Theorem domnmuln0rd 33248

Description: In a domain, factors of a nonzero product are nonzero. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnmuln0rd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnmuln0rd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
domnmuln0rd.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnmuln0rd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnmuln0rd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
domnmuln0rd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domnmuln0rd.4	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
domnmuln0rd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))

Proof of Theorem domnmuln0rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnmuln0rd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
2		domnmuln0rd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
3		domnmuln0rd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		domnmuln0rd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		domnmuln0rd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		domnmuln0rd.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		domnmuln0rd.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	domneq0 20732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
9	2, 3, 4, 8	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
10	9	necon3abid 2983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
11	1, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))
12		ioran 984	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∧ ¬ 𝑌 = 0 ))
13	11, 12	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 = 0 ∧ ¬ 𝑌 = 0 ))
14		neqne 2954	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → 𝑋 ≠ 0 )
15		neqne 2954	. . 3 ⊢ (¬ 𝑌 = 0 → 𝑌 ≠ 0 )
16	14, 15	anim12i 612	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 = 0 ∧ ¬ 𝑌 = 0 ) → (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
17	13, 16	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  ._rcmulr 17314  0_gc0g 17501  Domncdomn 20716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-plusg 17326  df-0g 17503  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-nzr 20541  df-domn 20719

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33574