Theorem dpmul10 31169

Description: Multiply by 10 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpval2.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpval2.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dpmul10	⊢ ((𝐴.𝐵) · ;10) = ;𝐴𝐵

Proof of Theorem dpmul10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpval2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2	1	recni 10989	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		10nn 12453	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
4	3	nncni 11983	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	3	nnne0i 12013	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
6	2, 4, 5	divcan2i 11718	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐵 / ;10)) = 𝐵
7	6	oveq2i 7286	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + (;10 · (𝐵 / ;10))) = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		dpval2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
9	8, 1	dpval2 31167	. . . 4 ⊢ (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
10	9	oveq2i 7286	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐴.𝐵)) = (;10 · (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
11		dpcl 31165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) ∈ ℝ)
12	8, 1, 11	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℝ
13	12	recni 10989	. . . 4 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
14	4, 13	mulcomi 10983	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐴.𝐵)) = ((𝐴.𝐵) · ;10)
15	8	nn0cni 12245	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16	2, 4, 5	divcli 11717	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℂ
17	4, 15, 16	adddii 10987	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐴 + (𝐵 / ;10))) = ((;10 · 𝐴) + (;10 · (𝐵 / ;10)))
18	10, 14, 17	3eqtr3i 2774	. 2 ⊢ ((𝐴.𝐵) · ;10) = ((;10 · 𝐴) + (;10 · (𝐵 / ;10)))
19		dfdec10 12440	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
20	7, 18, 19	3eqtr4i 2776	1 ⊢ ((𝐴.𝐵) · ;10) = ;𝐴𝐵

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   / cdiv 11632  ℕ₀cn0 12233  ;cdc 12437  .cdp 31162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-dec 12438  df-dp2 31146  df-dp 31163

This theorem is referenced by:  decdiv10  31170  dpmul100  31171  dp3mul10  31172  dpmul1000  31173  dpmul  31187  dpmul4  31188