Theorem flle 13700

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13698	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11002  1c1 11004   + caddc 11006   < clt 11143   ≤ cle 11144  ⌊cfl 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fl 13693

This theorem is referenced by:  fracge0  13705  flge  13706  flflp1  13708  flid  13709  flwordi  13713  flval2  13715  flval3  13716  fladdz  13726  flmulnn0  13728  fldiv4p1lem1div2  13736  fldiv4lem1div2uz2  13737  ceige  13745  flleceil  13754  fleqceilz  13755  quoremz  13756  quoremnn0ALT  13758  facavg  14205  rddif  15245  o1fsum  15717  flo1  15758  bitscmp  16346  isprm7  16616  prmreclem4  16828  zcld  24727  mbfi1fseqlem5  25645  mbfi1fseqlem6  25646  dvfsumlem1  25957  dvfsumlem2  25958  dvfsumlem2OLD  25959  dvfsumlem3  25960  harmonicubnd  26945  harmonicbnd4  26946  ppisval  27039  ppiltx  27112  ppiub  27140  chtub  27148  chpub  27156  logfacubnd  27157  logfaclbnd  27158  bposlem1  27220  bposlem5  27224  bposlem6  27225  lgsquadlem1  27316  chebbnd1lem3  27407  vmadivsum  27418  dchrisumlem1  27425  dchrmusum2  27430  dchrisum0lem2a  27453  mudivsum  27466  mulogsumlem  27467  selberglem2  27482  selberg2lem  27486  pntrlog2bndlem4  27516  pntpbnd2  27523  pntlemg  27534  pntlemr  27538  pntlemk  27542  ostth2lem3  27571  dnibndlem4  36514  dnibndlem10  36520  knoppndvlem19  36563  ltflcei  37647  itg2addnclem3  37712  aks4d1p1p3  42101  aks4d1p1p2  42102  aks6d1c7lem1  42212  irrapxlem1  42854  hashnzfzclim  44354  fourierdlem4  46148  fourierdlem65  46208  fllogbd  48591  logbpw2m1  48598  fllog2  48599  nnpw2blen  48611  dignn0flhalflem2  48647