Theorem dp2clq 32940

Description: Closure for a decimal fraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2clq.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2clq.b	⊢ 𝐵 ∈ ℚ

Assertion

Ref	Expression
dp2clq	⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℚ

Proof of Theorem dp2clq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32931	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		nn0ssq 12907	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
3		dp2clq.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	2, 3	sselii 3918	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℚ
5		dp2clq.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℚ
6		10nn0 12662	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
7	2, 6	sselii 3918	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℚ
8		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		10pos 12661	. . . . 5 ⊢ 0 < ;10
10	8, 9	gtneii 11258	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
11		qdivcl 12920	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ ;10 ∈ ℚ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐵 / ;10) ∈ ℚ)
12	5, 7, 10, 11	mp3an 1464	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℚ
13		qaddcl 12915	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℚ)
14	4, 12, 13	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℚ
15	1, 14	eqeltri 2832	1 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℚ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   / cdiv 11807  ℕ₀cn0 12437  ;cdc 12644  ℚcq 12898  _cdp2 32930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-q 12899  df-dp2 32931

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34795  tgoldbachgtde  34804