MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dlatjmdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dlatjmdi 18475
Description: In a distributive lattice, joins distribute over meets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dlatjmdi.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dlatjmdi.j = (join‘𝐾)
dlatjmdi.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
dlatjmdi ((𝐾 ∈ DLat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍)))

Proof of Theorem dlatjmdi
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
21odudlatb 18474 . . 3 (𝐾 ∈ DLat → (𝐾 ∈ DLat ↔ (ODual‘𝐾) ∈ DLat))
32ibi 266 . 2 (𝐾 ∈ DLat → (ODual‘𝐾) ∈ DLat)
4 dlatjmdi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
51, 4odubas 18240 . . 3 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
6 dlatjmdi.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
71, 6odujoin 18357 . . 3 = (join‘(ODual‘𝐾))
8 dlatjmdi.j . . . 4 = (join‘𝐾)
91, 8odumeet 18359 . . 3 = (meet‘(ODual‘𝐾))
105, 7, 9dlatmjdi 18472 . 2 (((ODual‘𝐾) ∈ DLat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍)))
113, 10sylan 580 1 ((𝐾 ∈ DLat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  ODualcodu 18235  joincjn 18260  meetcmee 18261  DLatcdlat 18469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-dec 12674  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ple 17213  df-odu 18236  df-proset 18244  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381  df-dlat 18470
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator