Theorem flle 13840

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296   ≤ cle 11297  ⌊cfl 13831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fl 13833

This theorem is referenced by:  fracge0  13845  flge  13846  flflp1  13848  flid  13849  flwordi  13853  flval2  13855  flval3  13856  fladdz  13866  flmulnn0  13868  fldiv4p1lem1div2  13876  fldiv4lem1div2uz2  13877  ceige  13885  flleceil  13894  fleqceilz  13895  quoremz  13896  quoremnn0ALT  13898  facavg  14341  rddif  15380  o1fsum  15850  flo1  15891  bitscmp  16476  isprm7  16746  prmreclem4  16958  zcld  24836  mbfi1fseqlem5  25755  mbfi1fseqlem6  25756  dvfsumlem1  26067  dvfsumlem2  26068  dvfsumlem2OLD  26069  dvfsumlem3  26070  harmonicubnd  27054  harmonicbnd4  27055  ppisval  27148  ppiltx  27221  ppiub  27249  chtub  27257  chpub  27265  logfacubnd  27266  logfaclbnd  27267  bposlem1  27329  bposlem5  27333  bposlem6  27334  lgsquadlem1  27425  chebbnd1lem3  27516  vmadivsum  27527  dchrisumlem1  27534  dchrmusum2  27539  dchrisum0lem2a  27562  mudivsum  27575  mulogsumlem  27576  selberglem2  27591  selberg2lem  27595  pntrlog2bndlem4  27625  pntpbnd2  27632  pntlemg  27643  pntlemr  27647  pntlemk  27651  ostth2lem3  27680  dnibndlem4  36483  dnibndlem10  36489  knoppndvlem19  36532  ltflcei  37616  itg2addnclem3  37681  aks4d1p1p3  42071  aks4d1p1p2  42072  aks6d1c7lem1  42182  irrapxlem1  42838  hashnzfzclim  44346  fourierdlem4  46131  fourierdlem65  46191  fllogbd  48486  logbpw2m1  48493  fllog2  48494  nnpw2blen  48506  dignn0flhalflem2  48542