MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flle 13168
Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
flle (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle
StepHypRef Expression
1 fllelt 13166 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
21simpld 498 1 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668  cle 10669  cfl 13159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fl 13161
This theorem is referenced by:  fracge0  13173  flge  13174  flflp1  13176  flid  13177  flwordi  13181  flval2  13183  flval3  13184  fladdz  13194  flmulnn0  13196  fldiv4p1lem1div2  13204  fldiv4lem1div2uz2  13205  ceige  13212  flleceil  13220  fleqceilz  13221  quoremz  13222  quoremnn0ALT  13224  facavg  13661  rddif  14696  o1fsum  15164  flo1  15205  bitscmp  15781  isprm7  16046  prmreclem4  16249  zcld  23422  mbfi1fseqlem5  24327  mbfi1fseqlem6  24328  dvfsumlem1  24633  dvfsumlem2  24634  dvfsumlem3  24635  harmonicubnd  25599  harmonicbnd4  25600  ppisval  25693  ppiltx  25766  ppiub  25792  chtub  25800  chpub  25808  logfacubnd  25809  logfaclbnd  25810  bposlem1  25872  bposlem5  25876  bposlem6  25877  lgsquadlem1  25968  chebbnd1lem3  26059  vmadivsum  26070  dchrisumlem1  26077  dchrmusum2  26082  dchrisum0lem2a  26105  mudivsum  26118  mulogsumlem  26119  selberglem2  26134  selberg2lem  26138  pntrlog2bndlem4  26168  pntpbnd2  26175  pntlemg  26186  pntlemr  26190  pntlemk  26194  ostth2lem3  26223  dnibndlem4  33934  dnibndlem10  33940  knoppndvlem19  33983  ltflcei  35044  itg2addnclem3  35109  irrapxlem1  39756  hashnzfzclim  41019  fourierdlem4  42746  fourierdlem65  42806  fllogbd  44967  logbpw2m1  44974  fllog2  44975  nnpw2blen  44987  dignn0flhalflem2  45023
  Copyright terms: Public domain W3C validator