Theorem idomrcanOLD 33222

Description: Obsolete version of idomrcan 33219 as of 21-Jun-2025. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
domncanOLD.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domncanOLD.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domncanOLD.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domncanOLD.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domncanOLD.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domncanOLD.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
idomrcanOLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
idomrcanOLD.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
idomrcanOLD	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Proof of Theorem idomrcanOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domncanOLD.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		domncanOLD.1	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		domncanOLD.m	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4		domncanOLD.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
5		domncanOLD.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		domncanOLD.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		idomrcanOLD.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
8	7	idomdomd 20684	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
9		idomrcanOLD.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑋))
10		df-idom 20654	. . . . . 6 ⊢ IDomn = (CRing ∩ Domn)
11	7, 10	eleqtrdi 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
12	11	elin1d 4179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13	4	eldifad 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	1, 3	crngcom 20209	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
15	12, 13, 5, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))
16	1, 3	crngcom 20209	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑋))
17	12, 13, 6, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑋))
18	9, 15, 17	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 18	domnlcan 20679	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923   ∩ cin 3925  {csn 4601  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  ._rcmulr 17270  0_gc0g 17451  CRingccrg 20192  Domncdomn 20650  IDomncidom 20651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-cring 20194  df-nzr 20471  df-domn 20653  df-idom 20654

This theorem is referenced by: (None)