MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesubaddd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lesubaddd 11231
Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lesubaddd (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem lesubaddd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltadd1d.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 lesubadd 11106 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1365 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wcel 2107   class class class wbr 5063  (class class class)co 7150  cr 10530   + caddc 10534  cle 10670  cmin 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867
This theorem is referenced by:  elfzomelpfzo  13136  modaddmodup  13297  sqrlem7  14603  absrdbnd  14696  caucvgrlem  15024  cvgcmp  15166  oddge22np1  15693  ramub1lem1  16357  chfacfisf  21397  chfacfisfcpmat  21398  uniioombllem4  24121  mbfi1fseqlem6  24255  dvfsumlem1  24557  abelthlem2  24954  argimgt0  25127  harmonicbnd4  25521  ppiub  25713  logfaclbnd  25731  logfacbnd3  25732  bcmax  25787  lgseisen  25888  log2sumbnd  26053  chpdifbndlem1  26062  pntpbnd2  26096  pntibndlem2  26100  pntlemo  26116  crctcshwlkn0lem5  27525  clwlkclwwlklem2  27711  clwlkclwwlk2  27714  nvabs  28382  dnibndlem4  33723  dnibndlem10  33729  itg2addnclem2  34830  itg2addnclem3  34831  fzmaxdif  39462  int-ineqmvtd  40429  binomcxplemnotnn0  40572  xrralrecnnge  41546  limsupgtlem  41942  fourierdlem26  42303  hoidmv1lelem1  42758  leaddsuble  43382  fmtnoge3  43543  fmtnoprmfac2lem1  43579  bgoldbtbndlem2  43822  nnolog2flm1  44552
  Copyright terms: Public domain W3C validator