Theorem flle 13821

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13819	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  1c1 11135   + caddc 11137   < clt 11274   ≤ cle 11275  ⌊cfl 13812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fl 13814

This theorem is referenced by:  fracge0  13826  flge  13827  flflp1  13829  flid  13830  flwordi  13834  flval2  13836  flval3  13837  fladdz  13847  flmulnn0  13849  fldiv4p1lem1div2  13857  fldiv4lem1div2uz2  13858  ceige  13866  flleceil  13875  fleqceilz  13876  quoremz  13877  quoremnn0ALT  13879  facavg  14324  rddif  15364  o1fsum  15834  flo1  15875  bitscmp  16462  isprm7  16732  prmreclem4  16944  zcld  24758  mbfi1fseqlem5  25677  mbfi1fseqlem6  25678  dvfsumlem1  25989  dvfsumlem2  25990  dvfsumlem2OLD  25991  dvfsumlem3  25992  harmonicubnd  26977  harmonicbnd4  26978  ppisval  27071  ppiltx  27144  ppiub  27172  chtub  27180  chpub  27188  logfacubnd  27189  logfaclbnd  27190  bposlem1  27252  bposlem5  27256  bposlem6  27257  lgsquadlem1  27348  chebbnd1lem3  27439  vmadivsum  27450  dchrisumlem1  27457  dchrmusum2  27462  dchrisum0lem2a  27485  mudivsum  27498  mulogsumlem  27499  selberglem2  27514  selberg2lem  27518  pntrlog2bndlem4  27548  pntpbnd2  27555  pntlemg  27566  pntlemr  27570  pntlemk  27574  ostth2lem3  27603  dnibndlem4  36504  dnibndlem10  36510  knoppndvlem19  36553  ltflcei  37637  itg2addnclem3  37702  aks4d1p1p3  42087  aks4d1p1p2  42088  aks6d1c7lem1  42198  irrapxlem1  42812  hashnzfzclim  44313  fourierdlem4  46107  fourierdlem65  46167  fllogbd  48507  logbpw2m1  48514  fllog2  48515  nnpw2blen  48527  dignn0flhalflem2  48563