Theorem domnlcanbOLD 33264

Description: Obsolete version of domnlcanb 20736 as of 21-Jun-2025. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
domncanOLD.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domncanOLD.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domncanOLD.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domncanOLD.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domncanOLD.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domncanOLD.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
domnlcanbOLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)

Assertion

Ref	Expression
domnlcanbOLD	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem domnlcanbOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domncanOLD.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		domncanOLD.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		domncanOLD.m	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		domncanOLD.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
6		domncanOLD.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		domncanOLD.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
10		domnlcanbOLD.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)) → 𝑅 ∈ Domn)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))
13	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12	domnlcan 20737	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)) → 𝑌 = 𝑍)
14		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → 𝑌 = 𝑍)
15	14	oveq2d 7446	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))
16	13, 15	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ 𝑌 = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3959  {csn 4630  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17485  Domncdomn 20708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-nzr 20529  df-domn 20711

This theorem is referenced by: (None)