Theorem flle 13705

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  1c1 11014   + caddc 11016   < clt 11153   ≤ cle 11154  ⌊cfl 13696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fl 13698

This theorem is referenced by:  fracge0  13710  flge  13711  flflp1  13713  flid  13714  flwordi  13718  flval2  13720  flval3  13721  fladdz  13731  flmulnn0  13733  fldiv4p1lem1div2  13741  fldiv4lem1div2uz2  13742  ceige  13750  flleceil  13759  fleqceilz  13760  quoremz  13761  quoremnn0ALT  13763  facavg  14210  rddif  15250  o1fsum  15722  flo1  15763  bitscmp  16351  isprm7  16621  prmreclem4  16833  zcld  24730  mbfi1fseqlem5  25648  mbfi1fseqlem6  25649  dvfsumlem1  25960  dvfsumlem2  25961  dvfsumlem2OLD  25962  dvfsumlem3  25963  harmonicubnd  26948  harmonicbnd4  26949  ppisval  27042  ppiltx  27115  ppiub  27143  chtub  27151  chpub  27159  logfacubnd  27160  logfaclbnd  27161  bposlem1  27223  bposlem5  27227  bposlem6  27228  lgsquadlem1  27319  chebbnd1lem3  27410  vmadivsum  27421  dchrisumlem1  27428  dchrmusum2  27433  dchrisum0lem2a  27456  mudivsum  27469  mulogsumlem  27470  selberglem2  27485  selberg2lem  27489  pntrlog2bndlem4  27519  pntpbnd2  27526  pntlemg  27537  pntlemr  27541  pntlemk  27545  ostth2lem3  27574  dnibndlem4  36546  dnibndlem10  36552  knoppndvlem19  36595  ltflcei  37668  itg2addnclem3  37733  aks4d1p1p3  42182  aks4d1p1p2  42183  aks6d1c7lem1  42293  irrapxlem1  42939  hashnzfzclim  44439  fourierdlem4  46233  fourierdlem65  46293  fllogbd  48685  logbpw2m1  48692  fllog2  48693  nnpw2blen  48705  dignn0flhalflem2  48741