Theorem flle 13161

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 497	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   ≤ cle 10668  ⌊cfl 13152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fl 13154

This theorem is referenced by:  fracge0  13166  flge  13167  flflp1  13169  flid  13170  flwordi  13174  flval2  13176  flval3  13177  fladdz  13187  flmulnn0  13189  fldiv4p1lem1div2  13197  fldiv4lem1div2uz2  13198  ceige  13205  flleceil  13213  fleqceilz  13214  quoremz  13215  quoremnn0ALT  13217  facavg  13653  rddif  14692  o1fsum  15160  flo1  15201  bitscmp  15779  isprm7  16044  prmreclem4  16247  zcld  23413  mbfi1fseqlem5  24312  mbfi1fseqlem6  24313  dvfsumlem1  24615  dvfsumlem2  24616  dvfsumlem3  24617  harmonicubnd  25579  harmonicbnd4  25580  ppisval  25673  ppiltx  25746  ppiub  25772  chtub  25780  chpub  25788  logfacubnd  25789  logfaclbnd  25790  bposlem1  25852  bposlem5  25856  bposlem6  25857  lgsquadlem1  25948  chebbnd1lem3  26039  vmadivsum  26050  dchrisumlem1  26057  dchrmusum2  26062  dchrisum0lem2a  26085  mudivsum  26098  mulogsumlem  26099  selberglem2  26114  selberg2lem  26118  pntrlog2bndlem4  26148  pntpbnd2  26155  pntlemg  26166  pntlemr  26170  pntlemk  26174  ostth2lem3  26203  dnibndlem4  33813  dnibndlem10  33819  knoppndvlem19  33862  ltflcei  34872  itg2addnclem3  34937  irrapxlem1  39409  hashnzfzclim  40644  fourierdlem4  42386  fourierdlem65  42446  fllogbd  44610  logbpw2m1  44617  fllog2  44618  nnpw2blen  44630  dignn0flhalflem2  44666