Theorem domnlcanb 20803

Description: Left-cancellation law for domains, biconditional version of domnlcan 20804. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.) Shorten this theorem and domnlcan 20804 overall. (Revised by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domncan.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domncan.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domncan.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
domncan.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)

Assertion

Ref	Expression
domnlcanb	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem domnlcanb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
2		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
3	1, 2	eqeq12d 2785	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐)))
4	3	imbi1d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
5		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
6	5	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐)))
7		eqeq1 2773	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑌 = 𝑐))
8	6, 7	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑌 = 𝑐)))
9		oveq2 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
10	9	eqeq2d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)))
11		eqeq2 2781	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 = 𝑐 ↔ 𝑌 = 𝑍))
12	10, 11	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑌 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍)))
13		domncan.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
14		domncan.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		domncan.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16		domncan.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
17	14, 15, 16	isdomn4 20799	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
18	13, 17	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
19	18	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
20		domncan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
21		domncan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22		domncan.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
23	4, 8, 12, 19, 20, 21, 22	rspc3dv 3609	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍))
24		oveq2 7419	. 2 ⊢ (𝑌 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))
25	23, 24	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ 𝑌 = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ∖ cdif 3910  {csn 4594  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491  NzRingcnzr 20594  Domncdomn 20776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-nzr 20595  df-domn 20779

This theorem is referenced by:  domnlcan  20804  ply1dg1rt  33814