Theorem pfxccatin12lem1 14369

Description: Lemma 1 for pfxccatin12 14374. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem1	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatin12lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13175	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)))
2		zsubcl 12292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1128	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	1, 4	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
7		elfzonelfzo 13417	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
9		elfz2nn0 13276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
10		nn0cn 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
11		nn0cn 12173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
12		elfzelz 13185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zcn 12254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
14		subcl 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
15	14	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
16	15	addid1d 11105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀) + 0) = (𝐿 − 𝑀))
17	16	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + 0))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝐿 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + 0))
19		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
20		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
22		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
23	19, 21, 22	npncan3d 11298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
24	23	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝑁 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))
25	18, 24	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
26	25	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
27	12, 13, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
28	27	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
29	10, 11, 28	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
30	29	3adant3 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
31	9, 30	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
32	31	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
33	32	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ 𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
34	33	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
35		0zd 12261	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
36		elfz2 13175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)))
37		zsubcl 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
38	37	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
39	38	3adant2 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
41	36, 40	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
42	41	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
43	6, 35, 42	3jca 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))
45		fzosubel2 13375	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))) ∧ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))
46	34, 44, 45	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))
47	46	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))
48	8, 47	syld 47	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   + caddc 10805   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  14372