Theorem flle 13852

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13850	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  1c1 11119   + caddc 11121   < clt 11261   ≤ cle 11262  ⌊cfl 13843

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fl 13845

This theorem is used by:  fracge0  13857  flge  13858  flflp1  13860  flid  13861  flwordi  13865  flval2  13867  flval3  13868  fladdz  13878  flmulnn0  13880  fldiv4p1lem1div2  13888  fldiv4lem1div2uz2  13889  ceige  13897  flleceil  13906  fleqceilz  13907  quoremz  13908  quoremnn0ALT  13910  facavg  14357  rddif  15418  o1fsum  15891  flo1  15934  bitscmp  16521  isprm7  16792  prmreclem4  17004  zcld  25008  mbfi1fseqlem5  25915  mbfi1fseqlem6  25916  dvfsumlem1  26222  dvfsumlem2  26223  dvfsumlem3  26224  harmonicubnd  27211  harmonicbnd4  27212  ppisval  27305  ppiltx  27378  ppiub  27405  chtub  27413  chpub  27421  logfacubnd  27422  logfaclbnd  27423  bposlem1  27485  bposlem5  27489  bposlem6  27490  lgsquadlem1  27581  chebbnd1lem3  27672  vmadivsum  27683  dchrisumlem1  27690  dchrmusum2  27695  dchrisum0lem2a  27718  mudivsum  27731  mulogsumlem  27732  selberglem2  27747  selberg2lem  27751  pntrlog2bndlem4  27781  pntpbnd2  27788  pntlemg  27799  pntlemr  27803  pntlemk  27807  ostth2lem3  27836  dnibndlem4  37111  dnibndlem10  37117  knoppndvlem19  37160  ltflcei  38300  itg2addnclem3  38365  aks4d1p1p3  42877  aks4d1p1p2  42878  aks6d1c7lem1  42988  irrapxlem1  43590  hashnzfzclim  45073  fourierdlem4  46866  fourierdlem65  46926  fllogbd  49381  logbpw2m1  49388  fllog2  49389  nnpw2blen  49401  dignn0flhalflem2  49437