Theorem domnlcanbOLD 33163

Description: Obsolete version of domnlcanb 20720 as of 21-Jun-2025. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
domncanOLD.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domncanOLD.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domncanOLD.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domncanOLD.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domncanOLD.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domncanOLD.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
domnlcanbOLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)

Assertion

Ref	Expression
domnlcanbOLD	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem domnlcanbOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domncanOLD.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		domncanOLD.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		domncanOLD.m	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		domncanOLD.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
5	4	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
6		domncanOLD.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		domncanOLD.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		domnlcanbOLD.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
11	10	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)) → 𝑅 ∈ Domn)
12		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))
13	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12	domnlcan 20721	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)) → 𝑌 = 𝑍)
14		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → 𝑌 = 𝑍)
15	14	oveq2d 7446	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))
16	13, 15	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ 𝑌 = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ∖ cdif 3956  {csn 4636  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430  Basecbs 17234  ._rcmulr 17288  0_gc0g 17475  Domncdomn 20692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8742  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-nn 12275  df-2 12337  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-plusg 17300  df-0g 17477  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-sbg 18954  df-cmn 19802  df-abl 19803  df-mgp 20140  df-rng 20158  df-ur 20187  df-ring 20240  df-nzr 20517  df-domn 20695

This theorem is referenced by: (None)