Theorem flle 13939

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13937	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   ≤ cle 11344  ⌊cfl 13930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fl 13932

This theorem is used by:  fracge0  13944  flge  13945  flflp1  13947  flid  13948  flwordi  13952  flval2  13954  flval3  13955  fladdz  13965  flmulnn0  13967  fldiv4p1lem1div2  13975  fldiv4lem1div2uz2  13976  ceige  13984  flleceil  13993  fleqceilz  13994  quoremz  13995  quoremnn0ALT  13997  facavg  14445  rddif  15508  o1fsum  15980  flo1  16023  bitscmp  16608  isprm7  16884  prmreclem4  17097  zcld  25133  mbfi1fseqlem5  26040  mbfi1fseqlem6  26041  dvfsumlem1  26346  dvfsumlem2  26347  dvfsumlem3  26348  harmonicubnd  27337  harmonicbnd4  27338  ppisval  27431  ppiltx  27504  ppiub  27531  chtub  27539  chpub  27547  logfacubnd  27548  logfaclbnd  27549  bposlem1  27611  bposlem5  27615  bposlem6  27616  lgsquadlem1  27707  chebbnd1lem3  27798  vmadivsum  27809  dchrisumlem1  27816  dchrmusum2  27821  dchrisum0lem2a  27844  mudivsum  27857  mulogsumlem  27858  selberglem2  27873  selberg2lem  27877  pntrlog2bndlem4  27907  pntpbnd2  27914  pntlemg  27925  pntlemr  27929  pntlemk  27933  ostth2lem3  27962  dnibndlem4  37347  dnibndlem10  37353  knoppndvlem19  37396  ltflcei  38532  itg2addnclem3  38592  aks4d1p1p3  43120  aks4d1p1p2  43121  aks6d1c7lem1  43231  irrapxlem1  43829  hashnzfzclim  45306  fourierdlem4  47121  fourierdlem65  47181  fllogbd  49672  logbpw2m1  49679  fllog2  49680  nnpw2blen  49692  dignn0flhalflem2  49728