Theorem flle 13749

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13747	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171  ⌊cfl 13740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fl 13742

This theorem is referenced by:  fracge0  13754  flge  13755  flflp1  13757  flid  13758  flwordi  13762  flval2  13764  flval3  13765  fladdz  13775  flmulnn0  13777  fldiv4p1lem1div2  13785  fldiv4lem1div2uz2  13786  ceige  13794  flleceil  13803  fleqceilz  13804  quoremz  13805  quoremnn0ALT  13807  facavg  14254  rddif  15294  o1fsum  15767  flo1  15810  bitscmp  16398  isprm7  16669  prmreclem4  16881  zcld  24789  mbfi1fseqlem5  25696  mbfi1fseqlem6  25697  dvfsumlem1  26003  dvfsumlem2  26004  dvfsumlem3  26005  harmonicubnd  26987  harmonicbnd4  26988  ppisval  27081  ppiltx  27154  ppiub  27181  chtub  27189  chpub  27197  logfacubnd  27198  logfaclbnd  27199  bposlem1  27261  bposlem5  27265  bposlem6  27266  lgsquadlem1  27357  chebbnd1lem3  27448  vmadivsum  27459  dchrisumlem1  27466  dchrmusum2  27471  dchrisum0lem2a  27494  mudivsum  27507  mulogsumlem  27508  selberglem2  27523  selberg2lem  27527  pntrlog2bndlem4  27557  pntpbnd2  27564  pntlemg  27575  pntlemr  27579  pntlemk  27583  ostth2lem3  27612  dnibndlem4  36757  dnibndlem10  36763  knoppndvlem19  36806  ltflcei  37943  itg2addnclem3  38008  aks4d1p1p3  42522  aks4d1p1p2  42523  aks6d1c7lem1  42633  irrapxlem1  43268  hashnzfzclim  44767  fourierdlem4  46557  fourierdlem65  46617  fllogbd  49048  logbpw2m1  49055  fllog2  49056  nnpw2blen  49068  dignn0flhalflem2  49104