Theorem flle 12983

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 12981	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 487	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4926  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975  ℝcr 10333  1c1 10335   + caddc 10337   < clt 10473   ≤ cle 10474  ⌊cfl 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-sup 8700  df-inf 8701  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fl 12976

This theorem is referenced by:  fracge0  12988  flge  12989  flflp1  12991  flid  12992  flwordi  12996  flval2  12998  flval3  12999  fladdz  13009  flmulnn0  13011  fldiv4p1lem1div2  13019  fldiv4lem1div2uz2  13020  ceige  13027  flleceil  13035  fleqceilz  13036  quoremz  13037  quoremnn0ALT  13039  facavg  13475  rddif  14560  o1fsum  15027  flo1  15068  bitscmp  15646  isprm7  15907  prmreclem4  16110  zcld  23140  mbfi1fseqlem5  24039  mbfi1fseqlem6  24040  dvfsumlem1  24342  dvfsumlem2  24343  dvfsumlem3  24344  harmonicubnd  25305  harmonicbnd4  25306  ppisval  25399  ppiltx  25472  ppiub  25498  chtub  25506  chpub  25514  logfacubnd  25515  logfaclbnd  25516  bposlem1  25578  bposlem5  25582  bposlem6  25583  lgsquadlem1  25674  chebbnd1lem3  25765  vmadivsum  25776  dchrisumlem1  25783  dchrmusum2  25788  dchrisum0lem2a  25811  mudivsum  25824  mulogsumlem  25825  selberglem2  25840  selberg2lem  25844  pntrlog2bndlem4  25874  pntpbnd2  25881  pntlemg  25892  pntlemr  25896  pntlemk  25900  ostth2lem3  25929  dnibndlem4  33373  dnibndlem10  33379  knoppndvlem19  33422  ltflcei  34354  itg2addnclem3  34419  irrapxlem1  38849  hashnzfzclim  40104  fourierdlem4  41857  fourierdlem65  41917  fllogbd  44018  logbpw2m1  44025  fllog2  44026  nnpw2blen  44038  dignn0flhalflem2  44074