Theorem flle 13864

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13862	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  1c1 11129   + caddc 11131   < clt 11271   ≤ cle 11272  ⌊cfl 13855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fl 13857

This theorem is used by:  fracge0  13869  flge  13870  flflp1  13872  flid  13873  flwordi  13877  flval2  13879  flval3  13880  fladdz  13890  flmulnn0  13892  fldiv4p1lem1div2  13900  fldiv4lem1div2uz2  13901  ceige  13909  flleceil  13918  fleqceilz  13919  quoremz  13920  quoremnn0ALT  13922  facavg  14369  rddif  15432  o1fsum  15904  flo1  15947  bitscmp  16534  isprm7  16805  prmreclem4  17017  zcld  25046  mbfi1fseqlem5  25953  mbfi1fseqlem6  25954  dvfsumlem1  26260  dvfsumlem2  26261  dvfsumlem3  26262  harmonicubnd  27254  harmonicbnd4  27255  ppisval  27348  ppiltx  27421  ppiub  27448  chtub  27456  chpub  27464  logfacubnd  27465  logfaclbnd  27466  bposlem1  27528  bposlem5  27532  bposlem6  27533  lgsquadlem1  27624  chebbnd1lem3  27715  vmadivsum  27726  dchrisumlem1  27733  dchrmusum2  27738  dchrisum0lem2a  27761  mudivsum  27774  mulogsumlem  27775  selberglem2  27790  selberg2lem  27794  pntrlog2bndlem4  27824  pntpbnd2  27831  pntlemg  27842  pntlemr  27846  pntlemk  27850  ostth2lem3  27879  dnibndlem4  37186  dnibndlem10  37192  knoppndvlem19  37235  ltflcei  38370  itg2addnclem3  38430  aks4d1p1p3  42943  aks4d1p1p2  42944  aks6d1c7lem1  43054  irrapxlem1  43671  hashnzfzclim  45154  fourierdlem4  46947  fourierdlem65  47007  fllogbd  49498  logbpw2m1  49505  fllog2  49506  nnpw2blen  49518  dignn0flhalflem2  49554