Theorem dnibndlem4 32999

Description: Lemma for dnibnd 33009. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem4	⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))

Proof of Theorem dnibndlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
2		halfre 11579	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
4	1, 3	readdcld 10393	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
5		flle 12902	. . . 4 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2)))
7		reflcl 12899	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
9	8, 3, 1	lesubaddd 10956	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ≤ (𝐵 + (1 / 2))))
10	6, 9	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵)
11	8, 3	jca 507	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
12		resubcl 10673	. . . 4 ⊢ (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
14	1, 13	subge0d 10949	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) ↔ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ≤ 𝐵))
15	10, 14	mpbird 249	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   ≤ cle 10399   − cmin 10592   / cdiv 11016  2c2 11413  ⌊cfl 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fl 12895

This theorem is referenced by:  dnibndlem9  33004