MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosplitsnm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzosplitsnm1 13780
Description: Removing a singleton from a half-open integer range at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzosplitsnm1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))

Proof of Theorem fzosplitsnm1
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12889 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℤ)
21zcnd 12725 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 ax-1cn 11214 . . . 4 1 ∈ ℂ
5 npcan 11518 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 1) + 1) = 𝐵)
65eqcomd 2742 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
73, 4, 6sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 = ((𝐵 − 1) + 1))
87oveq2d 7448 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)))
9 eluzp1m1 12905 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴))
101adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 peano2zm 12662 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
12 uzid 12894 . . . . 5 ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)))
13 peano2uz 12944 . . . . 5 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)))
1410, 11, 12, 134syl 19 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1)))
15 elfzuzb 13559 . . . 4 ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) ↔ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) ∧ ((𝐵 − 1) + 1) ∈ (ℤ‘(𝐵 − 1))))
169, 14, 15sylanbrc 583 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)))
17 fzosplit 13733 . . 3 ((𝐵 − 1) ∈ (𝐴...((𝐵 − 1) + 1)) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
1816, 17syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^((𝐵 − 1) + 1)) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))))
191, 11syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
2019adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
21 fzosn 13776 . . . 4 ((𝐵 − 1) ∈ ℤ → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1)) = {(𝐵 − 1)})
2322uneq2d 4167 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ ((𝐵 − 1)..^((𝐵 − 1) + 1))) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
248, 18, 233eqtrd 2780 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (𝐴..^𝐵) = ((𝐴..^(𝐵 − 1)) ∪ {(𝐵 − 1)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cun 3948  {csn 4625  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  1c1 11157   + caddc 11159  cmin 11493  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696
This theorem is referenced by:  elfzonlteqm1  13781  pthdlem1  29787  clwwlkccatlem  30009  chnub  33003  cycpmco2lem7  33153  cycpmrn  33164
  Copyright terms: Public domain W3C validator