Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpmul10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpmul10 32639
Description: Multiply by 10 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpval2.a ๐ด โˆˆ โ„•0
dpval2.b ๐ต โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
dpmul10 ((๐ด.๐ต) ยท 10) = ๐ด๐ต

Proof of Theorem dpmul10
StepHypRef Expression
1 dpval2.b . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„
21recni 11266 . . . 4 ๐ต โˆˆ โ„‚
3 10nn 12731 . . . . 5 10 โˆˆ โ„•
43nncni 12260 . . . 4 10 โˆˆ โ„‚
53nnne0i 12290 . . . 4 10 โ‰  0
62, 4, 5divcan2i 11995 . . 3 (10 ยท (๐ต / 10)) = ๐ต
76oveq2i 7437 . 2 ((10 ยท ๐ด) + (10 ยท (๐ต / 10))) = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
8 dpval2.a . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
98, 1dpval2 32637 . . . 4 (๐ด.๐ต) = (๐ด + (๐ต / 10))
109oveq2i 7437 . . 3 (10 ยท (๐ด.๐ต)) = (10 ยท (๐ด + (๐ต / 10)))
11 dpcl 32635 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„)
128, 1, 11mp2an 690 . . . . 5 (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„
1312recni 11266 . . . 4 (๐ด.๐ต) โˆˆ โ„‚
144, 13mulcomi 11260 . . 3 (10 ยท (๐ด.๐ต)) = ((๐ด.๐ต) ยท 10)
158nn0cni 12522 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„‚
162, 4, 5divcli 11994 . . . 4 (๐ต / 10) โˆˆ โ„‚
174, 15, 16adddii 11264 . . 3 (10 ยท (๐ด + (๐ต / 10))) = ((10 ยท ๐ด) + (10 ยท (๐ต / 10)))
1810, 14, 173eqtr3i 2764 . 2 ((๐ด.๐ต) ยท 10) = ((10 ยท ๐ด) + (10 ยท (๐ต / 10)))
19 dfdec10 12718 . 2 ๐ด๐ต = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
207, 18, 193eqtr4i 2766 1 ((๐ด.๐ต) ยท 10) = ๐ด๐ต
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151   / cdiv 11909  โ„•0cn0 12510  cdc 12715  .cdp 32632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-dec 12716  df-dp2 32616  df-dp 32633
This theorem is referenced by:  decdiv10  32640  dpmul100  32641  dp3mul10  32642  dpmul1000  32643  dpmul  32657  dpmul4  32658
  Copyright terms: Public domain W3C validator