Theorem dpmul10 32972

Description: Multiply by 10 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpval2.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpval2.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dpmul10	⊢ ((𝐴.𝐵) · ;10) = ;𝐴𝐵

Proof of Theorem dpmul10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpval2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2	1	recni 11153	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		10nn 12654	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
4	3	nncni 12178	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	3	nnne0i 12211	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
6	2, 4, 5	divcan2i 11892	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐵 / ;10)) = 𝐵
7	6	oveq2i 7372	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + (;10 · (𝐵 / ;10))) = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		dpval2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
9	8, 1	dpval2 32970	. . . 4 ⊢ (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
10	9	oveq2i 7372	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐴.𝐵)) = (;10 · (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
11		dpcl 32968	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) ∈ ℝ)
12	8, 1, 11	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℝ
13	12	recni 11153	. . . 4 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
14	4, 13	mulcomi 11147	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐴.𝐵)) = ((𝐴.𝐵) · ;10)
15	8	nn0cni 12443	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16	2, 4, 5	divcli 11891	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℂ
17	4, 15, 16	adddii 11151	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐴 + (𝐵 / ;10))) = ((;10 · 𝐴) + (;10 · (𝐵 / ;10)))
18	10, 14, 17	3eqtr3i 2768	. 2 ⊢ ((𝐴.𝐵) · ;10) = ((;10 · 𝐴) + (;10 · (𝐵 / ;10)))
19		dfdec10 12641	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
20	7, 18, 19	3eqtr4i 2770	1 ⊢ ((𝐴.𝐵) · ;10) = ;𝐴𝐵

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   / cdiv 11801  ℕ₀cn0 12431  ;cdc 12638  .cdp 32965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-dec 12639  df-dp2 32949  df-dp 32966

This theorem is referenced by:  decdiv10  32973  dpmul100  32974  dp3mul10  32975  dpmul1000  32976  dpmul  32990  dpmul4  32991