Theorem domnlcanb 20868

Description: Left-cancellation law for domains, biconditional version of domnlcan 20869. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.) Shorten this theorem and domnlcan 20869 overall. (Revised by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domncan.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domncan.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domncan.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
domncan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
domncan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domncan.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
domncan.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)

Assertion

Ref	Expression
domnlcanb	⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ 𝑌 = 𝑍))

Proof of Theorem domnlcanb

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
2		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑐))
3	1, 2	eqeq12d 2781	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐)))
4	3	imbi1d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
5		oveq2 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
6	5	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐)))
7		eqeq1 2769	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑌 = 𝑐))
8	6, 7	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑌 = 𝑐)))
9		oveq2 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑐) = (𝑋 · 𝑍))
10	9	eqeq2d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) ↔ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍)))
11		eqeq2 2777	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑌 = 𝑐 ↔ 𝑌 = 𝑍))
12	10, 11	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑐) → 𝑌 = 𝑐) ↔ ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍)))
13		domncan.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
14		domncan.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		domncan.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16		domncan.m	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
17	14, 15, 16	isdomn4 20864	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
18	13, 17	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐)))
19	18	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑐) → 𝑏 = 𝑐))
20		domncan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
21		domncan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22		domncan.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
23	4, 8, 12, 19, 20, 21, 22	rspc3dv 3602	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) → 𝑌 = 𝑍))
24		oveq2 7427	. 2 ⊢ (𝑌 = 𝑍 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍))
25	23, 24	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑍) ↔ 𝑌 = 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ∖ cdif 3903  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  ._rcmulr 17333  0_gc0g 17514  NzRingcnzr 20659  Domncdomn 20841

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-nzr 20660  df-domn 20844

This theorem is used by:  domnlcan  20869  ply1dg1rt  33934