Theorem dp2clq 32966

Description: Closure for a decimal fraction. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2clq.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2clq.b	⊢ 𝐵 ∈ ℚ

Assertion

Ref	Expression
dp2clq	⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℚ

Proof of Theorem dp2clq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32957	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		nn0ssq 12905	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
3		dp2clq.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	2, 3	sselii 3919	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℚ
5		dp2clq.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℚ
6		10nn0 12660	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
7	2, 6	sselii 3919	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℚ
8		0re 11144	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		10pos 12659	. . . . 5 ⊢ 0 < ;10
10	8, 9	gtneii 11256	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
11		qdivcl 12918	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ ;10 ∈ ℚ ∧ ;10 ≠ 0) → (𝐵 / ;10) ∈ ℚ)
12	5, 7, 10, 11	mp3an 1469	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℚ
13		qaddcl 12913	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝐵 / ;10) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℚ)
14	4, 12, 13	mp2an 698	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) ∈ ℚ
15	1, 14	eqeltri 2836	1 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℚ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   / cdiv 11805  ℕ₀cn0 12435  ;cdc 12642  ℚcq 12896  _cdp2 32956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-q 12897  df-dp2 32957

This theorem is referenced by:  hgt750lem  34842  tgoldbachgtde  34851