MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxccatin12lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxccatin12lem1 14763
Description: Lemma 1 for pfxccatin12 14768. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxccatin12lem1 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatin12lem1
StepHypRef Expression
1 elfz2 13551 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀𝐿)))
2 zsubcl 12657 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
323adant1 1129 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
43adantr 480 . . . . 5 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀𝐿)) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
51, 4sylbi 217 . . . 4 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
65adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
7 elfzonelfzo 13805 . . 3 ((𝐿𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))))
86, 7syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))))
9 elfz2nn0 13655 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿))
10 nn0cn 12534 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
11 nn0cn 12534 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℂ)
12 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → 𝑁 ∈ ℤ)
13 zcn 12616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
14 subcl 11505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
1514ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
1615addridd 11459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿𝑀) + 0) = (𝐿𝑀))
1716eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿𝑀) = ((𝐿𝑀) + 0))
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝐿𝑀) = ((𝐿𝑀) + 0))
19 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
20 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
22 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2319, 21, 22npncan3d 11654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)) = (𝑁𝑀))
2423eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝑁𝑀) = ((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))
2518, 24oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿))))
2625ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
2712, 13, 263syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
2827com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
2910, 11, 28syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
30293adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
319, 30sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
3231imp 406 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿))))
3332eleq2d 2825 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) ↔ 𝐾 ∈ (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
3433biimpa 476 . . . 4 (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))) → 𝐾 ∈ (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿))))
35 0zd 12623 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
36 elfz2 13551 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)))
37 zsubcl 12657 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
3837ancoms 458 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
39383adant2 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
4039adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
4136, 40sylbi 217 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
4241adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
436, 35, 423jca 1127 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
4443adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))) → ((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
45 fzosubel2 13761 . . . 4 ((𝐾 ∈ (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿))) ∧ ((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ)) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿)))
4634, 44, 45syl2anc 584 . . 3 (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿)))
4746ex 412 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿))))
488, 47syld 47 1 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692
This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  14766
  Copyright terms: Public domain W3C validator