Theorem flle 13748

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13746	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5142  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394  ℝcr 11093  1c1 11095   + caddc 11097   < clt 11232   ≤ cle 11233  ⌊cfl 13739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-sup 9421  df-inf 9422  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-fl 13741

This theorem is referenced by:  fracge0  13753  flge  13754  flflp1  13756  flid  13757  flwordi  13761  flval2  13763  flval3  13764  fladdz  13774  flmulnn0  13776  fldiv4p1lem1div2  13784  fldiv4lem1div2uz2  13785  ceige  13793  flleceil  13802  fleqceilz  13803  quoremz  13804  quoremnn0ALT  13806  facavg  14245  rddif  15271  o1fsum  15743  flo1  15784  bitscmp  16363  isprm7  16629  prmreclem4  16836  zcld  24260  mbfi1fseqlem5  25168  mbfi1fseqlem6  25169  dvfsumlem1  25474  dvfsumlem2  25475  dvfsumlem3  25476  harmonicubnd  26443  harmonicbnd4  26444  ppisval  26537  ppiltx  26610  ppiub  26636  chtub  26644  chpub  26652  logfacubnd  26653  logfaclbnd  26654  bposlem1  26716  bposlem5  26720  bposlem6  26721  lgsquadlem1  26812  chebbnd1lem3  26903  vmadivsum  26914  dchrisumlem1  26921  dchrmusum2  26926  dchrisum0lem2a  26949  mudivsum  26962  mulogsumlem  26963  selberglem2  26978  selberg2lem  26982  pntrlog2bndlem4  27012  pntpbnd2  27019  pntlemg  27030  pntlemr  27034  pntlemk  27038  ostth2lem3  27067  dnibndlem4  35225  dnibndlem10  35231  knoppndvlem19  35274  ltflcei  36344  itg2addnclem3  36409  aks4d1p1p3  40803  aks4d1p1p2  40804  irrapxlem1  41395  hashnzfzclim  42916  fourierdlem4  44664  fourierdlem65  44724  fllogbd  46958  logbpw2m1  46965  fllog2  46966  nnpw2blen  46978  dignn0flhalflem2  47014