Theorem flle 13806

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13804	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 498	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  1c1 11071   + caddc 11073   < clt 11213   ≤ cle 11214  ⌊cfl 13797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fl 13799

This theorem is referenced by:  fracge0  13811  flge  13812  flflp1  13814  flid  13815  flwordi  13819  flval2  13821  flval3  13822  fladdz  13832  flmulnn0  13834  fldiv4p1lem1div2  13842  fldiv4lem1div2uz2  13843  ceige  13851  flleceil  13860  fleqceilz  13861  quoremz  13862  quoremnn0ALT  13864  facavg  14311  rddif  15351  o1fsum  15824  flo1  15867  bitscmp  16455  isprm7  16726  prmreclem4  16938  zcld  24854  mbfi1fseqlem5  25761  mbfi1fseqlem6  25762  dvfsumlem1  26068  dvfsumlem2  26069  dvfsumlem3  26070  harmonicubnd  27051  harmonicbnd4  27052  ppisval  27145  ppiltx  27218  ppiub  27245  chtub  27253  chpub  27261  logfacubnd  27262  logfaclbnd  27263  bposlem1  27325  bposlem5  27329  bposlem6  27330  lgsquadlem1  27421  chebbnd1lem3  27512  vmadivsum  27523  dchrisumlem1  27530  dchrmusum2  27535  dchrisum0lem2a  27558  mudivsum  27571  mulogsumlem  27572  selberglem2  27587  selberg2lem  27591  pntrlog2bndlem4  27621  pntpbnd2  27628  pntlemg  27639  pntlemr  27643  pntlemk  27647  ostth2lem3  27676  dnibndlem4  36883  dnibndlem10  36889  knoppndvlem19  36932  ltflcei  38071  itg2addnclem3  38136  aks4d1p1p3  42650  aks4d1p1p2  42651  aks6d1c7lem1  42761  irrapxlem1  43363  hashnzfzclim  44862  fourierdlem4  46649  fourierdlem65  46709  fllogbd  49146  logbpw2m1  49153  fllog2  49154  nnpw2blen  49166  dignn0flhalflem2  49202