Theorem fzosplitsnm1 13686

Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitsnm1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))

Proof of Theorem fzosplitsnm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12789	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12625	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		ax-1cn 11087	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		npcan 11393	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
6	5	eqcomd 2745	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
7	3, 4, 6	sylancl 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
8	7	oveq2d 7372	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)))
9		eluzp1m1 12805	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
10	1	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		peano2zm 12561	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
12		uzid 12794	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1)))
13		peano2uz 12842	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1)) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1)))
14	10, 11, 12, 13	4syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1)))
15		elfzuzb 13463	. . . 4 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) ↔ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐵 − 1))))
16	9, 14, 15	sylanbrc 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)))
17		fzosplit 13638	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
19	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1)) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
20	19	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
21		fzosn 13682	. . . 4 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
23	22	uneq2d 4098	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
24	8, 18, 23	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3881  {csn 4555  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600

This theorem is referenced by:  elfzonlteqm1  13687  chnub  18579  pthdlem1  29852  clwwlkccatlem  30077  cycpmco2lem7  33213  cycpmrn  33224