MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxccatin12lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxccatin12lem1 14684
Description: Lemma 1 for pfxccatin12 14689. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxccatin12lem1 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatin12lem1
StepHypRef Expression
1 elfz2 13497 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀𝐿)))
2 zsubcl 12610 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
323adant1 1128 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
43adantr 479 . . . . 5 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀𝑀𝐿)) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
51, 4sylbi 216 . . . 4 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
65adantr 479 . . 3 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐿𝑀) ∈ ℤ)
7 elfzonelfzo 13740 . . 3 ((𝐿𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))))
86, 7syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))))
9 elfz2nn0 13598 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿))
10 nn0cn 12488 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
11 nn0cn 12488 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℂ)
12 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → 𝑁 ∈ ℤ)
13 zcn 12569 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
14 subcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
1514ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
1615addridd 11420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿𝑀) + 0) = (𝐿𝑀))
1716eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿𝑀) = ((𝐿𝑀) + 0))
1817adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝐿𝑀) = ((𝐿𝑀) + 0))
19 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
20 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2120adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
22 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2319, 21, 22npncan3d 11613 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)) = (𝑁𝑀))
2423eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝑁𝑀) = ((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))
2518, 24oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿))))
2625ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
2712, 13, 263syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
2827com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
2910, 11, 28syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
30293adant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
319, 30sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
3231imp 405 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) = (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿))))
3332eleq2d 2817 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) ↔ 𝐾 ∈ (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿)))))
3433biimpa 475 . . . 4 (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))) → 𝐾 ∈ (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿))))
35 0zd 12576 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
36 elfz2 13497 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)))
37 zsubcl 12610 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
3837ancoms 457 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
39383adant2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
4039adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁𝑋)) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
4136, 40sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
4241adantl 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
436, 35, 423jca 1126 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
4443adantr 479 . . . 4 (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))) → ((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
45 fzosubel2 13698 . . . 4 ((𝐾 ∈ (((𝐿𝑀) + 0)..^((𝐿𝑀) + (𝑁𝐿))) ∧ ((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ)) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿)))
4634, 44, 45syl2anc 582 . . 3 (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿)))
4746ex 411 . 2 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿𝑀)..^(𝑁𝑀)) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿))))
488, 47syld 47 1 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104   class class class wbr 5149  (class class class)co 7413  cc 11112  0cc0 11114   + caddc 11117  cle 11255  cmin 11450  0cn0 12478  cz 12564  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634
This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  14687
  Copyright terms: Public domain W3C validator