MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flle 13339
Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
flle (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle
StepHypRef Expression
1 fllelt 13337 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
21simpld 498 1 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112   class class class wbr 5039  cfv 6358  (class class class)co 7191  cr 10693  1c1 10695   + caddc 10697   < clt 10832  cle 10833  cfl 13330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-sup 9036  df-inf 9037  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fl 13332
This theorem is referenced by:  fracge0  13344  flge  13345  flflp1  13347  flid  13348  flwordi  13352  flval2  13354  flval3  13355  fladdz  13365  flmulnn0  13367  fldiv4p1lem1div2  13375  fldiv4lem1div2uz2  13376  ceige  13383  flleceil  13391  fleqceilz  13392  quoremz  13393  quoremnn0ALT  13395  facavg  13832  rddif  14869  o1fsum  15340  flo1  15381  bitscmp  15960  isprm7  16228  prmreclem4  16435  zcld  23664  mbfi1fseqlem5  24571  mbfi1fseqlem6  24572  dvfsumlem1  24877  dvfsumlem2  24878  dvfsumlem3  24879  harmonicubnd  25846  harmonicbnd4  25847  ppisval  25940  ppiltx  26013  ppiub  26039  chtub  26047  chpub  26055  logfacubnd  26056  logfaclbnd  26057  bposlem1  26119  bposlem5  26123  bposlem6  26124  lgsquadlem1  26215  chebbnd1lem3  26306  vmadivsum  26317  dchrisumlem1  26324  dchrmusum2  26329  dchrisum0lem2a  26352  mudivsum  26365  mulogsumlem  26366  selberglem2  26381  selberg2lem  26385  pntrlog2bndlem4  26415  pntpbnd2  26422  pntlemg  26433  pntlemr  26437  pntlemk  26441  ostth2lem3  26470  dnibndlem4  34347  dnibndlem10  34353  knoppndvlem19  34396  ltflcei  35451  itg2addnclem3  35516  aks4d1p1p3  39759  aks4d1p1p2  39760  irrapxlem1  40288  hashnzfzclim  41554  fourierdlem4  43270  fourierdlem65  43330  fllogbd  45522  logbpw2m1  45529  fllog2  45530  nnpw2blen  45542  dignn0flhalflem2  45578
  Copyright terms: Public domain W3C validator