Theorem flle 13768

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13766	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   ≤ cle 11216  ⌊cfl 13759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fl 13761

This theorem is referenced by:  fracge0  13773  flge  13774  flflp1  13776  flid  13777  flwordi  13781  flval2  13783  flval3  13784  fladdz  13794  flmulnn0  13796  fldiv4p1lem1div2  13804  fldiv4lem1div2uz2  13805  ceige  13813  flleceil  13822  fleqceilz  13823  quoremz  13824  quoremnn0ALT  13826  facavg  14273  rddif  15314  o1fsum  15786  flo1  15827  bitscmp  16415  isprm7  16685  prmreclem4  16897  zcld  24709  mbfi1fseqlem5  25627  mbfi1fseqlem6  25628  dvfsumlem1  25939  dvfsumlem2  25940  dvfsumlem2OLD  25941  dvfsumlem3  25942  harmonicubnd  26927  harmonicbnd4  26928  ppisval  27021  ppiltx  27094  ppiub  27122  chtub  27130  chpub  27138  logfacubnd  27139  logfaclbnd  27140  bposlem1  27202  bposlem5  27206  bposlem6  27207  lgsquadlem1  27298  chebbnd1lem3  27389  vmadivsum  27400  dchrisumlem1  27407  dchrmusum2  27412  dchrisum0lem2a  27435  mudivsum  27448  mulogsumlem  27449  selberglem2  27464  selberg2lem  27468  pntrlog2bndlem4  27498  pntpbnd2  27505  pntlemg  27516  pntlemr  27520  pntlemk  27524  ostth2lem3  27553  dnibndlem4  36476  dnibndlem10  36482  knoppndvlem19  36525  ltflcei  37609  itg2addnclem3  37674  aks4d1p1p3  42064  aks4d1p1p2  42065  aks6d1c7lem1  42175  irrapxlem1  42817  hashnzfzclim  44318  fourierdlem4  46116  fourierdlem65  46176  fllogbd  48553  logbpw2m1  48560  fllog2  48561  nnpw2blen  48573  dignn0flhalflem2  48609