Theorem domnlcanOLD 33264

Description: Obsolete version of domnlcan 20738 as of 21-Jun-2025. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
domncanOLD.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domncanOLD.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domncanOLD.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domncanOLD.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domncanOLD.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domncanOLD.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
domnlcanOLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnlcanOLD.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
domnlcanOLD	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Proof of Theorem domnlcanOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnlcanOLD.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))
2		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
3		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
4	2, 3	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐)))
5	4	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
6		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
7	6	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐)))
8		eqeq1 2739	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑌 = 𝑐))
9	7, 8	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑌 = 𝑐)))
10		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
11	10	eqeq2d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)))
12		eqeq2 2747	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 = 𝑐 ↔ 𝑌 = 𝑍))
13	11, 12	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑌 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍)))
14		domnlcanOLD.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
15		domncanOLD.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
16		domncanOLD.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17		domncanOLD.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	15, 16, 17	isdomn4 20733	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
19	14, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
20	19	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
21		domncanOLD.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
22		domncanOLD.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23		domncanOLD.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
24	5, 9, 13, 20, 21, 22, 23	rspc3dv 3641	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍))
25	1, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ∖ cdif 3960  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486  NzRingcnzr 20529  Domncdomn 20709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530  df-domn 20712

This theorem is referenced by: (None)