Theorem dirkerper 46850

Description: the Dirichlet kernel has period 2π. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkerper.1	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkerper.2	⊢ 𝑇 = (2 · π)

Assertion

Ref	Expression
dirkerper	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐷‘𝑁)‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑁   𝑦,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑁(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem dirkerper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkerper.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
2	1	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) = 𝑇
3	2	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (2 · π)) = (1 · 𝑇)
4		2pire 26657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
5	1, 4	eqeltri 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
6	5	recni 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
7	6	mullidi 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 𝑇) = 𝑇
8	3, 7	eqtri 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · (2 · π)) = 𝑇
9	8	oveq2i 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 + (1 · (2 · π))) = (𝑥 + 𝑇)
10	9	eqcomi 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · (2 · π)))
11	10	oveq1i 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π))
12	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)))
13		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		2rp 13039	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
16		pirp 26663	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ+
17		rpmulcl 13059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
18	15, 16, 17	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ+
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
20		1z 12642	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℤ)
22		modcyc 13959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
23	14, 19, 21, 22	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
24		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (𝑥 mod (2 · π)) = 0)
25	12, 23, 24	3eqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0)
26	25	iftrued 4500	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
27		iftrue 4498	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
28	27	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
29	26, 28	eqtr4d 2804	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
30		iffalse 4501	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
31	30	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
32		nncn 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
33		halfcn 12476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
35	32, 34	addcld 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
36	35	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
37		recn 11208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
38	37	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
39	36, 38	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℂ)
40	39	sincld 16211	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
41	40	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
42		2picn 26659	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
44	38	halfcld 12507	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
45	44	sincld 16211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
46	43, 45	mulcld 11247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
47	46	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
48		dirkerdenne0 46847	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ≠ 0)
49	48	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ≠ 0)
50	41, 47, 49	div2negd 12024	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
51	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)))
52	18, 20, 22	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
53	51, 52	eqtrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
54	53	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
55		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0)
56	55	neqned 2968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (𝑥 mod (2 · π)) ≠ 0)
57	54, 56	eqnetrd 3028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) ≠ 0)
58	57	neneqd 2966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0)
59		iffalse 4501	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0 → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)))))
60	1	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (2 · π))
61	60	oveq2i 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))
62	61	fveq2i 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))))
63	60	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) / 2) = ((𝑥 + (2 · π)) / 2)
64	63	fveq2i 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)) = (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))
65	64	oveq2i 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))
66	62, 65	oveq12i 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))))
67	59, 66	eqtrdi 2817	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0 → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
68	58, 67	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
69	68	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
70	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℂ)
71	32, 34, 70	adddird 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = ((𝑁 · (2 · π)) + ((1 / 2) · (2 · π))))
72		ax-1cn 11176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
73		2cnne0 12471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
74		div32 11910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (2 · π)) = (1 · ((2 · π) / 2)))
75	72, 73, 42, 74	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / 2) · (2 · π)) = (1 · ((2 · π) / 2))
76		2cn 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
77		2ne0 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ≠ 0
78	42, 76, 77	divcli 11975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · π) / 2) ∈ ℂ
79	78	mullidi 11232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · ((2 · π) / 2)) = ((2 · π) / 2)
80		picn 26658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℂ
81	80, 76, 77	divcan3i 11979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · π) / 2) = π
82	79, 81	eqtri 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · ((2 · π) / 2)) = π
83	75, 82	eqtri 2789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 / 2) · (2 · π)) = π
84	83	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 · (2 · π)) + ((1 / 2) · (2 · π))) = ((𝑁 · (2 · π)) + π)
85	71, 84	eqtrdi 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = ((𝑁 · (2 · π)) + π))
86	85	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
87	86	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
88	36, 38, 43	adddid 11251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))))
89	32, 70	mulcld 11247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (2 · π)) ∈ ℂ)
90	89	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 · (2 · π)) ∈ ℂ)
91	80	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → π ∈ ℂ)
92	39, 90, 91	addassd 11249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
93	87, 88, 92	3eqtr4d 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))) = ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π))
94	93	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) = (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)))
95	39, 90	addcld 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) ∈ ℂ)
96		sinppi 26691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) ∈ ℂ → (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)) = -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))))
97	95, 96	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)) = -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))))
98		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
99	98	nnzd 12635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℤ)
100		sinper 26683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
101	39, 99, 100	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
102	101	negeqd 11469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = -(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
103	94, 97, 102	3eqtrd 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) = -(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
104	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℂ)
105	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
106	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
107	37, 104, 105, 106	divdird 12047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (2 · π)) / 2) = ((𝑥 / 2) + ((2 · π) / 2)))
108	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) / 2) = π)
109	108	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 / 2) + ((2 · π) / 2)) = ((𝑥 / 2) + π))
110	107, 109	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (2 · π)) / 2) = ((𝑥 / 2) + π))
111	110	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)) = (sin‘((𝑥 / 2) + π)))
112	37	halfcld 12507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
113		sinppi 26691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝑥 / 2) + π)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
114	112, 113	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 / 2) + π)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
115	111, 114	eqtrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
116	115	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))) = ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))))
117	116	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))) = ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))))
118	103, 117	oveq12d 7441	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))))
119	118	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))))
120	112	sincld 16211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
121	104, 120	mulneg2d 11686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))) = -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))
122	121	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
123	122	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
124	69, 119, 123	3eqtrrd 2806	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
125	31, 50, 124	3eqtr2rd 2808	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
126	29, 125	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
127	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ)
128	13, 127	readdcld 11256	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
129		dirkerper.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
130	129	dirkerval2 46848	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
131	128, 130	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
132	129	dirkerval2 46848	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘𝑥) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
133	126, 131, 132	3eqtr4d 2811	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷‘𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐷‘𝑁)‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ifcif 4492   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  -cneg 11460   / cdiv 11889  ℕcn 12251  2c2 12313  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13034   mod cmo 13922  sincsin 16142  πcpi 16145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063

This theorem is used by:  fourierdlem111  46971