Theorem ccat2s1fvwALT 15117

Description: Alternate proof of ccat2s1fvw 14794 using words of length 2, see df-s2 15007. A symbol of the concatenation of a word with two single symbols corresponding to the symbol of the word. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Jan-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ccat2s1fvwALT	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem ccat2s1fvwALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatw2s1ccatws2 15116	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩))
2	1	fveq1d 6892	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
3	2	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
4		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5		s2cli 15039	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word V)
7		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
8		lencl 14685	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12725	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
11		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
12		elfzo0z 13843	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
13	7, 10, 11, 12	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14		ccatval1 14729	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))
15	4, 6, 13, 14	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))
16	3, 15	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  0cc0 11207   < clt 11350  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ..^cfzo 13795  ♯chash 14481  Word cword 14665   ++ cconcat 14722  ⟨“cs1 14749  ⟨“cs2 15000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666  df-concat 14723  df-s1 14750  df-s2 15007

This theorem is used by: (None)