Theorem dpmul10 30165

Description: Multiply by 10 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpval2.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpval2.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dpmul10	⊢ ((𝐴.𝐵) · ;10) = ;𝐴𝐵

Proof of Theorem dpmul10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpval2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2	1	recni 10391	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		10nn 11861	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
4	3	nncni 11385	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	3	nnne0i 11415	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
6	2, 4, 5	divcan2i 11118	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐵 / ;10)) = 𝐵
7	6	oveq2i 6933	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + (;10 · (𝐵 / ;10))) = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		dpval2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
9	8, 1	dpval2 30163	. . . 4 ⊢ (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
10	9	oveq2i 6933	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐴.𝐵)) = (;10 · (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
11		dpcl 30161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) ∈ ℝ)
12	8, 1, 11	mp2an 682	. . . . 5 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℝ
13	12	recni 10391	. . . 4 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
14	4, 13	mulcomi 10385	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐴.𝐵)) = ((𝐴.𝐵) · ;10)
15	8	nn0cni 11655	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16	2, 4, 5	divcli 11117	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℂ
17	4, 15, 16	adddii 10389	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐴 + (𝐵 / ;10))) = ((;10 · 𝐴) + (;10 · (𝐵 / ;10)))
18	10, 14, 17	3eqtr3i 2809	. 2 ⊢ ((𝐴.𝐵) · ;10) = ((;10 · 𝐴) + (;10 · (𝐵 / ;10)))
19		dfdec10 11848	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
20	7, 18, 19	3eqtr4i 2811	1 ⊢ ((𝐴.𝐵) · ;10) = ;𝐴𝐵

Syntax hints:   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277   / cdiv 11032  ℕ₀cn0 11642  ;cdc 11845  .cdp 30158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-dec 11846  df-dp2 30142  df-dp 30159

This theorem is referenced by:  decdiv10  30166  dpmul100  30167  dp3mul10  30168  dpmul1000  30169  dpmul  30183  dpmul4  30184