Theorem flle 13834

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13832	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 499	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  1c1 11102   + caddc 11104   < clt 11244   ≤ cle 11245  ⌊cfl 13825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fl 13827

This theorem is referenced by:  fracge0  13839  flge  13840  flflp1  13842  flid  13843  flwordi  13847  flval2  13849  flval3  13850  fladdz  13860  flmulnn0  13862  fldiv4p1lem1div2  13870  fldiv4lem1div2uz2  13871  ceige  13879  flleceil  13888  fleqceilz  13889  quoremz  13890  quoremnn0ALT  13892  facavg  14339  rddif  15394  o1fsum  15867  flo1  15910  bitscmp  16497  isprm7  16768  prmreclem4  16980  zcld  24952  mbfi1fseqlem5  25859  mbfi1fseqlem6  25860  dvfsumlem1  26166  dvfsumlem2  26167  dvfsumlem3  26168  harmonicubnd  27152  harmonicbnd4  27153  ppisval  27246  ppiltx  27319  ppiub  27346  chtub  27354  chpub  27362  logfacubnd  27363  logfaclbnd  27364  bposlem1  27426  bposlem5  27430  bposlem6  27431  lgsquadlem1  27522  chebbnd1lem3  27613  vmadivsum  27624  dchrisumlem1  27631  dchrmusum2  27636  dchrisum0lem2a  27659  mudivsum  27672  mulogsumlem  27673  selberglem2  27688  selberg2lem  27692  pntrlog2bndlem4  27722  pntpbnd2  27729  pntlemg  27740  pntlemr  27744  pntlemk  27748  ostth2lem3  27777  dnibndlem4  37048  dnibndlem10  37054  knoppndvlem19  37097  ltflcei  38237  itg2addnclem3  38302  aks4d1p1p3  42814  aks4d1p1p2  42815  aks6d1c7lem1  42925  irrapxlem1  43529  hashnzfzclim  45012  fourierdlem4  46805  fourierdlem65  46865  fllogbd  49317  logbpw2m1  49324  fllog2  49325  nnpw2blen  49337  dignn0flhalflem2  49373