Theorem dpmul10 31456

Description: Multiply by 10 a decimal expansion. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpval2.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpval2.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
dpmul10	⊢ ((𝐴.𝐵) · ;10) = ;𝐴𝐵

Proof of Theorem dpmul10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpval2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
2	1	recni 11090	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		10nn 12554	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
4	3	nncni 12084	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	3	nnne0i 12114	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
6	2, 4, 5	divcan2i 11819	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐵 / ;10)) = 𝐵
7	6	oveq2i 7348	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + (;10 · (𝐵 / ;10))) = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
8		dpval2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
9	8, 1	dpval2 31454	. . . 4 ⊢ (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
10	9	oveq2i 7348	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐴.𝐵)) = (;10 · (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
11		dpcl 31452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) ∈ ℝ)
12	8, 1, 11	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℝ
13	12	recni 11090	. . . 4 ⊢ (𝐴.𝐵) ∈ ℂ
14	4, 13	mulcomi 11084	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐴.𝐵)) = ((𝐴.𝐵) · ;10)
15	8	nn0cni 12346	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
16	2, 4, 5	divcli 11818	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℂ
17	4, 15, 16	adddii 11088	. . 3 ⊢ (;10 · (𝐴 + (𝐵 / ;10))) = ((;10 · 𝐴) + (;10 · (𝐵 / ;10)))
18	10, 14, 17	3eqtr3i 2772	. 2 ⊢ ((𝐴.𝐵) · ;10) = ((;10 · 𝐴) + (;10 · (𝐵 / ;10)))
19		dfdec10 12541	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
20	7, 18, 19	3eqtr4i 2774	1 ⊢ ((𝐴.𝐵) · ;10) = ;𝐴𝐵

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7337  ℝcr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977   / cdiv 11733  ℕ₀cn0 12334  ;cdc 12538  .cdp 31449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-dec 12539  df-dp2 31433  df-dp 31450

This theorem is referenced by:  decdiv10  31457  dpmul100  31458  dp3mul10  31459  dpmul1000  31460  dpmul  31474  dpmul4  31475