Theorem dp2clq 32870

Description: Closure for a decimal fraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2clq.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2clq.b	⊢ 𝐵 ∈ ℚ

Assertion

Ref	Expression
dp2clq	⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℚ

Proof of Theorem dp2clq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32861	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		nn0ssq 12859	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
3		dp2clq.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	2, 3	sselii 3927	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℚ
5		dp2clq.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℚ
6		10nn0 12614	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
7	2, 6	sselii 3927	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℚ
8		0re 11123	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		10pos 12613	. . . . 5 ⊢ 0 < ;10
10	8, 9	gtneii 11234	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
11		qdivcl 12872	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ ;10 ∈ ℚ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐵 / ;10) ∈ ℚ)
12	5, 7, 10, 11	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℚ
13		qaddcl 12867	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℚ)
14	4, 12, 13	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℚ
15	1, 14	eqeltri 2829	1 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℚ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7354  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   / cdiv 11783  ℕ₀cn0 12390  ;cdc 12596  ℚcq 12850  _cdp2 32860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-q 12851  df-dp2 32861

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34687  tgoldbachgtde  34696