Theorem domnmuln0rd 33323

Description: In a domain, factors of a nonzero product are nonzero. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnmuln0rd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domnmuln0rd.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
domnmuln0rd.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
domnmuln0rd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
domnmuln0rd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
domnmuln0rd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
domnmuln0rd.4	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
domnmuln0rd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))

Proof of Theorem domnmuln0rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnmuln0rd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
2		domnmuln0rd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
3		domnmuln0rd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		domnmuln0rd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		domnmuln0rd.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		domnmuln0rd.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		domnmuln0rd.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	domneq0 20674	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
9	2, 3, 4, 8	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
10	9	necon3abid 2966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
11	1, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))
12		ioran 986	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∧ ¬ 𝑌 = 0 ))
13	11, 12	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 = 0 ∧ ¬ 𝑌 = 0 ))
14		neqne 2938	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → 𝑋 ≠ 0 )
15		neqne 2938	. . 3 ⊢ (¬ 𝑌 = 0 → 𝑌 ≠ 0 )
16	14, 15	anim12i 614	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 = 0 ∧ ¬ 𝑌 = 0 ) → (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))
17	13, 16	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  ._rcmulr 17210  0_gc0g 17391  Domncdomn 20658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-nzr 20479  df-domn 20661

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33632