MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat2s1fvwALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat2s1fvwALT 14893
Description: Alternate proof of ccat2s1fvw 14575 using words of length 2, see df-s2 14786. A symbol of the concatenation of a word with two single symbols corresponding to the symbol of the word. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Jan-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ccat2s1fvwALT ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))

Proof of Theorem ccat2s1fvwALT
StepHypRef Expression
1 ccatw2s1ccatws2 14892 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩))
21fveq1d 6883 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
323ad2ant1 1134 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
4 simp1 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5 s2cli 14818 . . . 4 ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word V
65a1i 11 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word V)
7 simp2 1138 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
8 lencl 14470 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
98nn0zd 12571 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
1093ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
11 simp3 1139 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
12 elfzo0z 13661 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
137, 10, 11, 12syl3anbrc 1344 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14 ccatval1 14514 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
154, 6, 13, 14syl3anc 1372 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
163, 15eqtrd 2773 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5144  cfv 6535  (class class class)co 7396  0cc0 11097   < clt 11235  0cn0 12459  cz 12545  ..^cfzo 13614  chash 14277  Word cword 14451   ++ cconcat 14507  ⟨“cs1 14532  ⟨“cs2 14779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-hash 14278  df-word 14452  df-concat 14508  df-s1 14533  df-s2 14786
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator