Theorem flle 13763

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13761	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247   ≤ cle 11248  ⌊cfl 13754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fl 13756

This theorem is referenced by:  fracge0  13768  flge  13769  flflp1  13771  flid  13772  flwordi  13776  flval2  13778  flval3  13779  fladdz  13789  flmulnn0  13791  fldiv4p1lem1div2  13799  fldiv4lem1div2uz2  13800  ceige  13808  flleceil  13817  fleqceilz  13818  quoremz  13819  quoremnn0ALT  13821  facavg  14260  rddif  15286  o1fsum  15758  flo1  15799  bitscmp  16378  isprm7  16644  prmreclem4  16851  zcld  24328  mbfi1fseqlem5  25236  mbfi1fseqlem6  25237  dvfsumlem1  25542  dvfsumlem2  25543  dvfsumlem3  25544  harmonicubnd  26511  harmonicbnd4  26512  ppisval  26605  ppiltx  26678  ppiub  26704  chtub  26712  chpub  26720  logfacubnd  26721  logfaclbnd  26722  bposlem1  26784  bposlem5  26788  bposlem6  26789  lgsquadlem1  26880  chebbnd1lem3  26971  vmadivsum  26982  dchrisumlem1  26989  dchrmusum2  26994  dchrisum0lem2a  27017  mudivsum  27030  mulogsumlem  27031  selberglem2  27046  selberg2lem  27050  pntrlog2bndlem4  27080  pntpbnd2  27087  pntlemg  27098  pntlemr  27102  pntlemk  27106  ostth2lem3  27135  gg-dvfsumlem2  35178  dnibndlem4  35352  dnibndlem10  35358  knoppndvlem19  35401  ltflcei  36471  itg2addnclem3  36536  aks4d1p1p3  40929  aks4d1p1p2  40930  irrapxlem1  41550  hashnzfzclim  43071  fourierdlem4  44817  fourierdlem65  44877  fllogbd  47236  logbpw2m1  47243  fllog2  47244  nnpw2blen  47256  dignn0flhalflem2  47292