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Theorem dirkerper 44327
Description: the Dirichlet Kernel has period . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkerper.1 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkerper.2 𝑇 = (2 · π)
Assertion
Ref Expression
dirkerper ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐷𝑁)‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑁   𝑦,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dirkerper
StepHypRef Expression
1 dirkerper.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (2 · π)
21eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) = 𝑇
32oveq2i 7368 . . . . . . . . . . 11 (1 · (2 · π)) = (1 · 𝑇)
4 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
5 pire 25815 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
64, 5remulcli 11171 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · π) ∈ ℝ
71, 6eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 ∈ ℝ
87recni 11169 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 ∈ ℂ
98mulid2i 11160 . . . . . . . . . . 11 (1 · 𝑇) = 𝑇
103, 9eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 (1 · (2 · π)) = 𝑇
1110oveq2i 7368 . . . . . . . . 9 (𝑥 + (1 · (2 · π))) = (𝑥 + 𝑇)
1211eqcomi 2745 . . . . . . . 8 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · (2 · π)))
1312oveq1i 7367 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π))
1413a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)))
15 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
1615ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 2rp 12920 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
18 pirp 25818 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ+
19 rpmulcl 12938 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
2017, 18, 19mp2an 690 . . . . . . . 8 (2 · π) ∈ ℝ+
2120a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
22 1z 12533 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → 1 ∈ ℤ)
24 modcyc 13811 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
2516, 21, 23, 24syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
26 simpr 485 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (𝑥 mod (2 · π)) = 0)
2714, 25, 263eqtrd 2780 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0)
2827iftrued 4494 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
29 iftrue 4492 . . . . 5 ((𝑥 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
3029adantl 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)))
3128, 30eqtr4d 2779 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
32 iffalse 4495 . . . . 5 (¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
3332adantl 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
34 nncn 12161 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
35 halfcn 12368 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℂ
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
3734, 36addcld 11174 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
39 recn 11141 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
4039adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4138, 40mulcld 11175 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℂ)
4241sincld 16012 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
4342adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) ∈ ℂ)
446recni 11169 . . . . . . . 8 (2 · π) ∈ ℂ
4544a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
4640halfcld 12398 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
4746sincld 16012 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
4845, 47mulcld 11175 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
4948adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ∈ ℂ)
50 dirkerdenne0 44324 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ≠ 0)
5150adantll 712 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) ≠ 0)
5243, 49, 51div2negd 11946 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
5313a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)))
5420, 22, 24mp3an23 1453 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (1 · (2 · π))) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
5553, 54eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
5655adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = (𝑥 mod (2 · π)))
57 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0)
5857neqned 2950 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (𝑥 mod (2 · π)) ≠ 0)
5956, 58eqnetrd 3011 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) ≠ 0)
6059neneqd 2948 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0)
61 iffalse 4495 . . . . . . . 8 (¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0 → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)))))
621oveq2i 7368 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (2 · π))
6362oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))
6463fveq2i 6845 . . . . . . . . 9 (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))))
6562oveq1i 7367 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 + 𝑇) / 2) = ((𝑥 + (2 · π)) / 2)
6665fveq2i 6845 . . . . . . . . . 10 (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)) = (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))
6766oveq2i 7368 . . . . . . . . 9 ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))) = ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))
6864, 67oveq12i 7369 . . . . . . . 8 ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))))
6961, 68eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (¬ ((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0 → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
7060, 69syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
7170adantll 712 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))))
7244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · π) ∈ ℂ)
7334, 36, 72adddird 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = ((𝑁 · (2 · π)) + ((1 / 2) · (2 · π))))
74 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
75 2cnne0 12363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
76 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
77 picn 25816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℂ
7876, 77mulcli 11162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℂ
79 div32 11833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 · π) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (2 · π)) = (1 · ((2 · π) / 2)))
8074, 75, 78, 79mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2) · (2 · π)) = (1 · ((2 · π) / 2))
81 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
8278, 76, 81divcli 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · π) / 2) ∈ ℂ
8382mulid2i 11160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · ((2 · π) / 2)) = ((2 · π) / 2)
8477, 76, 81divcan3i 11901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · π) / 2) = π
8583, 84eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · ((2 · π) / 2)) = π
8680, 85eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 2) · (2 · π)) = π
8786oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 · (2 · π)) + ((1 / 2) · (2 · π))) = ((𝑁 · (2 · π)) + π)
8873, 87eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π)) = ((𝑁 · (2 · π)) + π))
8988oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
9089adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
9138, 40, 45adddid 11179 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 + (1 / 2)) · (2 · π))))
9234, 72mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · (2 · π)) ∈ ℂ)
9392adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑁 · (2 · π)) ∈ ℂ)
9477a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → π ∈ ℂ)
9541, 93, 94addassd 11177 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + ((𝑁 · (2 · π)) + π)))
9690, 91, 953eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π))) = ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π))
9796fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) = (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)))
9841, 93addcld 11174 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) ∈ ℂ)
99 sinppi 25846 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) ∈ ℂ → (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)) = -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))))
10098, 99syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π))) + π)) = -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))))
101 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
102101nnzd 12526 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℤ)
103 sinper 25838 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
10441, 102, 103syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
105104negeqd 11395 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) + (𝑁 · (2 · π)))) = -(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
10697, 100, 1053eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) = -(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
10744a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (2 · π) ∈ ℂ)
10876a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
10981a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
11039, 107, 108, 109divdird 11969 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (2 · π)) / 2) = ((𝑥 / 2) + ((2 · π) / 2)))
11184a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) / 2) = π)
112111oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 / 2) + ((2 · π) / 2)) = ((𝑥 / 2) + π))
113110, 112eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (2 · π)) / 2) = ((𝑥 / 2) + π))
114113fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)) = (sin‘((𝑥 / 2) + π)))
11539halfcld 12398 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
116 sinppi 25846 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 / 2) ∈ ℂ → (sin‘((𝑥 / 2) + π)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 / 2) + π)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
118114, 117eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)) = -(sin‘(𝑥 / 2)))
119118oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))) = ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))))
120119adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2))) = ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))))
121106, 120oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))))
122121adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + (2 · π)))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + (2 · π)) / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))))
123115sincld 16012 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘(𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
124107, 123mulneg2d 11609 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2))) = -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))
125124oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
126125ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · -(sin‘(𝑥 / 2)))) = (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))
12771, 122, 1263eqtrrd 2781 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → (-(sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / -((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
12833, 52, 1273eqtr2rd 2783 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑥 mod (2 · π)) = 0) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
12931, 128pm2.61dan 811 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
1307a1i 11 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ)
13115, 130readdcld 11184 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
132 dirkerper.1 . . . 4 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
133132dirkerval2 44325 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
134131, 133sylan2 593 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = if(((𝑥 + 𝑇) mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · (𝑥 + 𝑇))) / ((2 · π) · (sin‘((𝑥 + 𝑇) / 2))))))
135132dirkerval2 44325 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘𝑥) = if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))
136129, 134, 1353eqtr4d 2786 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑁)‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐷𝑁)‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  ifcif 4486  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  +crp 12915   mod cmo 13774  sincsin 15946  πcpi 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  fourierdlem111  44448
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