Theorem lesubaddd 11226

Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lesubaddd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem lesubaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltadd1d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lesubadd 11101	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525   + caddc 10529   ≤ cle 10665   − cmin 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  elfzomelpfzo  13136  modaddmodup  13297  sqrlem7  14600  absrdbnd  14693  caucvgrlem  15021  cvgcmp  15163  oddge22np1  15690  ramub1lem1  16352  chfacfisf  21459  chfacfisfcpmat  21460  uniioombllem4  24190  mbfi1fseqlem6  24324  dvfsumlem1  24629  abelthlem2  25027  argimgt0  25203  harmonicbnd4  25596  ppiub  25788  logfaclbnd  25806  logfacbnd3  25807  bcmax  25862  lgseisen  25963  log2sumbnd  26128  chpdifbndlem1  26137  pntpbnd2  26171  pntibndlem2  26175  pntlemo  26191  crctcshwlkn0lem5  27600  clwlkclwwlklem2  27785  clwlkclwwlk2  27788  nvabs  28455  dnibndlem4  33933  dnibndlem10  33939  itg2addnclem2  35109  itg2addnclem3  35110  metakunt16  39365  fzmaxdif  39922  int-ineqmvtd  40897  binomcxplemnotnn0  41060  xrralrecnnge  42026  limsupgtlem  42419  fourierdlem26  42775  hoidmv1lelem1  43230  leaddsuble  43854  fmtnoge3  44047  fmtnoprmfac2lem1  44083  bgoldbtbndlem2  44324  nnolog2flm1  45004