Theorem lesubaddd 10916

Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lesubaddd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem lesubaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltadd1d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lesubadd 10792	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1491	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  ℝcr 10223   + caddc 10227   ≤ cle 10364   − cmin 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559

This theorem is referenced by:  elfzomelpfzo  12827  modaddmodup  12988  sqrlem7  14330  absrdbnd  14422  caucvgrlem  14744  cvgcmp  14886  oddge22np1  15409  ramub1lem1  16063  chfacfisf  20987  chfacfisfcpmat  20988  uniioombllem4  23694  mbfi1fseqlem6  23828  dvfsumlem1  24130  abelthlem2  24527  argimgt0  24699  harmonicbnd4  25089  ppiub  25281  logfaclbnd  25299  logfacbnd3  25300  bcmax  25355  lgseisen  25456  log2sumbnd  25585  chpdifbndlem1  25594  pntpbnd2  25628  pntibndlem2  25632  pntlemo  25648  crctcshwlkn0lem5  27065  clwlkclwwlklem2  27293  clwlkclwwlk2  27297  clwlkclwwlk2OLD  27298  nvabs  28052  dnibndlem4  32979  dnibndlem10  32985  itg2addnclem2  33950  itg2addnclem3  33951  fzmaxdif  38333  int-ineqmvtd  39276  binomcxplemnotnn0  39337  xrralrecnnge  40356  limsupgtlem  40753  fourierdlem26  41093  hoidmv1lelem1  41551  leaddsuble  42152  fmtnoge3  42224  fmtnoprmfac2lem1  42260  bgoldbtbndlem2  42476  nnolog2flm1  43183