MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosplitsnm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzosplitsnm1 13196
Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsnm1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))

Proof of Theorem fzosplitsnm1
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12327 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℤ)
21zcnd 12162 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 ax-1cn 10666 . . . 4 1 ∈ ℂ
5 npcan 10966 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
65eqcomd 2744 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
73, 4, 6sylancl 589 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
87oveq2d 7180 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)))
9 eluzp1m1 12343 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴))
101adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 peano2zm 12099 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
12 uzid 12332 . . . . 5 ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)))
13 peano2uz 12376 . . . . 5 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)))
1410, 11, 12, 134syl 19 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)))
15 elfzuzb 12985 . . . 4 ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) ↔ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) ∧ ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1))))
169, 14, 15sylanbrc 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)))
17 fzosplit 13154 . . 3 ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
1816, 17syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
191, 11syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
2019adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
21 fzosn 13192 . . . 4 ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
2322uneq2d 4051 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
248, 18, 233eqtrd 2777 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  cun 3839  {csn 4513  cfv 6333  (class class class)co 7164  cc 10606  1c1 10609   + caddc 10611  cmin 10941  cz 12055  cuz 12317  ...cfz 12974  ..^cfzo 13117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118
This theorem is referenced by:  elfzonlteqm1  13197  pthdlem1  27699  clwwlkccatlem  27918  cycpmco2lem7  30968  cycpmrn  30979
  Copyright terms: Public domain W3C validator