Theorem flle 13731

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13729	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179  ⌊cfl 13722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fl 13724

This theorem is referenced by:  fracge0  13736  flge  13737  flflp1  13739  flid  13740  flwordi  13744  flval2  13746  flval3  13747  fladdz  13757  flmulnn0  13759  fldiv4p1lem1div2  13767  fldiv4lem1div2uz2  13768  ceige  13776  flleceil  13785  fleqceilz  13786  quoremz  13787  quoremnn0ALT  13789  facavg  14236  rddif  15276  o1fsum  15748  flo1  15789  bitscmp  16377  isprm7  16647  prmreclem4  16859  zcld  24770  mbfi1fseqlem5  25688  mbfi1fseqlem6  25689  dvfsumlem1  26000  dvfsumlem2  26001  dvfsumlem2OLD  26002  dvfsumlem3  26003  harmonicubnd  26988  harmonicbnd4  26989  ppisval  27082  ppiltx  27155  ppiub  27183  chtub  27191  chpub  27199  logfacubnd  27200  logfaclbnd  27201  bposlem1  27263  bposlem5  27267  bposlem6  27268  lgsquadlem1  27359  chebbnd1lem3  27450  vmadivsum  27461  dchrisumlem1  27468  dchrmusum2  27473  dchrisum0lem2a  27496  mudivsum  27509  mulogsumlem  27510  selberglem2  27525  selberg2lem  27529  pntrlog2bndlem4  27559  pntpbnd2  27566  pntlemg  27577  pntlemr  27581  pntlemk  27585  ostth2lem3  27614  dnibndlem4  36700  dnibndlem10  36706  knoppndvlem19  36749  ltflcei  37853  itg2addnclem3  37918  aks4d1p1p3  42433  aks4d1p1p2  42434  aks6d1c7lem1  42544  irrapxlem1  43173  hashnzfzclim  44672  fourierdlem4  46463  fourierdlem65  46523  fllogbd  48914  logbpw2m1  48921  fllog2  48922  nnpw2blen  48934  dignn0flhalflem2  48970