Theorem flle 13756

Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
flle	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem flle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fllelt 13754	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1)))
2	1	simpld 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178  ⌊cfl 13747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fl 13749

This theorem is referenced by:  fracge0  13761  flge  13762  flflp1  13764  flid  13765  flwordi  13769  flval2  13771  flval3  13772  fladdz  13782  flmulnn0  13784  fldiv4p1lem1div2  13792  fldiv4lem1div2uz2  13793  ceige  13801  flleceil  13810  fleqceilz  13811  quoremz  13812  quoremnn0ALT  13814  facavg  14261  rddif  15301  o1fsum  15774  flo1  15817  bitscmp  16405  isprm7  16676  prmreclem4  16888  zcld  24804  mbfi1fseqlem5  25711  mbfi1fseqlem6  25712  dvfsumlem1  26018  dvfsumlem2  26019  dvfsumlem3  26020  harmonicubnd  26998  harmonicbnd4  26999  ppisval  27092  ppiltx  27165  ppiub  27192  chtub  27200  chpub  27208  logfacubnd  27209  logfaclbnd  27210  bposlem1  27272  bposlem5  27276  bposlem6  27277  lgsquadlem1  27368  chebbnd1lem3  27459  vmadivsum  27470  dchrisumlem1  27477  dchrmusum2  27482  dchrisum0lem2a  27505  mudivsum  27518  mulogsumlem  27519  selberglem2  27534  selberg2lem  27538  pntrlog2bndlem4  27568  pntpbnd2  27575  pntlemg  27586  pntlemr  27590  pntlemk  27594  ostth2lem3  27623  dnibndlem4  36794  dnibndlem10  36800  knoppndvlem19  36843  ltflcei  37982  itg2addnclem3  38047  aks4d1p1p3  42561  aks4d1p1p2  42562  aks6d1c7lem1  42672  irrapxlem1  43274  hashnzfzclim  44773  fourierdlem4  46561  fourierdlem65  46621  fllogbd  49058  logbpw2m1  49065  fllog2  49066  nnpw2blen  49078  dignn0flhalflem2  49114