Theorem flle 13500

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13498	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  1c1 10856   + caddc 10858   < clt 10993   ≤ cle 10994  ⌊cfl 13491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fl 13493

This theorem is referenced by:  fracge0  13505  flge  13506  flflp1  13508  flid  13509  flwordi  13513  flval2  13515  flval3  13516  fladdz  13526  flmulnn0  13528  fldiv4p1lem1div2  13536  fldiv4lem1div2uz2  13537  ceige  13545  flleceil  13554  fleqceilz  13555  quoremz  13556  quoremnn0ALT  13558  facavg  13996  rddif  15033  o1fsum  15506  flo1  15547  bitscmp  16126  isprm7  16394  prmreclem4  16601  zcld  23957  mbfi1fseqlem5  24865  mbfi1fseqlem6  24866  dvfsumlem1  25171  dvfsumlem2  25172  dvfsumlem3  25173  harmonicubnd  26140  harmonicbnd4  26141  ppisval  26234  ppiltx  26307  ppiub  26333  chtub  26341  chpub  26349  logfacubnd  26350  logfaclbnd  26351  bposlem1  26413  bposlem5  26417  bposlem6  26418  lgsquadlem1  26509  chebbnd1lem3  26600  vmadivsum  26611  dchrisumlem1  26618  dchrmusum2  26623  dchrisum0lem2a  26646  mudivsum  26659  mulogsumlem  26660  selberglem2  26675  selberg2lem  26679  pntrlog2bndlem4  26709  pntpbnd2  26716  pntlemg  26727  pntlemr  26731  pntlemk  26735  ostth2lem3  26764  dnibndlem4  34640  dnibndlem10  34646  knoppndvlem19  34689  ltflcei  35744  itg2addnclem3  35809  aks4d1p1p3  40057  aks4d1p1p2  40058  irrapxlem1  40624  hashnzfzclim  41893  fourierdlem4  43606  fourierdlem65  43666  fllogbd  45858  logbpw2m1  45865  fllog2  45866  nnpw2blen  45878  dignn0flhalflem2  45914