Theorem flle 13850

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13848	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325  ⌊cfl 13841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fl 13843

This theorem is referenced by:  fracge0  13855  flge  13856  flflp1  13858  flid  13859  flwordi  13863  flval2  13865  flval3  13866  fladdz  13876  flmulnn0  13878  fldiv4p1lem1div2  13886  fldiv4lem1div2uz2  13887  ceige  13895  flleceil  13904  fleqceilz  13905  quoremz  13906  quoremnn0ALT  13908  facavg  14350  rddif  15389  o1fsum  15861  flo1  15902  bitscmp  16484  isprm7  16755  prmreclem4  16966  zcld  24854  mbfi1fseqlem5  25774  mbfi1fseqlem6  25775  dvfsumlem1  26086  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  dvfsumlem3  26089  harmonicubnd  27071  harmonicbnd4  27072  ppisval  27165  ppiltx  27238  ppiub  27266  chtub  27274  chpub  27282  logfacubnd  27283  logfaclbnd  27284  bposlem1  27346  bposlem5  27350  bposlem6  27351  lgsquadlem1  27442  chebbnd1lem3  27533  vmadivsum  27544  dchrisumlem1  27551  dchrmusum2  27556  dchrisum0lem2a  27579  mudivsum  27592  mulogsumlem  27593  selberglem2  27608  selberg2lem  27612  pntrlog2bndlem4  27642  pntpbnd2  27649  pntlemg  27660  pntlemr  27664  pntlemk  27668  ostth2lem3  27697  dnibndlem4  36447  dnibndlem10  36453  knoppndvlem19  36496  ltflcei  37568  itg2addnclem3  37633  aks4d1p1p3  42026  aks4d1p1p2  42027  aks6d1c7lem1  42137  irrapxlem1  42778  hashnzfzclim  44291  fourierdlem4  46032  fourierdlem65  46092  fllogbd  48294  logbpw2m1  48301  fllog2  48302  nnpw2blen  48314  dignn0flhalflem2  48350