Theorem flle 13969

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13967	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  1c1 11231   + caddc 11233   < clt 11373   ≤ cle 11374  ⌊cfl 13960

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fl 13962

This theorem is used by:  fracge0  13974  flge  13975  flflp1  13977  flid  13978  flwordi  13982  flval2  13984  flval3  13985  fladdz  13995  flmulnn0  13997  fldiv4p1lem1div2  14005  fldiv4lem1div2uz2  14006  ceige  14014  flleceil  14023  fleqceilz  14024  quoremz  14025  quoremnn0ALT  14027  facavg  14475  rddif  15540  o1fsum  16012  flo1  16055  bitscmp  16640  isprm7  16916  prmreclem4  17129  zcld  25166  mbfi1fseqlem5  26073  mbfi1fseqlem6  26074  dvfsumlem1  26379  dvfsumlem2  26380  dvfsumlem3  26381  harmonicubnd  27370  harmonicbnd4  27371  ppisval  27464  ppiltx  27537  ppiub  27564  chtub  27572  chpub  27580  logfacubnd  27581  logfaclbnd  27582  bposlem1  27644  bposlem5  27648  bposlem6  27649  lgsquadlem1  27740  chebbnd1lem3  27831  vmadivsum  27842  dchrisumlem1  27849  dchrmusum2  27854  dchrisum0lem2a  27877  mudivsum  27890  mulogsumlem  27891  selberglem2  27906  selberg2lem  27910  pntrlog2bndlem4  27940  pntpbnd2  27947  pntlemg  27958  pntlemr  27962  pntlemk  27966  ostth2lem3  27995  dnibndlem4  37538  dnibndlem10  37544  knoppndvlem19  37587  ltflcei  38736  itg2addnclem3  38796  aks4d1p1p3  43322  aks4d1p1p2  43323  aks6d1c7lem1  43433  irrapxlem1  44033  hashnzfzclim  45509  fourierdlem4  47336  fourierdlem65  47396  fllogbd  49887  logbpw2m1  49894  fllog2  49895  nnpw2blen  49907  dignn0flhalflem2  49943