Theorem flle 13565

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13563	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 496	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℝcr 10916  1c1 10918   + caddc 10920   < clt 11055   ≤ cle 11056  ⌊cfl 13556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fl 13558

This theorem is referenced by:  fracge0  13570  flge  13571  flflp1  13573  flid  13574  flwordi  13578  flval2  13580  flval3  13581  fladdz  13591  flmulnn0  13593  fldiv4p1lem1div2  13601  fldiv4lem1div2uz2  13602  ceige  13610  flleceil  13619  fleqceilz  13620  quoremz  13621  quoremnn0ALT  13623  facavg  14061  rddif  15097  o1fsum  15570  flo1  15611  bitscmp  16190  isprm7  16458  prmreclem4  16665  zcld  24021  mbfi1fseqlem5  24929  mbfi1fseqlem6  24930  dvfsumlem1  25235  dvfsumlem2  25236  dvfsumlem3  25237  harmonicubnd  26204  harmonicbnd4  26205  ppisval  26298  ppiltx  26371  ppiub  26397  chtub  26405  chpub  26413  logfacubnd  26414  logfaclbnd  26415  bposlem1  26477  bposlem5  26481  bposlem6  26482  lgsquadlem1  26573  chebbnd1lem3  26664  vmadivsum  26675  dchrisumlem1  26682  dchrmusum2  26687  dchrisum0lem2a  26710  mudivsum  26723  mulogsumlem  26724  selberglem2  26739  selberg2lem  26743  pntrlog2bndlem4  26773  pntpbnd2  26780  pntlemg  26791  pntlemr  26795  pntlemk  26799  ostth2lem3  26828  dnibndlem4  34706  dnibndlem10  34712  knoppndvlem19  34755  ltflcei  35809  itg2addnclem3  35874  aks4d1p1p3  40119  aks4d1p1p2  40120  irrapxlem1  40681  hashnzfzclim  41978  fourierdlem4  43701  fourierdlem65  43761  fllogbd  45964  logbpw2m1  45971  fllog2  45972  nnpw2blen  45984  dignn0flhalflem2  46020