Theorem pfxccatin12lem1 14678

Description: Lemma 1 for pfxccatin12 14683. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem1	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatin12lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13491	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)))
2		zsubcl 12604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
4	3	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	1, 4	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
7		elfzonelfzo 13734	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
9		elfz2nn0 13592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
10		nn0cn 12482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
11		nn0cn 12482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
12		elfzelz 13501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zcn 12563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
14		subcl 11459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
15	14	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
16	15	addridd 11414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀) + 0) = (𝐿 − 𝑀))
17	16	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + 0))
18	17	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝐿 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + 0))
19		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
20		simpl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
21	20	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
22		simpl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
23	19, 21, 22	npncan3d 11607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
24	23	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝑁 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))
25	18, 24	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
26	25	ex 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
27	12, 13, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
28	27	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
29	10, 11, 28	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
30	29	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
31	9, 30	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
32	31	imp 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
33	32	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ 𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
34	33	biimpa 478	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
35		0zd 12570	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
36		elfz2 13491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)))
37		zsubcl 12604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
38	37	ancoms 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
39	38	3adant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
40	39	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
41	36, 40	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
42	41	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
43	6, 35, 42	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))
44	43	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))
45		fzosubel2 13692	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))) ∧ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))
46	34, 44, 45	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))
47	46	ex 414	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))
48	8, 47	syld 47	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113   ≤ cle 11249   − cmin 11444  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  14681