Theorem fzosplitsnm1 13705

Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitsnm1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))

Proof of Theorem fzosplitsnm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12830	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12665	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		ax-1cn 11165	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		npcan 11467	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
6	5	eqcomd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
7	3, 4, 6	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
8	7	oveq2d 7418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)))
9		eluzp1m1 12846	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
10	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		peano2zm 12603	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
12		uzid 12835	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1)))
13		peano2uz 12883	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1)) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1)))
14	10, 11, 12, 13	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1)))
15		elfzuzb 13493	. . . 4 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) ↔ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1))))
16	9, 14, 15	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)))
17		fzosplit 13663	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
19	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
21		fzosn 13701	. . . 4 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
23	22	uneq2d 4156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
24	8, 18, 23	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3939  {csn 4621  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  1c1 11108   + caddc 11110   − cmin 11442  ℤcz 12556  ℤ_≥cuz 12820  ...cfz 13482  ..^cfzo 13625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626

This theorem is referenced by:  elfzonlteqm1  13706  pthdlem1  29495  clwwlkccatlem  29714  cycpmco2lem7  32762  cycpmrn  32773