Theorem domnlcanOLD 33283

Description: Obsolete version of domnlcan 20721 as of 21-Jun-2025. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
domncanOLD.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domncanOLD.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domncanOLD.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domncanOLD.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domncanOLD.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domncanOLD.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
domnlcanOLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnlcanOLD.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
domnlcanOLD	⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Proof of Theorem domnlcanOLD

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnlcanOLD.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))
2		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
3		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
4	2, 3	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐)))
5	4	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
6		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
7	6	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐)))
8		eqeq1 2741	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑌 = 𝑐))
9	7, 8	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑌 = 𝑐)))
10		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
11	10	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)))
12		eqeq2 2749	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 = 𝑐 ↔ 𝑌 = 𝑍))
13	11, 12	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑌 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍)))
14		domnlcanOLD.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
15		domncanOLD.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
16		domncanOLD.1	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17		domncanOLD.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	15, 16, 17	isdomn4 20716	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
19	14, 18	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
20	19	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
21		domncanOLD.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
22		domncanOLD.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
23		domncanOLD.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
24	5, 9, 13, 20, 21, 22, 23	rspc3dv 3641	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍))
25	1, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ∖ cdif 3948  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  NzRingcnzr 20512  Domncdomn 20692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-nzr 20513  df-domn 20695

This theorem is referenced by: (None)