MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat2s1fvwALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat2s1fvwALT 14905
Description: Alternate proof of ccat2s1fvw 14587 using words of length 2, see df-s2 14798. A symbol of the concatenation of a word with two single symbols corresponding to the symbol of the word. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.) (Revised by AV, 28-Jan-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ccat2s1fvwALT ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))

Proof of Theorem ccat2s1fvwALT
StepHypRef Expression
1 ccatw2s1ccatws2 14904 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩))
21fveq1d 6893 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
323ad2ant1 1133 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
4 simp1 1136 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5 s2cli 14830 . . . 4 ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word V
65a1i 11 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word V)
7 simp2 1137 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
8 lencl 14482 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
98nn0zd 12583 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
1093ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
11 simp3 1138 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
12 elfzo0z 13673 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
137, 10, 11, 12syl3anbrc 1343 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14 ccatval1 14526 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
154, 6, 13, 14syl3anc 1371 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
163, 15eqtrd 2772 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (♯‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109   < clt 11247  0cn0 12471  cz 12557  ..^cfzo 13626  chash 14289  Word cword 14463   ++ cconcat 14519  ⟨“cs1 14544  ⟨“cs2 14791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-s2 14798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator