![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > domnlcan | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Left-cancellation law for domains. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
domncan.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
domncan.1 | โข 0 = (0gโ๐ ) |
domncan.m | โข ยท = (.rโ๐ ) |
domncan.x | โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โ { 0 })) |
domncan.y | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
domncan.z | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
domnlcan.r | โข (๐ โ ๐ โ Domn) |
domnlcan.2 | โข (๐ โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
domnlcan | โข (๐ โ ๐ = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | domnlcan.2 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
2 | oveq1 7433 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
3 | oveq1 7433 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
4 | 2, 3 | eqeq12d 2744 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
5 | 4 | imbi1d 340 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐))) |
6 | oveq2 7434 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
7 | 6 | eqeq1d 2730 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
8 | eqeq1 2732 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ = ๐ โ ๐ = ๐)) | |
9 | 7, 8 | imbi12d 343 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐))) |
10 | oveq2 7434 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐)) | |
11 | 10 | eqeq2d 2739 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ (๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
12 | eqeq2 2740 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ = ๐ โ ๐ = ๐)) | |
13 | 11, 12 | imbi12d 343 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐) โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐))) |
14 | domnlcan.r | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ Domn) | |
15 | domncan.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
16 | domncan.1 | . . . . . 6 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
17 | domncan.m | . . . . . 6 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
18 | 15, 16, 17 | isdomn4 21257 | . . . . 5 โข (๐ โ Domn โ (๐ โ NzRing โง โ๐ โ (๐ต โ { 0 })โ๐ โ ๐ต โ๐ โ ๐ต ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐))) |
19 | 14, 18 | sylib 217 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ โ NzRing โง โ๐ โ (๐ต โ { 0 })โ๐ โ ๐ต โ๐ โ ๐ต ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐))) |
20 | 19 | simprd 494 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ (๐ต โ { 0 })โ๐ โ ๐ต โ๐ โ ๐ต ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐)) |
21 | domncan.x | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ (๐ต โ { 0 })) | |
22 | domncan.y | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
23 | domncan.z | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
24 | 5, 9, 13, 20, 21, 22, 23 | rspc3dv 3629 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐) = (๐ ยท ๐) โ ๐ = ๐)) |
25 | 1, 24 | mpd 15 | 1 โข (๐ โ ๐ = ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3058 โ cdif 3946 {csn 4632 โcfv 6553 (class class class)co 7426 Basecbs 17187 .rcmulr 17241 0gc0g 17428 NzRingcnzr 20458 Domncdomn 21234 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-nn 12251 df-2 12313 df-sets 17140 df-slot 17158 df-ndx 17170 df-base 17188 df-plusg 17253 df-0g 17430 df-mgm 18607 df-sgrp 18686 df-mnd 18702 df-grp 18900 df-minusg 18901 df-sbg 18902 df-cmn 19744 df-abl 19745 df-mgp 20082 df-rng 20100 df-ur 20129 df-ring 20182 df-nzr 20459 df-domn 21238 |
This theorem is referenced by: idomrcan 32972 rprmasso2 33268 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |