Theorem elfzonlteqm1 13735

Description: If an element of a half-open integer range is not less than the upper bound of the range decreased by 1, it must be equal to the upper bound of the range decreased by 1. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzonlteqm1	⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < (𝐵 − 1)) → 𝐴 = (𝐵 − 1))

Proof of Theorem elfzonlteqm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12594	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		elfzo0 13700	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
3		elnnuz 12891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
4	3	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
5		0p1e1 12359	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 + 1) = 1)
7	6	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (ℤ≥‘(0 + 1)) = (ℤ≥‘1))
8	4, 7	eleqtrrd 2828	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
9	8	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
10	2, 9	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
11		fzosplitsnm1 13734	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → (0..^𝐵) = ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
12	1, 10, 11	sylancr 585	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (0..^𝐵) = ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
13		eleq2 2814	. . . 4 ⊢ ((0..^𝐵) = ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)})))
14		elun 4142	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) ↔ (𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 1)) ∨ 𝐴 ∈ {(𝐵 − 1)}))
15		elfzo0 13700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 1)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵 − 1)))
16		pm2.24 124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 < (𝐵 − 1) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
17	16	3ad2ant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵 − 1)) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
18	15, 17	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 1)) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
19		elsni 4642	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ {(𝐵 − 1)} → 𝐴 = (𝐵 − 1))
20	19	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ {(𝐵 − 1)} → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
21	18, 20	jaoi 855	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 1)) ∨ 𝐴 ∈ {(𝐵 − 1)}) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
22	14, 21	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
23	13, 22	biimtrdi 252	. . 3 ⊢ ((0..^𝐵) = ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1))))
24	12, 23	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
25	24	imp 405	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < (𝐵 − 1)) → 𝐴 = (𝐵 − 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3939  {csn 4625   class class class wbr 5144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   < clt 11273   − cmin 11469  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12497  ℤcz 12583  ℤ_≥cuz 12847  ..^cfzo 13654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655

This theorem is referenced by:  clwwisshclwwslemlem  29862