Theorem idomrcanOLD 33313

Description: Obsolete version of idomrcan 33310 as of 21-Jun-2025. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
domncanOLD.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domncanOLD.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domncanOLD.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domncanOLD.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domncanOLD.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domncanOLD.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
idomrcanOLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
idomrcanOLD.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
idomrcanOLD	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Proof of Theorem idomrcanOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domncanOLD.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		domncanOLD.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		domncanOLD.m	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		domncanOLD.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
5		domncanOLD.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		domncanOLD.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		idomrcanOLD.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
8	7	idomdomd 20657	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
9		idomrcanOLD.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑋))
10		df-idom 20627	. . . . . 6 ⊢ IDomn = (CRing ∩ Domn)
11	7, 10	eleqtrdi 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
12	11	elin1d 4154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	4	eldifad 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	1, 3	crngcom 20184	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
15	12, 13, 5, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
16	1, 3	crngcom 20184	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑋))
17	12, 13, 6, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑋))
18	9, 15, 17	3eqtr4d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 18	domnlcan 20652	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898  {csn 4578  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  ._rcmulr 17176  0_gc0g 17357  CRingccrg 20167  Domncdomn 20623  IDomncidom 20624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-nzr 20444  df-domn 20626  df-idom 20627

This theorem is referenced by: (None)