Theorem flle 13919

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13917	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  1c1 11182   + caddc 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325  ⌊cfl 13910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fl 13912

This theorem is used by:  fracge0  13924  flge  13925  flflp1  13927  flid  13928  flwordi  13932  flval2  13934  flval3  13935  fladdz  13945  flmulnn0  13947  fldiv4p1lem1div2  13955  fldiv4lem1div2uz2  13956  ceige  13964  flleceil  13973  fleqceilz  13974  quoremz  13975  quoremnn0ALT  13977  facavg  14425  rddif  15488  o1fsum  15960  flo1  16003  bitscmp  16588  isprm7  16864  prmreclem4  17077  zcld  25113  mbfi1fseqlem5  26020  mbfi1fseqlem6  26021  dvfsumlem1  26326  dvfsumlem2  26327  dvfsumlem3  26328  harmonicubnd  27319  harmonicbnd4  27320  ppisval  27413  ppiltx  27486  ppiub  27513  chtub  27521  chpub  27529  logfacubnd  27530  logfaclbnd  27531  bposlem1  27593  bposlem5  27597  bposlem6  27598  lgsquadlem1  27689  chebbnd1lem3  27780  vmadivsum  27791  dchrisumlem1  27798  dchrmusum2  27803  dchrisum0lem2a  27826  mudivsum  27839  mulogsumlem  27840  selberglem2  27855  selberg2lem  27859  pntrlog2bndlem4  27889  pntpbnd2  27896  pntlemg  27907  pntlemr  27911  pntlemk  27915  ostth2lem3  27944  dnibndlem4  37317  dnibndlem10  37323  knoppndvlem19  37366  ltflcei  38499  itg2addnclem3  38559  aks4d1p1p3  43087  aks4d1p1p2  43088  aks6d1c7lem1  43198  irrapxlem1  43782  hashnzfzclim  45265  fourierdlem4  47065  fourierdlem65  47125  fllogbd  49616  logbpw2m1  49623  fllog2  49624  nnpw2blen  49636  dignn0flhalflem2  49672