Theorem flle 13761

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13759	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209  ⌊cfl 13752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fl 13754

This theorem is referenced by:  fracge0  13766  flge  13767  flflp1  13769  flid  13770  flwordi  13774  flval2  13776  flval3  13777  fladdz  13787  flmulnn0  13789  fldiv4p1lem1div2  13797  fldiv4lem1div2uz2  13798  ceige  13806  flleceil  13815  fleqceilz  13816  quoremz  13817  quoremnn0ALT  13819  facavg  14266  rddif  15307  o1fsum  15779  flo1  15820  bitscmp  16408  isprm7  16678  prmreclem4  16890  zcld  24702  mbfi1fseqlem5  25620  mbfi1fseqlem6  25621  dvfsumlem1  25932  dvfsumlem2  25933  dvfsumlem2OLD  25934  dvfsumlem3  25935  harmonicubnd  26920  harmonicbnd4  26921  ppisval  27014  ppiltx  27087  ppiub  27115  chtub  27123  chpub  27131  logfacubnd  27132  logfaclbnd  27133  bposlem1  27195  bposlem5  27199  bposlem6  27200  lgsquadlem1  27291  chebbnd1lem3  27382  vmadivsum  27393  dchrisumlem1  27400  dchrmusum2  27405  dchrisum0lem2a  27428  mudivsum  27441  mulogsumlem  27442  selberglem2  27457  selberg2lem  27461  pntrlog2bndlem4  27491  pntpbnd2  27498  pntlemg  27509  pntlemr  27513  pntlemk  27517  ostth2lem3  27546  dnibndlem4  36469  dnibndlem10  36475  knoppndvlem19  36518  ltflcei  37602  itg2addnclem3  37667  aks4d1p1p3  42057  aks4d1p1p2  42058  aks6d1c7lem1  42168  irrapxlem1  42810  hashnzfzclim  44311  fourierdlem4  46109  fourierdlem65  46169  fllogbd  48549  logbpw2m1  48556  fllog2  48557  nnpw2blen  48569  dignn0flhalflem2  48605