Theorem ccat2s1fvwALT 14977

Description: Alternate proof of ccat2s1fvw 14659 using words of length 2, see df-s2 14870. A symbol of the concatenation of a word with two single symbols corresponding to the symbol of the word. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Jan-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ccat2s1fvwALT	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem ccat2s1fvwALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatw2s1ccatws2 14976	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩))
2	1	fveq1d 6889	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
3	2	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
4		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5		s2cli 14902	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word V)
7		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
8		lencl 14554	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12623	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
11		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
12		elfzo0z 13724	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
13	7, 10, 11, 12	syl3anbrc 1343	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14		ccatval1 14598	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))
15	4, 6, 13, 14	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))
16	3, 15	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3464   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11138   < clt 11278  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12597  ..^cfzo 13677  ♯chash 14352  Word cword 14535   ++ cconcat 14591  ⟨“cs1 14616  ⟨“cs2 14863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-hash 14353  df-word 14536  df-concat 14592  df-s1 14617  df-s2 14870

This theorem is referenced by: (None)