![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > domnlcan | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Left-cancellation law for domains. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
domncan.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
domncan.1 | โข 0 = (0gโ๐ ) |
domncan.m | โข ยท = (.rโ๐ ) |
domncan.x | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โ { 0 })) |
domncan.y | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
domncan.z | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
domnlcan.r | โข (๐ โ ๐ โ Domn) |
domnlcan.2 | โข (๐ โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
domnlcan | โข (๐ โ ๐ = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | domnlcan.2 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
2 | oveq1 7411 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
3 | oveq1 7411 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
4 | 2, 3 | eqeq12d 2742 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
5 | 4 | imbi1d 341 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐))) |
6 | oveq2 7412 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
7 | 6 | eqeq1d 2728 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
8 | eqeq1 2730 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ = ๐ โ ๐ = ๐)) | |
9 | 7, 8 | imbi12d 344 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐))) |
10 | oveq2 7412 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
11 | 10 | eqeq2d 2737 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
12 | eqeq2 2738 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ = ๐ โ ๐ = ๐)) | |
13 | 11, 12 | imbi12d 344 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐))) |
14 | domnlcan.r | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ Domn) | |
15 | domncan.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
16 | domncan.1 | . . . . . 6 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
17 | domncan.m | . . . . . 6 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
18 | 15, 16, 17 | isdomn4 21209 | . . . . 5 โข (๐ โ Domn โ (๐ โ NzRing โง โ๐ โ (๐ต โ { 0 })โ๐ โ ๐ต โ๐ โ ๐ต ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐))) |
19 | 14, 18 | sylib 217 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ โ NzRing โง โ๐ โ (๐ต โ { 0 })โ๐ โ ๐ต โ๐ โ ๐ต ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐))) |
20 | 19 | simprd 495 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ (๐ต โ { 0 })โ๐ โ ๐ต โ๐ โ ๐ต ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐)) |
21 | domncan.x | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โ { 0 })) | |
22 | domncan.y | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
23 | domncan.z | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
24 | 5, 9, 13, 20, 21, 22, 23 | rspc3dv 3624 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐)) |
25 | 1, 24 | mpd 15 | 1 โข (๐ โ ๐ = ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3055 โ cdif 3940 {csn 4623 โcfv 6536 (class class class)co 7404 Basecbs 17150 .rcmulr 17204 0gc0g 17391 NzRingcnzr 20411 Domncdomn 21187 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-nn 12214 df-2 12276 df-sets 17103 df-slot 17121 df-ndx 17133 df-base 17151 df-plusg 17216 df-0g 17393 df-mgm 18570 df-sgrp 18649 df-mnd 18665 df-grp 18863 df-minusg 18864 df-sbg 18865 df-cmn 19699 df-abl 19700 df-mgp 20037 df-rng 20055 df-ur 20084 df-ring 20137 df-nzr 20412 df-domn 21191 |
This theorem is referenced by: idomrcan 32880 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |