Theorem pfxccatin12lem1 14649

Description: Lemma 1 for pfxccatin12 14654. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem1	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatin12lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13428	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)))
2		zsubcl 12531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	1, 4	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
7		elfzonelfzo 13683	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
9		elfz2nn0 13532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
10		nn0cn 12409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
11		nn0cn 12409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
12		elfzelz 13438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zcn 12491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
14		subcl 11377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
15	14	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
16	15	addridd 11331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀) + 0) = (𝐿 − 𝑀))
17	16	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + 0))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝐿 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + 0))
19		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
20		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
22		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
23	19, 21, 22	npncan3d 11526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
24	23	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝑁 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))
25	18, 24	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
26	25	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
27	12, 13, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
28	27	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
29	10, 11, 28	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
30	29	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
31	9, 30	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
32	31	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
33	32	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ 𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
34	33	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
35		0zd 12498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
36		elfz2 13428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)))
37		zsubcl 12531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
38	37	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
39	38	3adant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
41	36, 40	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
42	41	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
43	6, 35, 42	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))
45		fzosubel2 13639	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))) ∧ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))
46	34, 44, 45	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))
47	46	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))
48	8, 47	syld 47	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024   + caddc 11027   ≤ cle 11165   − cmin 11362  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ...cfz 13421  ..^cfzo 13568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  14652