MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzonlteqm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzonlteqm1 13197
Description: If an element of a half-open integer range is not less than the upper bound of the range decreased by 1, it must be equal to the upper bound of the range decreased by 1. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzonlteqm1 ((𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < (𝐵 − 1)) → 𝐴 = (𝐵 − 1))

Proof of Theorem elfzonlteqm1
StepHypRef Expression
1 0z 12066 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 elfzo0 13162 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
3 elnnuz 12357 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝐵 ∈ (ℤ‘1))
43biimpi 219 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ (ℤ‘1))
5 0p1e1 11831 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (0 + 1) = 1)
76fveq2d 6672 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1))
84, 7eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
983ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
102, 9sylbi 220 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
11 fzosplitsnm1 13196 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (0..^𝐵) = ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
121, 10, 11sylancr 590 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (0..^𝐵) = ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
13 eleq2 2821 . . . 4 ((0..^𝐵) = ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐴 ∈ ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)})))
14 elun 4037 . . . . 5 (𝐴 ∈ ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) ↔ (𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 1)) ∨ 𝐴 ∈ {(𝐵 − 1)}))
15 elfzo0 13162 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 1)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵 − 1)))
16 pm2.24 124 . . . . . . . 8 (𝐴 < (𝐵 − 1) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
17163ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵 − 1)) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
1815, 17sylbi 220 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 1)) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
19 elsni 4530 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ {(𝐵 − 1)} → 𝐴 = (𝐵 − 1))
2019a1d 25 . . . . . 6 (𝐴 ∈ {(𝐵 − 1)} → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
2118, 20jaoi 856 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0..^(𝐵 − 1)) ∨ 𝐴 ∈ {(𝐵 − 1)}) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
2214, 21sylbi 220 . . . 4 (𝐴 ∈ ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
2313, 22syl6bi 256 . . 3 ((0..^𝐵) = ((0..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}) → (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1))))
2412, 23mpcom 38 . 2 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (¬ 𝐴 < (𝐵 − 1) → 𝐴 = (𝐵 − 1)))
2524imp 410 1 ((𝐴 ∈ (0..^𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < (𝐵 − 1)) → 𝐴 = (𝐵 − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  cun 3839  {csn 4513   class class class wbr 5027  cfv 6333  (class class class)co 7164  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   < clt 10746  cmin 10941  cn 11709  0cn0 11969  cz 12055  cuz 12317  ..^cfzo 13117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118
This theorem is referenced by:  clwwisshclwwslemlem  27942
  Copyright terms: Public domain W3C validator