Theorem flle 13823

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13821	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 499	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  1c1 11089   + caddc 11091   < clt 11231   ≤ cle 11232  ⌊cfl 13814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fl 13816

This theorem is referenced by:  fracge0  13828  flge  13829  flflp1  13831  flid  13832  flwordi  13836  flval2  13838  flval3  13839  fladdz  13849  flmulnn0  13851  fldiv4p1lem1div2  13859  fldiv4lem1div2uz2  13860  ceige  13868  flleceil  13877  fleqceilz  13878  quoremz  13879  quoremnn0ALT  13881  facavg  14328  rddif  15382  o1fsum  15855  flo1  15898  bitscmp  16486  isprm7  16757  prmreclem4  16969  zcld  24932  mbfi1fseqlem5  25839  mbfi1fseqlem6  25840  dvfsumlem1  26146  dvfsumlem2  26147  dvfsumlem3  26148  harmonicubnd  27132  harmonicbnd4  27133  ppisval  27226  ppiltx  27299  ppiub  27326  chtub  27334  chpub  27342  logfacubnd  27343  logfaclbnd  27344  bposlem1  27406  bposlem5  27410  bposlem6  27411  lgsquadlem1  27502  chebbnd1lem3  27593  vmadivsum  27604  dchrisumlem1  27611  dchrmusum2  27616  dchrisum0lem2a  27639  mudivsum  27652  mulogsumlem  27653  selberglem2  27668  selberg2lem  27672  pntrlog2bndlem4  27702  pntpbnd2  27709  pntlemg  27720  pntlemr  27724  pntlemk  27728  ostth2lem3  27757  dnibndlem4  36932  dnibndlem10  36938  knoppndvlem19  36981  ltflcei  38119  itg2addnclem3  38184  aks4d1p1p3  42698  aks4d1p1p2  42699  aks6d1c7lem1  42809  irrapxlem1  43411  hashnzfzclim  44896  fourierdlem4  46683  fourierdlem65  46743  fllogbd  49191  logbpw2m1  49198  fllog2  49199  nnpw2blen  49211  dignn0flhalflem2  49247