Theorem pfxccatin12lem1 14770

Description: Lemma 1 for pfxccatin12 14775. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem1	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatin12lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13546	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)))
2		zsubcl 12640	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
4	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	1, 4	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
7		elfzonelfzo 13803	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
9		elfz2nn0 13651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
10		nn0cn 12518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
11		nn0cn 12518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
12		elfzelz 13556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zcn 12600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
14		subcl 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
15	14	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
16	15	addridd 11414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀) + 0) = (𝐿 − 𝑀))
17	16	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + 0))
18	17	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝐿 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + 0))
19		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
20		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
21	20	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
22		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
23	19, 21, 22	npncan3d 11609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
24	23	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝑁 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))
25	18, 24	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
26	25	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
27	12, 13, 26	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
28	27	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
29	10, 11, 28	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
30	29	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
31	9, 30	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
32	31	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
33	32	eleq2d 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ 𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))
34	33	biimpa 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
35		0zd 12607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
36		elfz2 13546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)))
37		zsubcl 12640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
38	37	ancoms 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
39	38	3adant2 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
40	39	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
41	36, 40	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
42	41	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
43	6, 35, 42	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))
44	43	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ))
45		fzosubel2 13759	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))) ∧ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))
46	34, 44, 45	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))
47	46	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))
48	8, 47	syld 48	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  0cc0 11104   + caddc 11107   ≤ cle 11248   − cmin 11445  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12595  ...cfz 13539  ..^cfzo 13687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688

This theorem is used by:  pfxccatin12lem2  14773