MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesubaddd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lesubaddd 11711
Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lesubaddd (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem lesubaddd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltadd1d.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 lesubadd 11586 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7352  cr 11009   + caddc 11013  cle 11149  cmin 11344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347
This theorem is referenced by:  elfzomelpfzo  13631  modaddmodup  13794  01sqrexlem7  15093  absrdbnd  15186  caucvgrlem  15517  cvgcmp  15661  oddge22np1  16191  ramub1lem1  16858  chfacfisf  22155  chfacfisfcpmat  22156  uniioombllem4  24902  mbfi1fseqlem6  25037  dvfsumlem1  25342  abelthlem2  25743  argimgt0  25919  harmonicbnd4  26312  ppiub  26504  logfaclbnd  26522  logfacbnd3  26523  bcmax  26578  lgseisen  26679  log2sumbnd  26844  chpdifbndlem1  26853  pntpbnd2  26887  pntibndlem2  26891  pntlemo  26907  crctcshwlkn0lem5  28588  clwlkclwwlklem2  28773  clwlkclwwlk2  28776  nvabs  29443  dnibndlem4  34876  dnibndlem10  34882  itg2addnclem2  36062  itg2addnclem3  36063  metakunt16  40524  fzmaxdif  41208  int-ineqmvtd  42369  binomcxplemnotnn0  42541  xrralrecnnge  43524  limsupgtlem  43913  fourierdlem26  44269  hoidmv1lelem1  44727  leaddsuble  45424  fmtnoge3  45617  fmtnoprmfac2lem1  45653  bgoldbtbndlem2  45893  nnolog2flm1  46571
  Copyright terms: Public domain W3C validator