Theorem flle 13766

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13764	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250   ≤ cle 11251  ⌊cfl 13757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fl 13759

This theorem is referenced by:  fracge0  13771  flge  13772  flflp1  13774  flid  13775  flwordi  13779  flval2  13781  flval3  13782  fladdz  13792  flmulnn0  13794  fldiv4p1lem1div2  13802  fldiv4lem1div2uz2  13803  ceige  13811  flleceil  13820  fleqceilz  13821  quoremz  13822  quoremnn0ALT  13824  facavg  14263  rddif  15289  o1fsum  15761  flo1  15802  bitscmp  16381  isprm7  16647  prmreclem4  16854  zcld  24336  mbfi1fseqlem5  25244  mbfi1fseqlem6  25245  dvfsumlem1  25550  dvfsumlem2  25551  dvfsumlem3  25552  harmonicubnd  26521  harmonicbnd4  26522  ppisval  26615  ppiltx  26688  ppiub  26714  chtub  26722  chpub  26730  logfacubnd  26731  logfaclbnd  26732  bposlem1  26794  bposlem5  26798  bposlem6  26799  lgsquadlem1  26890  chebbnd1lem3  26981  vmadivsum  26992  dchrisumlem1  26999  dchrmusum2  27004  dchrisum0lem2a  27027  mudivsum  27040  mulogsumlem  27041  selberglem2  27056  selberg2lem  27060  pntrlog2bndlem4  27090  pntpbnd2  27097  pntlemg  27108  pntlemr  27112  pntlemk  27116  ostth2lem3  27145  gg-dvfsumlem2  35258  dnibndlem4  35449  dnibndlem10  35455  knoppndvlem19  35498  ltflcei  36568  itg2addnclem3  36633  aks4d1p1p3  41026  aks4d1p1p2  41027  irrapxlem1  41648  hashnzfzclim  43169  fourierdlem4  44912  fourierdlem65  44972  fllogbd  47330  logbpw2m1  47337  fllog2  47338  nnpw2blen  47350  dignn0flhalflem2  47386