MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosplitsnm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzosplitsnm1 12797
Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsnm1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))

Proof of Theorem fzosplitsnm1
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11939 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℤ)
21zcnd 11772 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32adantl 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 ax-1cn 10283 . . . 4 1 ∈ ℂ
5 npcan 10583 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
65eqcomd 2806 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
73, 4, 6sylancl 581 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
87oveq2d 6895 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)))
9 eluzp1m1 11953 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴))
101adantl 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 peano2zm 11709 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
12 uzid 11944 . . . . 5 ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)))
13 peano2uz 11984 . . . . 5 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)))
1410, 11, 12, 134syl 19 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)))
15 elfzuzb 12589 . . . 4 ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) ↔ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) ∧ ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1))))
169, 14, 15sylanbrc 579 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)))
17 fzosplit 12755 . . 3 ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
1816, 17syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
191, 11syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
2019adantl 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
21 fzosn 12793 . . . 4 ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
2322uneq2d 3966 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
248, 18, 233eqtrd 2838 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cun 3768  {csn 4369  cfv 6102  (class class class)co 6879  cc 10223  1c1 10226   + caddc 10228  cmin 10557  cz 11665  cuz 11929  ...cfz 12579  ..^cfzo 12719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720
This theorem is referenced by:  elfzonlteqm1  12798  pthdlem1  27019  clwwlkccatlem  27281
  Copyright terms: Public domain W3C validator