Theorem flle 13758

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13756	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180  ⌊cfl 13749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fl 13751

This theorem is referenced by:  fracge0  13763  flge  13764  flflp1  13766  flid  13767  flwordi  13771  flval2  13773  flval3  13774  fladdz  13784  flmulnn0  13786  fldiv4p1lem1div2  13794  fldiv4lem1div2uz2  13795  ceige  13803  flleceil  13812  fleqceilz  13813  quoremz  13814  quoremnn0ALT  13816  facavg  14263  rddif  15303  o1fsum  15776  flo1  15819  bitscmp  16407  isprm7  16678  prmreclem4  16890  zcld  24779  mbfi1fseqlem5  25686  mbfi1fseqlem6  25687  dvfsumlem1  25993  dvfsumlem2  25994  dvfsumlem3  25995  harmonicubnd  26973  harmonicbnd4  26974  ppisval  27067  ppiltx  27140  ppiub  27167  chtub  27175  chpub  27183  logfacubnd  27184  logfaclbnd  27185  bposlem1  27247  bposlem5  27251  bposlem6  27252  lgsquadlem1  27343  chebbnd1lem3  27434  vmadivsum  27445  dchrisumlem1  27452  dchrmusum2  27457  dchrisum0lem2a  27480  mudivsum  27493  mulogsumlem  27494  selberglem2  27509  selberg2lem  27513  pntrlog2bndlem4  27543  pntpbnd2  27550  pntlemg  27561  pntlemr  27565  pntlemk  27569  ostth2lem3  27598  dnibndlem4  36741  dnibndlem10  36747  knoppndvlem19  36790  ltflcei  37929  itg2addnclem3  37994  aks4d1p1p3  42508  aks4d1p1p2  42509  aks6d1c7lem1  42619  irrapxlem1  43250  hashnzfzclim  44749  fourierdlem4  46539  fourierdlem65  46599  fllogbd  49036  logbpw2m1  49043  fllog2  49044  nnpw2blen  49056  dignn0flhalflem2  49092