MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosplitsnm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzosplitsnm1 13462
Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsnm1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))

Proof of Theorem fzosplitsnm1
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12592 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℤ)
21zcnd 12427 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 ax-1cn 10929 . . . 4 1 ∈ ℂ
5 npcan 11230 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
65eqcomd 2744 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
73, 4, 6sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
87oveq2d 7291 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)))
9 eluzp1m1 12608 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴))
101adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 peano2zm 12363 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
12 uzid 12597 . . . . 5 ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)))
13 peano2uz 12641 . . . . 5 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)))
1410, 11, 12, 134syl 19 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)))
15 elfzuzb 13250 . . . 4 ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) ↔ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) ∧ ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1))))
169, 14, 15sylanbrc 583 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)))
17 fzosplit 13420 . . 3 ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
1816, 17syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
191, 11syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
2019adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
21 fzosn 13458 . . . 4 ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
2322uneq2d 4097 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
248, 18, 233eqtrd 2782 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  cun 3885  {csn 4561  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  1c1 10872   + caddc 10874  cmin 11205  cz 12319  cuz 12582  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383
This theorem is referenced by:  elfzonlteqm1  13463  pthdlem1  28134  clwwlkccatlem  28353  cycpmco2lem7  31399  cycpmrn  31410
  Copyright terms: Public domain W3C validator