Theorem domnlcanOLD 33374

Description: Obsolete version of domnlcan 20666 as of 21-Jun-2025. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
domncanOLD.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domncanOLD.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domncanOLD.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domncanOLD.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domncanOLD.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domncanOLD.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
domnlcanOLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnlcanOLD.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
domnlcanOLD	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Proof of Theorem domnlcanOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnlcanOLD.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))
2		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
3		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
4	2, 3	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐)))
5	4	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
6		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
7	6	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐)))
8		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑌 = 𝑐))
9	7, 8	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑌 = 𝑐)))
10		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
11	10	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)))
12		eqeq2 2749	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 = 𝑐 ↔ 𝑌 = 𝑍))
13	11, 12	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑌 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍)))
14		domnlcanOLD.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
15		domncanOLD.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
16		domncanOLD.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17		domncanOLD.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	15, 16, 17	isdomn4 20661	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
19	14, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
20	19	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
21		domncanOLD.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
22		domncanOLD.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23		domncanOLD.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
24	5, 9, 13, 20, 21, 22, 23	rspc3dv 3597	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍))
25	1, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3900  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  0_gc0g 17371  NzRingcnzr 20457  Domncdomn 20637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-nzr 20458  df-domn 20640

This theorem is referenced by: (None)