Theorem flle 13719

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13717	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167  ⌊cfl 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fl 13712

This theorem is referenced by:  fracge0  13724  flge  13725  flflp1  13727  flid  13728  flwordi  13732  flval2  13734  flval3  13735  fladdz  13745  flmulnn0  13747  fldiv4p1lem1div2  13755  fldiv4lem1div2uz2  13756  ceige  13764  flleceil  13773  fleqceilz  13774  quoremz  13775  quoremnn0ALT  13777  facavg  14224  rddif  15264  o1fsum  15736  flo1  15777  bitscmp  16365  isprm7  16635  prmreclem4  16847  zcld  24758  mbfi1fseqlem5  25676  mbfi1fseqlem6  25677  dvfsumlem1  25988  dvfsumlem2  25989  dvfsumlem2OLD  25990  dvfsumlem3  25991  harmonicubnd  26976  harmonicbnd4  26977  ppisval  27070  ppiltx  27143  ppiub  27171  chtub  27179  chpub  27187  logfacubnd  27188  logfaclbnd  27189  bposlem1  27251  bposlem5  27255  bposlem6  27256  lgsquadlem1  27347  chebbnd1lem3  27438  vmadivsum  27449  dchrisumlem1  27456  dchrmusum2  27461  dchrisum0lem2a  27484  mudivsum  27497  mulogsumlem  27498  selberglem2  27513  selberg2lem  27517  pntrlog2bndlem4  27547  pntpbnd2  27554  pntlemg  27565  pntlemr  27569  pntlemk  27573  ostth2lem3  27602  dnibndlem4  36681  dnibndlem10  36687  knoppndvlem19  36730  ltflcei  37805  itg2addnclem3  37870  aks4d1p1p3  42319  aks4d1p1p2  42320  aks6d1c7lem1  42430  irrapxlem1  43060  hashnzfzclim  44559  fourierdlem4  46351  fourierdlem65  46411  fllogbd  48802  logbpw2m1  48809  fllog2  48810  nnpw2blen  48822  dignn0flhalflem2  48858