Theorem dp2clq 33108

Description: Closure for a decimal fraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2clq.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2clq.b	⊢ 𝐵 ∈ ℚ

Assertion

Ref	Expression
dp2clq	⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℚ

Proof of Theorem dp2clq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 33099	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		nn0ssq 12969	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
3		dp2clq.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	2, 3	sselii 3936	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℚ
5		dp2clq.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℚ
6		10nn0 12721	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
7	2, 6	sselii 3936	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℚ
8		0re 11198	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		10pos 12720	. . . . 5 ⊢ 0 < ;10
10	8, 9	gtneii 11310	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
11		qdivcl 12982	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ ;10 ∈ ℚ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐵 / ;10) ∈ ℚ)
12	5, 7, 10, 11	mp3an 1485	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℚ
13		qaddcl 12977	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℚ)
14	4, 12, 13	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℚ
15	1, 14	eqeltri 2861	1 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℚ

Syntax hints:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   / cdiv 11859  ℕ₀cn0 12492  ;cdc 12699  ℚcq 12960  _cdp2 33098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-q 12961  df-dp2 33099

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34950  tgoldbachgtde  34959