveq1i 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) / 2) = ((𝑥 + (2 · π)) / 2)
64	63	fveq2i 6866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)) = (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))
65	64	oveq2i 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))
66	62, 65	oveq12i 7404	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))))
67	59, 66	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0 → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
68	58, 67	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
69	68	adantll 724	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
70	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℂ)
71	32, 34, 70	adddird 11204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = ((𝑁 · (2 · π)) + ((1 / 2) · (2 · π))))
72		ax-1cn 11128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
73		2cnne0 12427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
74		div32 11862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (2 · π)) = (1 · ((2 · π) / 2)))
75	72, 73, 42, 74	mp3an 1481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / 2) · (2 · π)) = (1 · ((2 · π) / 2))
76		2cn 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
77		2ne0 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ≠ 0
78	42, 76, 77	divcli 11930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · π) / 2) ∈ ℂ
79	78	mullidi 11184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · ((2 · π) / 2)) = ((2 · π) / 2)
80		picn 26498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℂ
81	80, 76, 77	divcan3i 11934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · π) / 2) = π
82	79, 81	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · ((2 · π) / 2)) = π
83	75, 82	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 / 2) · (2 · π)) = π
84	83	oveq2i 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 · (2 · π)) + ((1 / 2) · (2 · π))) = ((𝑁 · (2 · π)) + π)
85	71, 84	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = ((𝑁 · (2 · π)) + π))
86	85	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
87	86	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
88	36, 38, 43	adddid 11203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))))
89	32, 70	mulcld 11199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (2 · π)) ∈ ℂ)
90	89	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 · (2 · π)) ∈ ℂ)
91	80	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → π ∈ ℂ)
92	39, 90, 91	addassd 11201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
93	87, 88, 92	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))) = ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π))
94	93	fveq2d 6867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) = (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)))
95	39, 90	addcld 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) ∈ ℂ)
96		sinppi 26531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) ∈ ℂ → (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)) = -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))))
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)) = -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))))
98		simpl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
99	98	nnzd 12591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℤ)
100		sinper 26523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
101	39, 99, 100	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
102	101	negeqd 11421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = -(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
103	94, 97, 102	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) = -(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
104	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℂ)
105	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
106	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
107	37, 104, 105, 106	divdird 12002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (2 · π)) / 2) = ((𝑥 / 2) + ((2 · π) / 2)))
108	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) / 2) = π)
109	108	oveq2d 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 / 2) + ((2 · π) / 2)) = ((𝑥 / 2) + π))
110	107, 109	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (2 · π)) / 2) = ((𝑥 / 2) + π))
111	110	fveq2d 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)) = (sin‘((𝑥 / 2) + π)))
112	37	halfcld 12463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
113		sinppi 26531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝑥 / 2) + π)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 / 2) + π)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
115	111, 114	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
116	115	oveq2d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))) = ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))))
117	116	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))) = ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))))
118	103, 117	oveq12d 7410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))))
119	118	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))))
120	112	sincld 16145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
121	104, 120	mulneg2d 11638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))) = -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))
122	121	oveq2d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
123	122	ad2antlr 737	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
124	69, 119, 123	3eqtrrd 2801	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
125	31, 50, 124	3eqtr2rd 2803	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
126	29, 125	pm2.61dan 822	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
127	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ)
128	13, 127	readdcld 11208	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
129		dirkerper.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
130	129	dirkerval2 46632	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
131	128, 130	sylan2 602	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
132	129	dirkerval2 46632	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘𝑥) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
133	126, 131, 132	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐷‘𝑁)‘𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ifcif 4479   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075  -cneg 11412   / cdiv 11841  ℕcn 12207  2c2 12269  ℤcz 12565  ℝ⁺crp 12990   mod cmo 13876  sincsin 16076  πcpi 16079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909

This theorem is referenced by:  fourierdlem111  46755